Produit mixte, coplanarité et volumes

4.1 Définition

Définition. Le produit mixte de trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ (dans cet ordre) est le nombre réel $[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w.$ On le note aussi $\det(\vec u, \vec v, \vec w)$.

4.2 Expression analytique dans une base orthonormale directe

Si $\vec u\,(x\,;y\,;z)$, $\vec v\,(x'\,;y'\,;z')$ et $\vec w\,(x''\,;y''\,;z'')$, alors $[\vec u, \vec v, \vec w] = (yz' - zy')\,x'' + (zx' - xz')\,y'' + (xy' - yx')\,z''.$ On calcule d'abord $\vec u \wedge \vec v$, puis son produit scalaire avec $\vec w$.

Exemple 12. $\vec u\,(1\,;2\,;-1)$, $\vec v\,(3\,;0\,;2)$ et $\vec w\,(2\,;1\,;1)$. D'après l'exemple 5, $\vec u \wedge \vec v\,(4\,;-5\,;-6)$, donc $[\vec u, \vec v, \vec w] = 4 \times 2 + (-5) \times 1 + (-6) \times 1 = 8 - 5 - 6 = -3.$

4.3 Propriétés

Les deux premières propriétés se vérifient en développant l'expression analytique ; la troisième en découle : $[\vec u, \vec v, \vec w] = [\vec v, \vec w, \vec u] = (\vec v \wedge \vec w) \cdot \vec u$. La propriété du signe est admise ; par exemple $[\vec i, \vec j, \vec k] = \vec k \cdot \vec k = 1 > 0$.

Démonstration de la coplanarité.

• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, $\vec u \wedge \vec v = \vec 0$ : le produit mixte est nul, et les trois vecteurs sont coplanaires.
• Sinon, $\vec u \wedge \vec v$ est un vecteur normal au plan dirigé par $\vec u$ et $\vec v$. Alors $\vec w$ est coplanaire avec $\vec u$ et $\vec v$ si, et seulement si, $\vec w$ est orthogonal à ce vecteur normal, c'est-à-dire si $(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w = 0$.

Exemple 12 (suite). $[\vec u, \vec v, \vec w] = -3 < 0$ : les vecteurs ne sont pas coplanaires, et la base $(\vec u, \vec v, \vec w)$ est indirecte. Par permutation circulaire $[\vec v, \vec w, \vec u] = -3$, et $[\vec v, \vec u, \vec w] = 3$.

Exemple 13 (avec un paramètre). Avec les mêmes $\vec u$ et $\vec v$, pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w_m\,(m\,;2\,;1)$ sont-ils coplanaires ? $[\vec u, \vec v, \vec w_m] = 4m - 10 - 6 = 4m - 16.$ Ils sont coplanaires si, et seulement si, $m = 4$. On vérifie que $\vec w_4\,(4\,;2\,;1) = \vec u + \vec v$.

4.4 Points coplanaires

Propriété. Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si, et seulement si, $\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big] = 0$.

Exemple 14. On reprend $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$, $C(0\,;0\,;3)$, avec $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\,(6\,;3\,;2)$.

• $D(1\,;2\,;-3)$ : $\overrightarrow{AD}\,(0\,;2\,;-3)$ et $\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big] = 0 + 6 - 6 = 0$ : $D$ est dans le plan $(ABC)$.
• $E(1\,;1\,;1)$ : $\overrightarrow{AE}\,(0\,;1\,;1)$ et $\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE}\big] = 0 + 3 + 2 = 5 \neq 0$ : $A$, $B$, $C$, $E$ ne sont pas coplanaires.

4.5 Volumes

Propriété.

• Le volume du parallélépipède construit sur $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ est $\big|[\vec u, \vec v, \vec w]\big|$.
• Le volume du tétraèdre $ABCD$ est $\dfrac16\,\big|\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big]\big|$.

Démonstration. Le parallélogramme de base, construit sur $\vec u$ et $\vec v$, a pour aire $\|\vec u \wedge \vec v\|$. La hauteur est la longueur de la projection de $\vec w$ sur la direction normale $\vec u \wedge \vec v$ : elle vaut $\dfrac{|(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w|}{\|\vec u \wedge \vec v\|}$. Le volume, aire de base fois hauteur, vaut donc $|(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w|$. Pour le tétraèdre, $V = \frac13 \times \text{aire}(ABC) \times h$, et l'aire de $ABC$ est la moitié de celle du parallélogramme : on obtient $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ du volume du parallélépipède.

Exemple 15. $O(0\,;0\,;0)$, $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$, $C(0\,;0\,;3)$. $\big[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\big] = (\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = (0\,;0\,;2) \cdot (0\,;0\,;3) = 6.$ Le tétraèdre $OABC$ a pour volume $\dfrac66 = 1$. Pour le tétraèdre $ABCE$ de l'exemple 14, le volume vaut $\dfrac56$.

Calculer une hauteur. Si on connaît le volume $V$ d'un tétraèdre et l'aire $\mathcal{A}$ d'une face, la hauteur relative à cette face vaut $h = \dfrac{3V}{\mathcal{A}}$. Pour $OABC$ : $h = \dfrac{3 \times 1}{7/2} = \dfrac67$. On retrouve la distance de $O$ au plan $(ABC) : 6x + 3y + 2z - 6 = 0$, qui vaut $\dfrac{|-6|}{7} = \dfrac67$.