Rotations autour d'un axe et demi-tours

7.1 Axe orienté

Un axe $\Delta$ est une droite orientée par un vecteur directeur $\vec k$. Chaque plan $(Q)$ orthogonal à $\Delta$ est alors orienté par $\Delta$ : si $(\vec e_1, \vec e_2)$ est une base orthonormée de $(Q)$ telle que $(\vec e_1, \vec e_2, \vec k)$ soit directe, le sens direct dans $(Q)$ est celui qui va de $\vec e_1$ vers $\vec e_2$. Vu depuis la pointe de $\vec k$, c'est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

7.2 Définition

Définition. Soit $\Delta$ un axe orienté et $\theta$ un réel. La rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $\theta$ associe :

• à tout point $M$ de $\Delta$, le point $M$ lui-même ;
• à tout point $M$ hors de $\Delta$, le point $M'$ construit ainsi : on note $(Q)$ le plan passant par $M$ et orthogonal à $\Delta$, et $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et de $(Q)$ ; $M'$ est le point de $(Q)$ tel que $HM' = HM \qquad\text{et}\qquad \big(\overrightarrow{HM}, \overrightarrow{HM'}\big) = \theta \;[2\pi],$ l'angle étant orienté dans $(Q)$ par $\Delta$.

Rotation induite. Dans chaque plan $(Q)$ orthogonal à $\Delta$, la rotation d'axe $\Delta$ agit comme la rotation plane de centre $H = \Delta \cap (Q)$ et d'angle $\theta$ : c'est la rotation induite dans $(Q)$.

7.3 Propriétés

• Si $\theta \equiv 0 \;[2\pi]$, la rotation est l'identité. Sinon, ses points invariants sont les points de l'axe $\Delta$.
• Une rotation conserve les distances ; elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité.
• La réciproque de la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $\theta$ est la rotation de même axe et d'angle $-\theta$.
• Si on change l'orientation de l'axe, l'angle $\theta$ devient $-\theta$.
• Ensemble de points. Quand $\theta$ décrit $\mathbb{R}$, l'image d'un point $M$ hors de $\Delta$ décrit le cercle de $(Q)$ de centre $H$ et de rayon $HM$.

7.4 Rotation d'axe $(Oz)$

Propriété. Dans un repère orthonormé direct, la rotation d'axe $(Oz)$, orienté par $\vec k$, et d'angle $\theta$ a pour expression analytique $x' = x\cos\theta - y\sin\theta, \qquad y' = x\sin\theta + y\cos\theta, \qquad z' = z.$

Justification. Le plan $(Q)$ d'équation $z = z_M$ est orienté par $(\vec i, \vec j)$, et $H(0\,;0\,;z_M)$. La rotation induite agit sur $(x\,;y)$ comme la rotation plane de centre $H$ et d'angle $\theta$ : avec les nombres complexes du chapitre 7, $x' + iy' = e^{i\theta}(x + iy)$, et $z$ ne change pas.

Exemple 23. Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ : $x' = -y$, $y' = x$, $z' = z$. L'image de $M(2\,;0\,;1)$ est $M'(0\,;2\,;1)$ ; on a bien $HM = HM' = 2$ avec $H(0\,;0\,;1)$.

Exemple 24 (le cube). Soit $\Delta$ l'axe passant par les centres des faces $ABCD$ et $EFGH$, orienté par $\overrightarrow{AE}$, et $r$ la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Dans le plan de la face $ABCD$, la rotation induite a pour centre le centre de la face, et elle envoie $A$ sur $B$, $B$ sur $C$, $C$ sur $D$, $D$ sur $A$. De même, $E \mapsto F \mapsto G \mapsto H \mapsto E$. Le cube est donc globalement invariant par $r$.

7.5 Demi-tours

Définition. Le demi-tour d'axe $(D)$ est la rotation d'axe $(D)$ et d'angle $\pi$ ; l'orientation de l'axe n'a pas d'importance, car $\pi \equiv -\pi \;[2\pi]$. On l'appelle aussi symétrie d'axe $(D)$ : si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$, alors $H$ est le milieu de $[MM']$.

Expressions analytiques. Demi-tour d'axe $(Ox)$ : $(x\,;-y\,;-z)$ ; d'axe $(Oy)$ : $(-x\,;y\,;-z)$ ; d'axe $(Oz)$ : $(-x\,;-y\,;z)$.

Exemple 25. $(D)$ passe par $A(1\,;0\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\vec u\,(0\,;1\,;1)$, et $M(1\,;2\,;0)$. Le projeté de $M$ sur $(D)$ est $H = A + t\,\vec u$ avec $t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec u}{\|\vec u\|^2} = \dfrac{2}{2} = 1$ : $H(1\,;1\,;1)$. Comme $H$ est le milieu de $[MM']$, on a $M'(1\,;0\,;2)$. On vérifie que $HM = HM' = \sqrt2$.

Attention à ne pas confondre : la symétrie de centre $\Omega$ (un point, homothétie de rapport $-1$), le demi-tour d'axe $(D)$ (une droite) et la réflexion de plan $(P)$ (un plan).