Composée de deux réflexions

8.1 Plans parallèles

Théorème. Soit $(P)$ et $(P')$ deux plans parallèles, $H$ un point de $(P)$ et $H'$ le point de $(P')$ tel que $(HH')$ soit orthogonale aux plans. Alors $s_{P'} \circ s_P = t_{2\overrightarrow{HH'}},$ la translation de vecteur $2\,\overrightarrow{HH'}$, orthogonal aux deux plans.

Démonstration. On choisit un repère orthonormé dont le vecteur $\vec k$ est orthogonal aux plans : $(P) : z = a$ et $(P') : z = b$. Alors $s_P$ envoie $(x\,;y\,;z)$ sur $(x\,;y\,;2a - z)$, et $s_{P'}$ envoie ce point sur $(x\,;y\,;2b - (2a - z)) = (x\,;y\,;z + 2(b - a))$. C'est la translation de vecteur $2(b - a)\,\vec k = 2\,\overrightarrow{HH'}$.

Attention à l'ordre : $s_P \circ s_{P'} = t_{-2\overrightarrow{HH'}}$ ($s_P \circ s_{P'}$ signifie : on applique d'abord $s_{P'}$, puis $s_P$).

Exemple 26. $(P) : z = 1$ et $(P') : z = 4$. Alors $s_{P'} \circ s_P$ est la translation de vecteur $2 \times 3\,\vec k = 6\,\vec k$. Contrôle avec $O$ : $s_P(O) = (0\,;0\,;2)$, puis $s_{P'}(0\,;0\,;2) = (0\,;0\,;6)$.

8.2 Plans sécants

Théorème. Soit $(P)$ et $(P')$ deux plans sécants suivant une droite $\Delta$, orientée. Un plan $(Q)$ orthogonal à $\Delta$ coupe $(P)$ et $(P')$ suivant deux droites $d$ et $d'$. Si $\theta$ est une mesure de l'angle orienté $(d, d')$ (orienté dans $(Q)$ par $\Delta$), alors $s_{P'} \circ s_P \text{ est la rotation d'axe } \Delta \text{ et d'angle } 2\theta.$

Justification. Un vecteur normal à $(P)$ est orthogonal à $\Delta$, donc parallèle à $(Q)$ : la réflexion $s_P$ envoie chaque point de $(Q)$ dans $(Q)$, et elle y agit comme la symétrie orthogonale d'axe $d$. De même pour $s_{P'}$ et $d'$. En Première, tu as vu que la composée de deux symétries orthogonales du plan d'axes sécants en $H$ est la rotation de centre $H$ et d'angle $2(d, d')$. Dans chaque plan $(Q)$ orthogonal à $\Delta$, $s_{P'} \circ s_P$ induit donc la rotation plane de centre $H$ et d'angle $2\theta$ : c'est la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $2\theta$.

Cas particulier. Si $(P)$ et $(P')$ sont perpendiculaires, $\theta = \frac{\pi}{2}$ et $2\theta = \pi$ : $s_{P'} \circ s_P$ est le demi-tour d'axe $\Delta$.

Exemple 27. $(P)$ est le plan $(xOz)$, d'équation $y = 0$, et $(P')$ le plan d'équation $x - y = 0$. Ils se coupent suivant l'axe $(Oz)$, orienté par $\vec k$. Dans le plan $z = 0$, $d$ est dirigée par $\vec i$ et $d'$ par $\vec i + \vec j$ : $(d, d') = \frac{\pi}{4}$. Donc $s_{P'} \circ s_P$ est la rotation d'axe $(Oz)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Contrôle analytique : $s_P$ envoie $(x\,;y\,;z)$ sur $(x\,;-y\,;z)$, et $s_{P'}$ échange les deux premières coordonnées. La composée envoie $(x\,;y\,;z)$ sur $(-y\,;x\,;z)$ : c'est bien la rotation de l'exemple 23.

Exemple 28. Les plans $(yOz) : x = 0$ et $(xOz) : y = 0$ sont perpendiculaires suivant $(Oz)$. La composée $s_{(xOz)} \circ s_{(yOz)}$ envoie $(x\,;y\,;z)$ sur $(-x\,;y\,;z)$, puis sur $(-x\,;-y\,;z)$ : c'est le demi-tour d'axe $(Oz)$.

8.3 Décompositions

Translation. Soit $\vec u$ un vecteur non nul et $(P)$ un plan orthogonal à $\vec u$. Si $(P')$ est l'image de $(P)$ par la translation de vecteur $\frac12\vec u$, alors $t_{\vec u} = s_{P'} \circ s_P$. Le premier plan peut être choisi librement parmi les plans orthogonaux à $\vec u$.

Rotation. Soit $r$ la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $\theta$, et $(P)$ un plan contenant $\Delta$. Si $(P')$ est l'image de $(P)$ par la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $\frac{\theta}{2}$, alors $r = s_{P'} \circ s_P$. Là aussi, le premier plan est libre, pourvu qu'il contienne l'axe.

Exemple 29. La translation de vecteur $2\,\vec k$ est la composée $s_{P'} \circ s_P$ avec $(P) : z = 0$ et $(P') : z = 1$. La rotation d'axe $(Oz)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ est la composée $s_{P'} \circ s_P$ avec $(P) : y = 0$ et $(P') : x - y = 0$ (exemple 27).

Utilisation : composer deux rotations de même axe. Soit $r_1$ et $r_2$ deux rotations d'axe $\Delta$ et d'angles $\theta_1$ et $\theta_2$. On choisit trois plans $(P_1)$, $(P_2)$, $(P_3)$ contenant $\Delta$, de façon que $r_1 = s_{P_2} \circ s_{P_1}$ et $r_2 = s_{P_3} \circ s_{P_2}$ (le plan $(P_2)$ est commun). Alors $r_2 \circ r_1 = s_{P_3} \circ s_{P_2} \circ s_{P_2} \circ s_{P_1} = s_{P_3} \circ s_{P_1},$ car $s_{P_2} \circ s_{P_2}$ est l'identité. Les angles s'ajoutent : $r_2 \circ r_1$ est la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $\theta_1 + \theta_2$.

Ensemble de points invariants. Si $(P)$ et $(P')$ sont distincts, les points invariants de $s_{P'} \circ s_P$ forment la droite $\Delta$ quand les plans sont sécants ; il n'y en a aucun quand ils sont parallèles.