Translations, homothéties et réflexions

6.1 Translations

Définition. Soit $\vec u$ un vecteur. La translation de vecteur $\vec u$, notée $t_{\vec u}$, associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec u$.

Propriétés. Si $M' = t_{\vec u}(M)$ et $N' = t_{\vec u}(N)$, alors $\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}$. Donc :

• une translation conserve les distances ;
• l'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un plan est un plan parallèle ;
• l'image d'une sphère de centre $A$ et de rayon $R$ est la sphère de centre $t_{\vec u}(A)$ et de rayon $R$.

Expression analytique. Si $\vec u\,(a\,;b\,;c)$, alors $M'(x'\,;y'\,;z')$ a pour coordonnées $x' = x + a$, $y' = y + b$, $z' = z + c$.

Exemple 19. $\vec u\,(1\,;-2\,;3)$ et $M(2\,;0\,;1)$ : $M'(3\,;-2\,;4)$. L'image du plan $(P) : x + y + z - 1 = 0$ est un plan parallèle. Un point $M'$ est dans l'image si, et seulement si, $M = t_{-\vec u}(M')$ est dans $(P)$ : $(x' - 1) + (y' + 2) + (z' - 3) - 1 = 0$, soit $(P') : x + y + z - 3 = 0$.

6.2 Homothéties

Définition. Soit $\Omega$ un point et $k$ un réel non nul. L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}$. Pour $k = -1$, c'est la symétrie de centre $\Omega$.

Propriétés. Si $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$, alors $\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}$. Donc :

• les distances sont multipliées par $|k|$ : $M'N' = |k|\,MN$ ;
• une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité ;
• l'image d'une droite est une droite parallèle, l'image d'un plan un plan parallèle ;
• l'image d'une sphère de centre $A$ et de rayon $R$ est la sphère de centre $h(A)$ et de rayon $|k|R$.

Expression analytique. Si $\Omega(a\,;b\,;c)$ : $x' = a + k(x - a)$, $y' = b + k(y - b)$, $z' = c + k(z - c)$.

Exemple 20. $h$ est l'homothétie de centre $\Omega(1\,;1\,;1)$ et de rapport $-2$, et $M(2\,;3\,;0)$. $\overrightarrow{\Omega M}\,(1\,;2\,;-1)$, donc $\overrightarrow{\Omega M'} = -2\,\overrightarrow{\Omega M}\,(-2\,;-4\,;2)$, et $M'(-1\,;-3\,;3)$.

6.3 Réflexions

Définition. Soit $(P)$ un plan. La réflexion de plan $(P)$ (ou symétrie orthogonale par rapport à $(P)$), notée $s_P$, associe :

• à tout point $M$ de $(P)$, le point $M$ lui-même ;
• à tout point $M$ hors de $(P)$, le point $M'$ tel que $(P)$ soit le plan médiateur de $[MM']$.

Autrement dit, si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(P)$, alors $H$ est le milieu de $[MM']$.

Construction. On trace la droite passant par $M$ et orthogonale à $(P)$ (elle est dirigée par un vecteur normal $\vec n$) ; elle coupe $(P)$ en $H$ ; on reporte $HM$ de l'autre côté : $\overrightarrow{HM'} = -\overrightarrow{HM}$.

Propriétés.

• $s_P \circ s_P$ est l'identité ; les points invariants de $s_P$ sont les points de $(P)$.
• Une réflexion conserve les distances ; elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité.
• Remarque : une réflexion transforme une base directe en une base indirecte (penser à un miroir : l'image d'une main droite est une main gauche).

Exemple 21. La réflexion de plan $(xOy)$, d'équation $z = 0$, a pour expression analytique $x' = x$, $y' = y$, $z' = -z$.

Exemple 22. $(P) : x + 2y + 2z - 1 = 0$, de vecteur normal $\vec n\,(1\,;2\,;2)$, et $M(2\,;2\,;2)$. La droite passant par $M$ et dirigée par $\vec n$ a pour représentation paramétrique $(2 + t\,;2 + 2t\,;2 + 2t)$. Elle coupe $(P)$ quand $(2 + t) + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) - 1 = 9 + 9t = 0$, soit $t = -1$ : $H(1\,;0\,;0)$. Alors $M' = s_P(M)$ vérifie $\overrightarrow{HM'} = -\overrightarrow{HM}$ : $M'(0\,;-2\,;-2)$. Contrôle : le milieu de $[MM']$ est $(1\,;0\,;0) = H$, qui est dans $(P)$, et $\overrightarrow{MM'}\,(-2\,;-4\,;-4) = -2\,\vec n$ est normal à $(P)$.

Remarque. Si $A \neq B$, la réflexion par rapport au plan médiateur de $[AB]$ échange $A$ et $B$.