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Chapitre 12 · Cours écrit

Géométrie dans l'espace

Programme de S1 Version pour les séries S1, S3 et S1A.

En Première, tu as étudié les vecteurs de l'espace, le produit scalaire, les droites, les plans et les sphères. Ce chapitre ajoute deux outils de calcul, le produit vectoriel et le produit mixte, qui donnent rapidement des aires, des vecteurs normaux, des équations de plans, des distances et des volumes. Il présente ensuite les transformations élémentaires de l'espace : translations, homothéties, réflexions, rotations autour d'un axe et demi-tours, et la composée de deux réflexions.

Notations. Un vecteur est noté u⃗\vec u ou AB→\overrightarrow{AB}, sa norme ∥u⃗∥\|\vec u\|, et le produit scalaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v est noté u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v. Les coordonnées s'écrivent en ligne, séparées par des points-virgules, par exemple A(1 ;0 ;2)A(1\,;0\,;2) ou u⃗ (1 ;2 ;−1)\vec u\,(1\,;2\,;-1), ou en colonne dans les calculs.

Rappels de Première (base orthonormale (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec i, \vec j, \vec k)).

  • Si u⃗ (x ;y ;z)\vec u\,(x\,;y\,;z) et v⃗ (x′ ;y′ ;z′)\vec v\,(x'\,;y'\,;z'), alors u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' et ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ; u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v si, et seulement si, u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.
  • Si θ∈[0 ;π]\theta \in [0\,;\pi] est l'angle géométrique de deux vecteurs non nuls, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\| \cos\theta.
  • Un plan de vecteur normal n⃗ (a ;b ;c)\vec n\,(a\,;b\,;c) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0.
  • La distance du point A(α ;β ;γ)A(\alpha\,;\beta\,;\gamma) au plan (P):ax+by+cz+d=0(P) : ax + by + cz + d = 0 est d(A,(P))=∣aα+bβ+cγ+d∣a2+b2+c2.d(A, (P)) = \frac{|a\alpha + b\beta + c\gamma + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
  • La droite passant par A(xA ;yA ;zA)A(x_A\,;y_A\,;z_A) et de vecteur directeur u⃗ (a ;b ;c)\vec u\,(a\,;b\,;c) a pour représentation paramétrique x=xA+tax = x_A + ta, y=yA+tby = y_A + tb, z=zA+tcz = z_A + tc, t∈Rt \in \mathbb{R}.

Leçon 1 : Orientation de l'espace et produit vectoriel

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Pourquoi orienter l'espace

Dans le plan, on choisit un sens de rotation, le sens inverse des aiguilles d'une montre : c'est le sens direct. Dans l'espace, cela ne suffit plus. Dessine un cercle sur une table en verre et parcours-le dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : vu d'en haut, il tourne dans le sens direct ; vu d'en dessous, à travers la vitre, il tourne dans l'autre sens. Le sens de rotation d'un plan dépend du côté d'où on le regarde. Il faut donc orienter l'espace lui-même. C'est aussi ce que font les sciences physiques avec le champ magnétique créé par un courant (règle du bonhomme d'Ampère).

Le programme ne demande aucune théorie de l'orientation : on utilise une règle pratique.

1.2 Bases et repères directs

Règle du bonhomme d'Ampère. Soit (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) trois vecteurs non coplanaires. Un observateur se tient debout le long de w⃗\vec w, les pieds à l'origine du vecteur et la tête vers sa pointe ; il regarde dans la direction de u⃗\vec u. Si v⃗\vec v part vers sa gauche, la base (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) est directe ; sinon, elle est indirecte.

Règle de la main droite (équivalente). Avec la main droite, le pouce suit u⃗\vec u, l'index suit v⃗\vec v : la base est directe si le majeur, plié, montre w⃗\vec w.

Définition. Un repère orthonormé (O ;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,;\vec i, \vec j, \vec k) est direct si la base (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec i, \vec j, \vec k) est directe, et indirect sinon.

Sur une figure en perspective cavalière, on dessine en général i⃗\vec i vers l'avant (en oblique, vers le bas et la gauche), j⃗\vec j vers la droite et k⃗\vec k vers le haut : le repère est alors direct.

Propriétés (admises). Si (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) est une base directe :

  • les bases (v⃗,w⃗,u⃗)(\vec v, \vec w, \vec u) et (w⃗,u⃗,v⃗)(\vec w, \vec u, \vec v), obtenues par permutation circulaire, sont directes ;
  • si on échange deux vecteurs, par exemple (v⃗,u⃗,w⃗)(\vec v, \vec u, \vec w), la base devient indirecte ;
  • si on remplace un vecteur par son opposé, par exemple (u⃗,v⃗,−w⃗)(\vec u, \vec v, -\vec w), la base devient indirecte.

Convention. Dans toute la suite, l'espace est orienté, et les repères orthonormés sont directs, sauf mention contraire.

Exemple 1 (le cube). ABCDEFGHABCDEFGH est un cube d'arête 11 : ABCDABCD est la face du bas, et EE, FF, GG, HH sont au-dessus de AA, BB, CC, DD. On suppose le repère (A ;AB→,AD→,AE→)(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}) direct.

  • (AD→,AE→,AB→)(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AB}) est directe (permutation circulaire) ;
  • (AD→,AB→,AE→)(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}) est indirecte (on a échangé les deux premiers vecteurs) ;
  • (AB→,AD→,EA→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{EA}) est indirecte, car EA→=−AE→\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE}.

1.3 Définition du produit vectoriel

Définition. Soit u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs de l'espace orienté. Le produit vectoriel de u⃗\vec u par v⃗\vec v est le vecteur noté u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v (on lit « u⃗\vec u vectoriel v⃗\vec v ») défini ainsi :

  • si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires, u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 ;
  • sinon, w⃗=u⃗∧v⃗\vec w = \vec u \wedge \vec v est le vecteur tel que :
    1. w⃗\vec w est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v ;
    2. la base (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) est directe ;
    3. ∥w⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ sin⁡θ\|\vec w\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\theta, où θ∈ ]0 ;π[\theta \in\, ]0\,;\pi[ est l'angle géométrique des vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v.

Remarque. La formule ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ sin⁡θ\|\vec u \wedge \vec v\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\theta reste vraie quand u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires et non nuls (θ=0\theta = 0 ou θ=π\theta = \pi, donc sin⁡θ=0\sin\theta = 0). Comme θ∈[0 ;π]\theta \in [0\,;\pi], on a toujours sin⁡θ≥0\sin\theta \geq 0.

Exemple 2 (les vecteurs de base). Dans un repère orthonormé direct (O ;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,;\vec i, \vec j, \vec k), calculons i⃗∧j⃗\vec i \wedge \vec j. Ce vecteur est orthogonal à i⃗\vec i et à j⃗\vec j, donc colinéaire à k⃗\vec k ; sa norme vaut 1×1×sin⁡π2=11 \times 1 \times \sin\frac{\pi}{2} = 1 ; enfin (i⃗,j⃗,i⃗∧j⃗)(\vec i, \vec j, \vec i \wedge \vec j) doit être directe. Donc i⃗∧j⃗=k⃗\vec i \wedge \vec j = \vec k. De la même façon, avec les permutations circulaires : i⃗∧j⃗=k⃗,j⃗∧k⃗=i⃗,k⃗∧i⃗=j⃗.\vec i \wedge \vec j = \vec k, \qquad \vec j \wedge \vec k = \vec i, \qquad \vec k \wedge \vec i = \vec j. Dans l'autre ordre, on obtient les opposés : j⃗∧i⃗=−k⃗\vec j \wedge \vec i = -\vec k, k⃗∧j⃗=−i⃗\vec k \wedge \vec j = -\vec i, i⃗∧k⃗=−j⃗\vec i \wedge \vec k = -\vec j. Et i⃗∧i⃗=j⃗∧j⃗=k⃗∧k⃗=0⃗\vec i \wedge \vec i = \vec j \wedge \vec j = \vec k \wedge \vec k = \vec 0.

∧\wedge i⃗\vec i j⃗\vec j k⃗\vec k
i⃗\vec i 0⃗\vec 0 k⃗\vec k −j⃗-\vec j
j⃗\vec j −k⃗-\vec k 0⃗\vec 0 i⃗\vec i
k⃗\vec k j⃗\vec j −i⃗-\vec i 0⃗\vec 0

Le tableau se lit : ligne, vectoriel, colonne. Par exemple k⃗∧i⃗=j⃗\vec k \wedge \vec i = \vec j.

Exemple 3 (le cube, suite). Dans le cube de l'exemple 1, AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD} et AE→\overrightarrow{AE} jouent le rôle de i⃗\vec i, j⃗\vec j, k⃗\vec k. Donc :

  • AB→∧AD→=AE→\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} ;
  • AE→∧AB→=AD→\overrightarrow{AE} \wedge \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} ;
  • AB→∧AE→=−AD→=DA→\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} ;
  • AB→∧DC→=0⃗\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{DC} = \vec 0, car DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.

Exemple 4. Si ∥u⃗∥=2\|\vec u\| = 2, ∥v⃗∥=3\|\vec v\| = 3 et si l'angle géométrique de u⃗\vec u et v⃗\vec v est π6\frac{\pi}{6}, alors ∥u⃗∧v⃗∥=2×3×sin⁡π6=6×12=3\|\vec u \wedge \vec v\| = 2 \times 3 \times \sin\frac{\pi}{6} = 6 \times \frac12 = 3.

Remarque. En sciences physiques, le produit vectoriel sert par exemple à écrire la force de Laplace qui s'exerce sur un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique.

Leçon 2 : Propriétés et expression analytique du produit vectoriel

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Propriétés

Soit u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w trois vecteurs et kk un réel.

Propriété Énoncé
Colinéarité u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 si, et seulement si, u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires.
Antisymétrie v⃗∧u⃗=− u⃗∧v⃗\vec v \wedge \vec u = -\,\vec u \wedge \vec v.
Produit par un réel (ku⃗)∧v⃗=u⃗∧(kv⃗)=k (u⃗∧v⃗)(k\vec u) \wedge \vec v = \vec u \wedge (k\vec v) = k\,(\vec u \wedge \vec v).
Distributivité u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗\vec u \wedge (\vec v + \vec w) = \vec u \wedge \vec v + \vec u \wedge \vec w et (u⃗+v⃗)∧w⃗=u⃗∧w⃗+v⃗∧w⃗(\vec u + \vec v) \wedge \vec w = \vec u \wedge \vec w + \vec v \wedge \vec w.
Orthogonalité u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v.

Justifications.

  • Colinéarité. Si u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires, ils sont non nuls et θ∈ ]0 ;π[\theta \in\, ]0\,;\pi[, donc sin⁡θ>0\sin\theta > 0 et ∥u⃗∧v⃗∥>0\|\vec u \wedge \vec v\| > 0.
  • Antisymétrie. u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v et v⃗∧u⃗\vec v \wedge \vec u ont la même direction (orthogonale à u⃗\vec u et v⃗\vec v) et la même norme. Mais si (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) est directe, (v⃗,u⃗,w⃗)(\vec v, \vec u, \vec w) est indirecte : les deux vecteurs sont donc opposés.
  • La propriété du produit par un réel et la distributivité sont admises.

Attention. Le produit vectoriel n'est pas commutatif (l'ordre compte) et n'est pas associatif : (i⃗∧i⃗)∧j⃗=0⃗∧j⃗=0⃗,maisi⃗∧(i⃗∧j⃗)=i⃗∧k⃗=−j⃗.(\vec i \wedge \vec i) \wedge \vec j = \vec 0 \wedge \vec j = \vec 0, \qquad \text{mais} \qquad \vec i \wedge (\vec i \wedge \vec j) = \vec i \wedge \vec k = -\vec j.

Remarque (identité de Lagrange, non exigible). Pour tous vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v, ∥u⃗∧v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2 ∥v⃗∥2.\|\vec u \wedge \vec v\|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 = \|\vec u\|^2\,\|\vec v\|^2. En effet, pour des vecteurs non nuls, le premier membre vaut ∥u⃗∥2∥v⃗∥2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta).

2.2 Expression analytique dans un repère orthonormé direct

Théorème. Dans un repère orthonormé direct, si u⃗ (x ;y ;z)\vec u\,(x\,;y\,;z) et v⃗ (x′ ;y′ ;z′)\vec v\,(x'\,;y'\,;z'), alors u⃗∧v⃗(yz′−zy′zx′−xz′xy′−yx′).\vec u \wedge \vec v \begin{pmatrix} y z' - z y' \\ z x' - x z' \\ x y' - y x' \end{pmatrix}.

Démonstration. On développe (xi⃗+yj⃗+zk⃗)∧(x′i⃗+y′j⃗+z′k⃗)(x\vec i + y\vec j + z\vec k) \wedge (x'\vec i + y'\vec j + z'\vec k) avec la distributivité et le produit par un réel. On obtient neuf termes ; les trois termes i⃗∧i⃗\vec i \wedge \vec i, j⃗∧j⃗\vec j \wedge \vec j, k⃗∧k⃗\vec k \wedge \vec k sont nuls, et avec le tableau de la leçon 1 : u⃗∧v⃗=xy′ k⃗−xz′ j⃗−yx′ k⃗+yz′ i⃗+zx′ j⃗−zy′ i⃗=(yz′−zy′) i⃗+(zx′−xz′) j⃗+(xy′−yx′) k⃗.\vec u \wedge \vec v = xy'\,\vec k - xz'\,\vec j - yx'\,\vec k + yz'\,\vec i + zx'\,\vec j - zy'\,\vec i = (yz' - zy')\,\vec i + (zx' - xz')\,\vec j + (xy' - yx')\,\vec k.

Méthode : cacher une ligne. On écrit les coordonnées de u⃗\vec u et de v⃗\vec v en deux colonnes.

  • Première coordonnée : on cache la première ligne, et on fait le produit en croix des deux lignes restantes : yz′−zy′yz' - zy'.
  • Deuxième coordonnée : on cache la deuxième ligne, on fait le produit en croix xz′−zx′xz' - zx', et on prend son opposé : zx′−xz′zx' - xz'.
  • Troisième coordonnée : on cache la troisième ligne : xy′−yx′xy' - yx'.

Exemple 5. u⃗ (1 ;2 ;−1)\vec u\,(1\,;2\,;-1) et v⃗ (3 ;0 ;2)\vec v\,(3\,;0\,;2).

  • première coordonnée : 2×2−(−1)×0=42 \times 2 - (-1) \times 0 = 4 ;
  • deuxième coordonnée : −(1×2−(−1)×3)=−5-\big(1 \times 2 - (-1) \times 3\big) = -5 ;
  • troisième coordonnée : 1×0−2×3=−61 \times 0 - 2 \times 3 = -6.

Donc u⃗∧v⃗ (4 ;−5 ;−6)\vec u \wedge \vec v\,(4\,;-5\,;-6). Contrôle : (4 ;−5 ;−6)⋅(1 ;2 ;−1)=4−10+6=0(4\,;-5\,;-6) \cdot (1\,;2\,;-1) = 4 - 10 + 6 = 0 et (4 ;−5 ;−6)⋅(3 ;0 ;2)=12+0−12=0(4\,;-5\,;-6) \cdot (3\,;0\,;2) = 12 + 0 - 12 = 0 : le résultat est bien orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v.

Conseil. Vérifie toujours ton résultat par ces deux produits scalaires : une erreur de calcul se voit tout de suite.

Exemple 6 (le cube). Dans le repère (A ;AB→,AD→,AE→)(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}), AC→ (1 ;1 ;0)\overrightarrow{AC}\,(1\,;1\,;0) et AE→ (0 ;0 ;1)\overrightarrow{AE}\,(0\,;0\,;1). Alors AC→∧AE→=(1×1−0×0 ; 0×0−1×1 ; 1×0−1×0)=(1 ;−1 ;0).\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AE} = (1 \times 1 - 0 \times 0\,;\ 0 \times 0 - 1 \times 1\,;\ 1 \times 0 - 1 \times 0) = (1\,;-1\,;0). Or D(0 ;1 ;0)D(0\,;1\,;0) et B(1 ;0 ;0)B(1\,;0\,;0), donc DB→ (1 ;−1 ;0)\overrightarrow{DB}\,(1\,;-1\,;0) : AC→∧AE→=DB→\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DB}.

2.3 Colinéarité et alignement

Propriété. Trois points AA, BB, CC sont alignés si, et seulement si, AB→∧AC→=0⃗\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec 0.

Exemple 7. A(1 ;2 ;3)A(1\,;2\,;3), B(2 ;4 ;1)B(2\,;4\,;1), C(4 ;8 ;−3)C(4\,;8\,;-3) et D(0 ;1 ;1)D(0\,;1\,;1). On a AB→ (1 ;2 ;−2)\overrightarrow{AB}\,(1\,;2\,;-2), AC→ (3 ;6 ;−6)\overrightarrow{AC}\,(3\,;6\,;-6) et AD→ (−1 ;−1 ;−2)\overrightarrow{AD}\,(-1\,;-1\,;-2).

  • AB→∧AC→=(2×(−6)−(−2)×6 ; (−2)×3−1×(−6) ; 1×6−2×3)=(0 ;0 ;0)\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(2 \times (-6) - (-2) \times 6\,;\ (-2) \times 3 - 1 \times (-6)\,;\ 1 \times 6 - 2 \times 3\big) = (0\,;0\,;0) : AA, BB, CC sont alignés (en effet AC→=3 AB→\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}).
  • AB→∧AD→=(−6 ;4 ;1)≠0⃗\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} = (-6\,;4\,;1) \neq \vec 0 : AA, BB, DD ne sont pas alignés.

Exemple 8 (avec un paramètre). Pour quelles valeurs de mm les vecteurs u⃗ (2 ;m ;3)\vec u\,(2\,;m\,;3) et v⃗ (4 ;−2 ;6)\vec v\,(4\,;-2\,;6) sont-ils colinéaires ? u⃗∧v⃗=(6m+6 ; 3×4−2×6 ; −4−4m)=(6m+6 ;0 ;−4−4m).\vec u \wedge \vec v = \big(6m + 6\,;\ 3 \times 4 - 2 \times 6\,;\ -4 - 4m\big) = (6m + 6\,;0\,;-4 - 4m). Ce vecteur est nul si, et seulement si, m=−1m = -1. Alors v⃗=2 u⃗\vec v = 2\,\vec u.

Leçon 3 : Aires, vecteur normal et équation d'un plan

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Aire d'un parallélogramme et d'un triangle

Propriété. Soit AA, BB, CC trois points non alignés.

  • L'aire du parallélogramme construit sur AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} est ∥AB→∧AC→∥\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|.
  • L'aire du triangle ABCABC est 12 ∥AB→∧AC→∥\dfrac12\,\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|.

Démonstration. Prenons [AB][AB] comme base du parallélogramme. Si θ\theta est l'angle BAC^\widehat{BAC}, la hauteur correspondante vaut h=ACsin⁡θh = AC \sin\theta. L'aire vaut donc AB×ACsin⁡θ=∥AB→∧AC→∥AB \times AC \sin\theta = \big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|. Le triangle ABCABC est la moitié du parallélogramme.

Exemple 9. A(1 ;0 ;0)A(1\,;0\,;0), B(0 ;2 ;0)B(0\,;2\,;0) et C(0 ;0 ;3)C(0\,;0\,;3). On a AB→ (−1 ;2 ;0)\overrightarrow{AB}\,(-1\,;2\,;0) et AC→ (−1 ;0 ;3)\overrightarrow{AC}\,(-1\,;0\,;3), donc AB→∧AC→=(2×3−0×0 ; 0×(−1)−(−1)×3 ; (−1)×0−2×(−1))=(6 ;3 ;2).\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(2 \times 3 - 0 \times 0\,;\ 0 \times (-1) - (-1) \times 3\,;\ (-1) \times 0 - 2 \times (-1)\big) = (6\,;3\,;2). Sa norme vaut 36+9+4=49=7\sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7. L'aire du triangle ABCABC est 72\dfrac72.

3.2 Vecteur normal à un plan

Propriété. Si AA, BB, CC ne sont pas alignés, le vecteur n⃗=AB→∧AC→\vec n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} est non nul et orthogonal à AB→\overrightarrow{AB} et à AC→\overrightarrow{AC} : c'est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).

Plus généralement, un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires u⃗\vec u et v⃗\vec v a pour vecteur normal u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v.

3.3 Équation d'un plan

Méthode. Pour trouver une équation du plan (ABC)(ABC) :

  1. on calcule n⃗=AB→∧AC→ (a ;b ;c)\vec n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\,(a\,;b\,;c) ;
  2. un point M(x ;y ;z)M(x\,;y\,;z) est dans le plan si, et seulement si, AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0 ;
  3. on obtient ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0, et on vérifie que BB et CC satisfont l'équation.

Exemple 9 (suite). n⃗ (6 ;3 ;2)\vec n\,(6\,;3\,;2) et A(1 ;0 ;0)A(1\,;0\,;0) : M∈(ABC)  ⟺  6(x−1)+3y+2z=0M \in (ABC) \iff 6(x - 1) + 3y + 2z = 0, soit (ABC):6x+3y+2z−6=0.(ABC) : 6x + 3y + 2z - 6 = 0. Contrôle : pour BB, 6−6=06 - 6 = 0 ; pour CC, 6−6=06 - 6 = 0.

Exemple 10. Le plan (P)(P) passe par A(2 ;−1 ;0)A(2\,;-1\,;0) et il est dirigé par u⃗ (1 ;1 ;0)\vec u\,(1\,;1\,;0) et v⃗ (0 ;1 ;3)\vec v\,(0\,;1\,;3). Un vecteur normal est u⃗∧v⃗=(3 ;−3 ;1)\vec u \wedge \vec v = (3\,;-3\,;1). Donc (P):3x−3y+z+d=0(P) : 3x - 3y + z + d = 0, et A∈(P)A \in (P) donne 6+3+d=06 + 3 + d = 0, soit d=−9d = -9 : (P):3x−3y+z−9=0.(P) : 3x - 3y + z - 9 = 0.

Application : direction de l'intersection de deux plans. Si deux plans sécants ont pour vecteurs normaux n⃗\vec n et n⃗′\vec n', leur droite d'intersection est orthogonale à n⃗\vec n et à n⃗′\vec n' : elle est dirigée par n⃗∧n⃗′\vec n \wedge \vec n'.

Exemple 11. (P):x−y+z−2=0(P) : x - y + z - 2 = 0 et (Q):x+2y−z−1=0(Q) : x + 2y - z - 1 = 0. On a n⃗ (1 ;−1 ;1)\vec n\,(1\,;-1\,;1), n⃗′ (1 ;2 ;−1)\vec n'\,(1\,;2\,;-1) et n⃗∧n⃗′=(−1 ;2 ;3)\vec n \wedge \vec n' = (-1\,;2\,;3). Le point (0 ;3 ;5)(0\,;3\,;5) est dans les deux plans (0−3+5−2=00 - 3 + 5 - 2 = 0 et 0+6−5−1=00 + 6 - 5 - 1 = 0). La droite d'intersection a pour représentation paramétrique x=−tx = -t, y=3+2ty = 3 + 2t, z=5+3tz = 5 + 3t, t∈Rt \in \mathbb{R}.

Leçon 4 : Produit mixte, coplanarité et volumes

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Définition

Définition. Le produit mixte de trois vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w (dans cet ordre) est le nombre réel [u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗.[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w. On le note aussi det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)\det(\vec u, \vec v, \vec w).

4.2 Expression analytique dans une base orthonormale directe

Si u⃗ (x ;y ;z)\vec u\,(x\,;y\,;z), v⃗ (x′ ;y′ ;z′)\vec v\,(x'\,;y'\,;z') et w⃗ (x′′ ;y′′ ;z′′)\vec w\,(x''\,;y''\,;z''), alors [u⃗,v⃗,w⃗]=(yz′−zy′) x′′+(zx′−xz′) y′′+(xy′−yx′) z′′.[\vec u, \vec v, \vec w] = (yz' - zy')\,x'' + (zx' - xz')\,y'' + (xy' - yx')\,z''. On calcule d'abord u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v, puis son produit scalaire avec w⃗\vec w.

Exemple 12. u⃗ (1 ;2 ;−1)\vec u\,(1\,;2\,;-1), v⃗ (3 ;0 ;2)\vec v\,(3\,;0\,;2) et w⃗ (2 ;1 ;1)\vec w\,(2\,;1\,;1). D'après l'exemple 5, u⃗∧v⃗ (4 ;−5 ;−6)\vec u \wedge \vec v\,(4\,;-5\,;-6), donc [u⃗,v⃗,w⃗]=4×2+(−5)×1+(−6)×1=8−5−6=−3.[\vec u, \vec v, \vec w] = 4 \times 2 + (-5) \times 1 + (-6) \times 1 = 8 - 5 - 6 = -3.

4.3 Propriétés

Propriété Énoncé
Permutation circulaire [u⃗,v⃗,w⃗]=[v⃗,w⃗,u⃗]=[w⃗,u⃗,v⃗][\vec u, \vec v, \vec w] = [\vec v, \vec w, \vec u] = [\vec w, \vec u, \vec v]
Échange de deux vecteurs le produit mixte change de signe : [v⃗,u⃗,w⃗]=−[u⃗,v⃗,w⃗][\vec v, \vec u, \vec w] = -[\vec u, \vec v, \vec w]
Autre écriture [u⃗,v⃗,w⃗]=u⃗⋅(v⃗∧w⃗)[\vec u, \vec v, \vec w] = \vec u \cdot (\vec v \wedge \vec w)
Coplanarité [u⃗,v⃗,w⃗]=0[\vec u, \vec v, \vec w] = 0 si, et seulement si, u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w sont coplanaires
Signe [u⃗,v⃗,w⃗]>0[\vec u, \vec v, \vec w] > 0 si, et seulement si, (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) est une base directe

Les deux premières propriétés se vérifient en développant l'expression analytique ; la troisième en découle : [u⃗,v⃗,w⃗]=[v⃗,w⃗,u⃗]=(v⃗∧w⃗)⋅u⃗[\vec u, \vec v, \vec w] = [\vec v, \vec w, \vec u] = (\vec v \wedge \vec w) \cdot \vec u. La propriété du signe est admise ; par exemple [i⃗,j⃗,k⃗]=k⃗⋅k⃗=1>0[\vec i, \vec j, \vec k] = \vec k \cdot \vec k = 1 > 0.

Démonstration de la coplanarité.

  • Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires, u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 : le produit mixte est nul, et les trois vecteurs sont coplanaires.
  • Sinon, u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est un vecteur normal au plan dirigé par u⃗\vec u et v⃗\vec v. Alors w⃗\vec w est coplanaire avec u⃗\vec u et v⃗\vec v si, et seulement si, w⃗\vec w est orthogonal à ce vecteur normal, c'est-à-dire si (u⃗∧v⃗)⋅w⃗=0(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w = 0.

Exemple 12 (suite). [u⃗,v⃗,w⃗]=−3<0[\vec u, \vec v, \vec w] = -3 < 0 : les vecteurs ne sont pas coplanaires, et la base (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u, \vec v, \vec w) est indirecte. Par permutation circulaire [v⃗,w⃗,u⃗]=−3[\vec v, \vec w, \vec u] = -3, et [v⃗,u⃗,w⃗]=3[\vec v, \vec u, \vec w] = 3.

Exemple 13 (avec un paramètre). Avec les mêmes u⃗\vec u et v⃗\vec v, pour quelle valeur de mm les vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v et w⃗m (m ;2 ;1)\vec w_m\,(m\,;2\,;1) sont-ils coplanaires ? [u⃗,v⃗,w⃗m]=4m−10−6=4m−16.[\vec u, \vec v, \vec w_m] = 4m - 10 - 6 = 4m - 16. Ils sont coplanaires si, et seulement si, m=4m = 4. On vérifie que w⃗4 (4 ;2 ;1)=u⃗+v⃗\vec w_4\,(4\,;2\,;1) = \vec u + \vec v.

4.4 Points coplanaires

Propriété. Quatre points AA, BB, CC, DD sont coplanaires si, et seulement si, [AB→,AC→,AD→]=0\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big] = 0.

Exemple 14. On reprend A(1 ;0 ;0)A(1\,;0\,;0), B(0 ;2 ;0)B(0\,;2\,;0), C(0 ;0 ;3)C(0\,;0\,;3), avec AB→∧AC→ (6 ;3 ;2)\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\,(6\,;3\,;2).

  • D(1 ;2 ;−3)D(1\,;2\,;-3) : AD→ (0 ;2 ;−3)\overrightarrow{AD}\,(0\,;2\,;-3) et [AB→,AC→,AD→]=0+6−6=0\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big] = 0 + 6 - 6 = 0 : DD est dans le plan (ABC)(ABC).
  • E(1 ;1 ;1)E(1\,;1\,;1) : AE→ (0 ;1 ;1)\overrightarrow{AE}\,(0\,;1\,;1) et [AB→,AC→,AE→]=0+3+2=5≠0\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE}\big] = 0 + 3 + 2 = 5 \neq 0 : AA, BB, CC, EE ne sont pas coplanaires.

4.5 Volumes

Propriété.

  • Le volume du parallélépipède construit sur u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w est ∣[u⃗,v⃗,w⃗]∣\big|[\vec u, \vec v, \vec w]\big|.
  • Le volume du tétraèdre ABCDABCD est 16 ∣[AB→,AC→,AD→]∣\dfrac16\,\big|\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big]\big|.

Démonstration. Le parallélogramme de base, construit sur u⃗\vec u et v⃗\vec v, a pour aire ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u \wedge \vec v\|. La hauteur est la longueur de la projection de w⃗\vec w sur la direction normale u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v : elle vaut ∣(u⃗∧v⃗)⋅w⃗∣∥u⃗∧v⃗∥\dfrac{|(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w|}{\|\vec u \wedge \vec v\|}. Le volume, aire de base fois hauteur, vaut donc ∣(u⃗∧v⃗)⋅w⃗∣|(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w|. Pour le tétraèdre, V=13×aire(ABC)×hV = \frac13 \times \text{aire}(ABC) \times h, et l'aire de ABCABC est la moitié de celle du parallélogramme : on obtient 13×12=16\frac13 \times \frac12 = \frac16 du volume du parallélépipède.

Exemple 15. O(0 ;0 ;0)O(0\,;0\,;0), A(1 ;0 ;0)A(1\,;0\,;0), B(0 ;2 ;0)B(0\,;2\,;0), C(0 ;0 ;3)C(0\,;0\,;3). [OA→,OB→,OC→]=(OA→∧OB→)⋅OC→=(0 ;0 ;2)⋅(0 ;0 ;3)=6.\big[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\big] = (\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = (0\,;0\,;2) \cdot (0\,;0\,;3) = 6. Le tétraèdre OABCOABC a pour volume 66=1\dfrac66 = 1. Pour le tétraèdre ABCEABCE de l'exemple 14, le volume vaut 56\dfrac56.

Calculer une hauteur. Si on connaît le volume VV d'un tétraèdre et l'aire A\mathcal{A} d'une face, la hauteur relative à cette face vaut h=3VAh = \dfrac{3V}{\mathcal{A}}. Pour OABCOABC : h=3×17/2=67h = \dfrac{3 \times 1}{7/2} = \dfrac67. On retrouve la distance de OO au plan (ABC):6x+3y+2z−6=0(ABC) : 6x + 3y + 2z - 6 = 0, qui vaut ∣−6∣7=67\dfrac{|-6|}{7} = \dfrac67.

Leçon 5 : Distance d'un point à une droite, distance de deux droites

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Distance d'un point à une droite

Définition. La distance d'un point MM à une droite (D)(D) est la distance MHMH, où HH est le projeté orthogonal de MM sur (D)(D). C'est la plus petite des distances MPMP, pour PP point de (D)(D).

Théorème. Si (D)(D) passe par AA et a pour vecteur directeur u⃗\vec u, alors d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥.d(M, (D)) = \frac{\big\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec u\big\|}{\|\vec u\|}.

Démonstration. Le parallélogramme construit sur u⃗\vec u (placé en AA) et sur AM→\overrightarrow{AM} a pour aire ∥AM→∧u⃗∥\big\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec u\big\|. Sa base mesure ∥u⃗∥\|\vec u\| et la hauteur correspondante est la distance de MM à la droite (D)(D). Donc ∥AM→∧u⃗∥=∥u⃗∥×d(M,(D))\big\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec u\big\| = \|\vec u\| \times d(M, (D)).

Exemple 16. (D)(D) passe par A(1 ;0 ;2)A(1\,;0\,;2) et a pour vecteur directeur u⃗ (1 ;2 ;2)\vec u\,(1\,;2\,;2) ; M(4 ;3 ;2)M(4\,;3\,;2). AM→ (3 ;3 ;0)\overrightarrow{AM}\,(3\,;3\,;0) et AM→∧u⃗=(3×2−0×2 ; 0×1−3×2 ; 3×2−3×1)=(6 ;−6 ;3)\overrightarrow{AM} \wedge \vec u = (3 \times 2 - 0 \times 2\,;\ 0 \times 1 - 3 \times 2\,;\ 3 \times 2 - 3 \times 1) = (6\,;-6\,;3), de norme 36+36+9=9\sqrt{36 + 36 + 9} = 9. Comme ∥u⃗∥=3\|\vec u\| = 3 : d(M,(D))=93=3.d(M, (D)) = \frac93 = 3. Autre méthode (Première). Le projeté HH s'écrit A+t u⃗A + t\,\vec u avec HM→⋅u⃗=0\overrightarrow{HM} \cdot \vec u = 0, soit t=AM→⋅u⃗∥u⃗∥2=99=1t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec u}{\|\vec u\|^2} = \dfrac99 = 1. Donc H(2 ;2 ;4)H(2\,;2\,;4), HM→ (2 ;1 ;−2)\overrightarrow{HM}\,(2\,;1\,;-2) et HM=4+1+4=3HM = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3.

5.2 Distance de deux droites

Définition. La distance de deux droites (D1)(D_1) et (D2)(D_2) est la plus petite des distances MNMN, pour MM point de (D1)(D_1) et NN point de (D2)(D_2).

Cas de deux droites parallèles. Tous les points de (D2)(D_2) sont à la même distance de (D1)(D_1) : la distance des deux droites est la distance d'un point quelconque de (D2)(D_2) à la droite (D1)(D_1).

Cas de deux droites non parallèles. Soit (D1)(D_1) passant par AA, de vecteur directeur u⃗\vec u, et (D2)(D_2) passant par BB, de vecteur directeur v⃗\vec v, avec u⃗∧v⃗≠0⃗\vec u \wedge \vec v \neq \vec 0.

  • (Admis) Il existe un unique point M0M_0 de (D1)(D_1) et un unique point N0N_0 de (D2)(D_2) tels que la droite (M0N0)(M_0N_0) soit orthogonale à (D1)(D_1) et à (D2)(D_2) : si M0≠N0M_0 \neq N_0, c'est la perpendiculaire commune aux deux droites.
  • Théorème. La distance des deux droites est d((D1),(D2))=M0N0=∣[AB→,u⃗,v⃗]∣∥u⃗∧v⃗∥.d\big((D_1), (D_2)\big) = M_0N_0 = \frac{\big|\big[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v\big]\big|}{\|\vec u \wedge \vec v\|}.

Démonstration. Posons n⃗=u⃗∧v⃗\vec n = \vec u \wedge \vec v. On écrit AB→=AM0→+M0N0→+N0B→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_0} + \overrightarrow{M_0N_0} + \overrightarrow{N_0B}. Les vecteurs AM0→\overrightarrow{AM_0} et N0B→\overrightarrow{N_0B} sont colinéaires à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, donc orthogonaux à n⃗\vec n ; d'où AB→⋅n⃗=M0N0→⋅n⃗\overrightarrow{AB} \cdot \vec n = \overrightarrow{M_0N_0} \cdot \vec n. Or M0N0→\overrightarrow{M_0N_0} est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, donc colinéaire à n⃗\vec n : ∣M0N0→⋅n⃗∣=M0N0×∥n⃗∥|\overrightarrow{M_0N_0} \cdot \vec n| = M_0N_0 \times \|\vec n\|. Comme AB→⋅n⃗=(u⃗∧v⃗)⋅AB→=[u⃗,v⃗,AB→]=[AB→,u⃗,v⃗]\overrightarrow{AB} \cdot \vec n = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \overrightarrow{AB} = \big[\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}\big] = \big[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v\big], on obtient la formule. Enfin, pour tous MM de (D1)(D_1) et NN de (D2)(D_2), le même calcul donne MN→⋅n⃗=M0N0→⋅n⃗\overrightarrow{MN} \cdot \vec n = \overrightarrow{M_0N_0} \cdot \vec n, donc MN×∥n⃗∥≥∣MN→⋅n⃗∣=M0N0×∥n⃗∥MN \times \|\vec n\| \geq |\overrightarrow{MN} \cdot \vec n| = M_0N_0 \times \|\vec n\| : M0N0M_0N_0 est bien la plus petite des distances MNMN.

Conséquence. Deux droites non parallèles sont sécantes (donc coplanaires) si, et seulement si, [AB→,u⃗,v⃗]=0\big[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v\big] = 0.

Méthode : trouver la perpendiculaire commune. On écrit M=A+t u⃗M = A + t\,\vec u et N=B+s v⃗N = B + s\,\vec v, puis on résout le système MN→⋅u⃗=0\overrightarrow{MN} \cdot \vec u = 0, MN→⋅v⃗=0\overrightarrow{MN} \cdot \vec v = 0, d'inconnues tt et ss.

Exemple 17 (deux arêtes du cube). Dans le cube, les droites (AB)(AB) et (EH)(EH) ne sont pas coplanaires. A(0 ;0 ;0)A(0\,;0\,;0), u⃗=AB→ (1 ;0 ;0)\vec u = \overrightarrow{AB}\,(1\,;0\,;0) ; E(0 ;0 ;1)E(0\,;0\,;1), v⃗=EH→ (0 ;1 ;0)\vec v = \overrightarrow{EH}\,(0\,;1\,;0). Alors u⃗∧v⃗=(0 ;0 ;1)\vec u \wedge \vec v = (0\,;0\,;1) et [AE→,u⃗,v⃗]=(0 ;0 ;1)⋅(0 ;0 ;1)=1\big[\overrightarrow{AE}, \vec u, \vec v\big] = (0\,;0\,;1) \cdot (0\,;0\,;1) = 1 : la distance vaut 11=1\dfrac11 = 1. La perpendiculaire commune est l'arête (AE)(AE).

Exemple 18 (une grande diagonale et une diagonale de face). Toujours dans le cube, (AG)(AG) passe par A(0 ;0 ;0)A(0\,;0\,;0) avec u⃗=AG→ (1 ;1 ;1)\vec u = \overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1), et (BD)(BD) passe par B(1 ;0 ;0)B(1\,;0\,;0) avec v⃗=BD→ (−1 ;1 ;0)\vec v = \overrightarrow{BD}\,(-1\,;1\,;0).

  • u⃗∧v⃗=(1×0−1×1 ; 1×(−1)−1×0 ; 1×1−1×(−1))=(−1 ;−1 ;2)\vec u \wedge \vec v = (1 \times 0 - 1 \times 1\,;\ 1 \times (-1) - 1 \times 0\,;\ 1 \times 1 - 1 \times (-1)) = (-1\,;-1\,;2), de norme 6\sqrt6.
  • AB→ (1 ;0 ;0)\overrightarrow{AB}\,(1\,;0\,;0), donc [AB→,u⃗,v⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅AB→=−1\big[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v\big] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \overrightarrow{AB} = -1.
  • d((AG),(BD))=∣−1∣6=66≈0,41d\big((AG), (BD)\big) = \dfrac{|-1|}{\sqrt6} = \dfrac{\sqrt6}{6} \approx 0{,}41.

Perpendiculaire commune. M(t ;t ;t)M(t\,;t\,;t) et N(1−s ;s ;0)N(1 - s\,;s\,;0), donc MN→ (1−s−t ;s−t ;−t)\overrightarrow{MN}\,(1 - s - t\,;s - t\,;-t). Les conditions MN→⋅u⃗=1−3t=0\overrightarrow{MN} \cdot \vec u = 1 - 3t = 0 et MN→⋅v⃗=2s−1=0\overrightarrow{MN} \cdot \vec v = 2s - 1 = 0 donnent t=13t = \frac13 et s=12s = \frac12 : M0(13 ;13 ;13)M_0\big(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\big), N0(12 ;12 ;0)N_0\big(\frac12\,;\frac12\,;0\big), et M0N0=136+136+19=66M_0N_0 = \sqrt{\frac1{36} + \frac1{36} + \frac19} = \dfrac{\sqrt6}{6}.

Leçon 6 : Translations, homothéties et réflexions

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Translations

Définition. Soit u⃗\vec u un vecteur. La translation de vecteur u⃗\vec u, notée tu⃗t_{\vec u}, associe à tout point MM le point M′M' tel que MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec u.

Propriétés. Si M′=tu⃗(M)M' = t_{\vec u}(M) et N′=tu⃗(N)N' = t_{\vec u}(N), alors M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}. Donc :

  • une translation conserve les distances ;
  • l'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un plan est un plan parallèle ;
  • l'image d'une sphère de centre AA et de rayon RR est la sphère de centre tu⃗(A)t_{\vec u}(A) et de rayon RR.

Expression analytique. Si u⃗ (a ;b ;c)\vec u\,(a\,;b\,;c), alors M′(x′ ;y′ ;z′)M'(x'\,;y'\,;z') a pour coordonnées x′=x+ax' = x + a, y′=y+by' = y + b, z′=z+cz' = z + c.

Exemple 19. u⃗ (1 ;−2 ;3)\vec u\,(1\,;-2\,;3) et M(2 ;0 ;1)M(2\,;0\,;1) : M′(3 ;−2 ;4)M'(3\,;-2\,;4). L'image du plan (P):x+y+z−1=0(P) : x + y + z - 1 = 0 est un plan parallèle. Un point M′M' est dans l'image si, et seulement si, M=t−u⃗(M′)M = t_{-\vec u}(M') est dans (P)(P) : (x′−1)+(y′+2)+(z′−3)−1=0(x' - 1) + (y' + 2) + (z' - 3) - 1 = 0, soit (P′):x+y+z−3=0(P') : x + y + z - 3 = 0.

6.2 Homothéties

Définition. Soit Ω\Omega un point et kk un réel non nul. L'homothétie de centre Ω\Omega et de rapport kk associe à tout point MM le point M′M' tel que ΩM′→=k ΩM→\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}. Pour k=−1k = -1, c'est la symétrie de centre Ω\Omega.

Propriétés. Si M′M' et N′N' sont les images de MM et NN, alors M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}. Donc :

  • les distances sont multipliées par ∣k∣|k| : M′N′=∣k∣ MNM'N' = |k|\,MN ;
  • une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité ;
  • l'image d'une droite est une droite parallèle, l'image d'un plan un plan parallèle ;
  • l'image d'une sphère de centre AA et de rayon RR est la sphère de centre h(A)h(A) et de rayon ∣k∣R|k|R.

Expression analytique. Si Ω(a ;b ;c)\Omega(a\,;b\,;c) : x′=a+k(x−a)x' = a + k(x - a), y′=b+k(y−b)y' = b + k(y - b), z′=c+k(z−c)z' = c + k(z - c).

Exemple 20. hh est l'homothétie de centre Ω(1 ;1 ;1)\Omega(1\,;1\,;1) et de rapport −2-2, et M(2 ;3 ;0)M(2\,;3\,;0). ΩM→ (1 ;2 ;−1)\overrightarrow{\Omega M}\,(1\,;2\,;-1), donc ΩM′→=−2 ΩM→ (−2 ;−4 ;2)\overrightarrow{\Omega M'} = -2\,\overrightarrow{\Omega M}\,(-2\,;-4\,;2), et M′(−1 ;−3 ;3)M'(-1\,;-3\,;3).

6.3 Réflexions

Définition. Soit (P)(P) un plan. La réflexion de plan (P)(P) (ou symétrie orthogonale par rapport à (P)(P)), notée sPs_P, associe :

  • à tout point MM de (P)(P), le point MM lui-même ;
  • à tout point MM hors de (P)(P), le point M′M' tel que (P)(P) soit le plan médiateur de [MM′][MM'].

Autrement dit, si HH est le projeté orthogonal de MM sur (P)(P), alors HH est le milieu de [MM′][MM'].

Construction. On trace la droite passant par MM et orthogonale à (P)(P) (elle est dirigée par un vecteur normal n⃗\vec n) ; elle coupe (P)(P) en HH ; on reporte HMHM de l'autre côté : HM′→=−HM→\overrightarrow{HM'} = -\overrightarrow{HM}.

Propriétés.

  • sP∘sPs_P \circ s_P est l'identité ; les points invariants de sPs_P sont les points de (P)(P).
  • Une réflexion conserve les distances ; elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité.
  • Remarque : une réflexion transforme une base directe en une base indirecte (penser à un miroir : l'image d'une main droite est une main gauche).

Exemple 21. La réflexion de plan (xOy)(xOy), d'équation z=0z = 0, a pour expression analytique x′=xx' = x, y′=yy' = y, z′=−zz' = -z.

Exemple 22. (P):x+2y+2z−1=0(P) : x + 2y + 2z - 1 = 0, de vecteur normal n⃗ (1 ;2 ;2)\vec n\,(1\,;2\,;2), et M(2 ;2 ;2)M(2\,;2\,;2). La droite passant par MM et dirigée par n⃗\vec n a pour représentation paramétrique (2+t ;2+2t ;2+2t)(2 + t\,;2 + 2t\,;2 + 2t). Elle coupe (P)(P) quand (2+t)+2(2+2t)+2(2+2t)−1=9+9t=0(2 + t) + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) - 1 = 9 + 9t = 0, soit t=−1t = -1 : H(1 ;0 ;0)H(1\,;0\,;0). Alors M′=sP(M)M' = s_P(M) vérifie HM′→=−HM→\overrightarrow{HM'} = -\overrightarrow{HM} : M′(0 ;−2 ;−2)M'(0\,;-2\,;-2). Contrôle : le milieu de [MM′][MM'] est (1 ;0 ;0)=H(1\,;0\,;0) = H, qui est dans (P)(P), et MM′→ (−2 ;−4 ;−4)=−2 n⃗\overrightarrow{MM'}\,(-2\,;-4\,;-4) = -2\,\vec n est normal à (P)(P).

Remarque. Si A≠BA \neq B, la réflexion par rapport au plan médiateur de [AB][AB] échange AA et BB.

Leçon 7 : Rotations autour d'un axe et demi-tours

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Axe orienté

Un axe Δ\Delta est une droite orientée par un vecteur directeur k⃗\vec k. Chaque plan (Q)(Q) orthogonal à Δ\Delta est alors orienté par Δ\Delta : si (e⃗1,e⃗2)(\vec e_1, \vec e_2) est une base orthonormée de (Q)(Q) telle que (e⃗1,e⃗2,k⃗)(\vec e_1, \vec e_2, \vec k) soit directe, le sens direct dans (Q)(Q) est celui qui va de e⃗1\vec e_1 vers e⃗2\vec e_2. Vu depuis la pointe de k⃗\vec k, c'est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

7.2 Définition

Définition. Soit Δ\Delta un axe orienté et θ\theta un réel. La rotation d'axe Δ\Delta et d'angle θ\theta associe :

  • à tout point MM de Δ\Delta, le point MM lui-même ;
  • à tout point MM hors de Δ\Delta, le point M′M' construit ainsi : on note (Q)(Q) le plan passant par MM et orthogonal à Δ\Delta, et HH le point d'intersection de Δ\Delta et de (Q)(Q) ; M′M' est le point de (Q)(Q) tel que HM′=HMet(HM→,HM′→)=θ  [2π],HM' = HM \qquad\text{et}\qquad \big(\overrightarrow{HM}, \overrightarrow{HM'}\big) = \theta \;[2\pi], l'angle étant orienté dans (Q)(Q) par Δ\Delta.

Rotation induite. Dans chaque plan (Q)(Q) orthogonal à Δ\Delta, la rotation d'axe Δ\Delta agit comme la rotation plane de centre H=Δ∩(Q)H = \Delta \cap (Q) et d'angle θ\theta : c'est la rotation induite dans (Q)(Q).

7.3 Propriétés

  • Si θ≡0  [2π]\theta \equiv 0 \;[2\pi], la rotation est l'identité. Sinon, ses points invariants sont les points de l'axe Δ\Delta.
  • Une rotation conserve les distances ; elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité.
  • La réciproque de la rotation d'axe Δ\Delta et d'angle θ\theta est la rotation de même axe et d'angle −θ-\theta.
  • Si on change l'orientation de l'axe, l'angle θ\theta devient −θ-\theta.
  • Ensemble de points. Quand θ\theta décrit R\mathbb{R}, l'image d'un point MM hors de Δ\Delta décrit le cercle de (Q)(Q) de centre HH et de rayon HMHM.

7.4 Rotation d'axe (Oz)(Oz)

Propriété. Dans un repère orthonormé direct, la rotation d'axe (Oz)(Oz), orienté par k⃗\vec k, et d'angle θ\theta a pour expression analytique x′=xcos⁡θ−ysin⁡θ,y′=xsin⁡θ+ycos⁡θ,z′=z.x' = x\cos\theta - y\sin\theta, \qquad y' = x\sin\theta + y\cos\theta, \qquad z' = z.

Justification. Le plan (Q)(Q) d'équation z=zMz = z_M est orienté par (i⃗,j⃗)(\vec i, \vec j), et H(0 ;0 ;zM)H(0\,;0\,;z_M). La rotation induite agit sur (x ;y)(x\,;y) comme la rotation plane de centre HH et d'angle θ\theta : avec les nombres complexes du chapitre 7, x′+iy′=eiθ(x+iy)x' + iy' = e^{i\theta}(x + iy), et zz ne change pas.

Exemple 23. Pour θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} : x′=−yx' = -y, y′=xy' = x, z′=zz' = z. L'image de M(2 ;0 ;1)M(2\,;0\,;1) est M′(0 ;2 ;1)M'(0\,;2\,;1) ; on a bien HM=HM′=2HM = HM' = 2 avec H(0 ;0 ;1)H(0\,;0\,;1).

Exemple 24 (le cube). Soit Δ\Delta l'axe passant par les centres des faces ABCDABCD et EFGHEFGH, orienté par AE→\overrightarrow{AE}, et rr la rotation d'axe Δ\Delta et d'angle π2\frac{\pi}{2}. Dans le plan de la face ABCDABCD, la rotation induite a pour centre le centre de la face, et elle envoie AA sur BB, BB sur CC, CC sur DD, DD sur AA. De même, E↦F↦G↦H↦EE \mapsto F \mapsto G \mapsto H \mapsto E. Le cube est donc globalement invariant par rr.

7.5 Demi-tours

Définition. Le demi-tour d'axe (D)(D) est la rotation d'axe (D)(D) et d'angle π\pi ; l'orientation de l'axe n'a pas d'importance, car π≡−π  [2π]\pi \equiv -\pi \;[2\pi]. On l'appelle aussi symétrie d'axe (D)(D) : si HH est le projeté orthogonal de MM sur (D)(D), alors HH est le milieu de [MM′][MM'].

Expressions analytiques. Demi-tour d'axe (Ox)(Ox) : (x ;−y ;−z)(x\,;-y\,;-z) ; d'axe (Oy)(Oy) : (−x ;y ;−z)(-x\,;y\,;-z) ; d'axe (Oz)(Oz) : (−x ;−y ;z)(-x\,;-y\,;z).

Exemple 25. (D)(D) passe par A(1 ;0 ;0)A(1\,;0\,;0) et a pour vecteur directeur u⃗ (0 ;1 ;1)\vec u\,(0\,;1\,;1), et M(1 ;2 ;0)M(1\,;2\,;0). Le projeté de MM sur (D)(D) est H=A+t u⃗H = A + t\,\vec u avec t=AM→⋅u⃗∥u⃗∥2=22=1t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec u}{\|\vec u\|^2} = \dfrac{2}{2} = 1 : H(1 ;1 ;1)H(1\,;1\,;1). Comme HH est le milieu de [MM′][MM'], on a M′(1 ;0 ;2)M'(1\,;0\,;2). On vérifie que HM=HM′=2HM = HM' = \sqrt2.

Attention à ne pas confondre : la symétrie de centre Ω\Omega (un point, homothétie de rapport −1-1), le demi-tour d'axe (D)(D) (une droite) et la réflexion de plan (P)(P) (un plan).

Leçon 8 : Composée de deux réflexions

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 Plans parallèles

Théorème. Soit (P)(P) et (P′)(P') deux plans parallèles, HH un point de (P)(P) et H′H' le point de (P′)(P') tel que (HH′)(HH') soit orthogonale aux plans. Alors sP′∘sP=t2HH′→,s_{P'} \circ s_P = t_{2\overrightarrow{HH'}}, la translation de vecteur 2 HH′→2\,\overrightarrow{HH'}, orthogonal aux deux plans.

Démonstration. On choisit un repère orthonormé dont le vecteur k⃗\vec k est orthogonal aux plans : (P):z=a(P) : z = a et (P′):z=b(P') : z = b. Alors sPs_P envoie (x ;y ;z)(x\,;y\,;z) sur (x ;y ;2a−z)(x\,;y\,;2a - z), et sP′s_{P'} envoie ce point sur (x ;y ;2b−(2a−z))=(x ;y ;z+2(b−a))(x\,;y\,;2b - (2a - z)) = (x\,;y\,;z + 2(b - a)). C'est la translation de vecteur 2(b−a) k⃗=2 HH′→2(b - a)\,\vec k = 2\,\overrightarrow{HH'}.

Attention à l'ordre : sP∘sP′=t−2HH′→s_P \circ s_{P'} = t_{-2\overrightarrow{HH'}} (sP∘sP′s_P \circ s_{P'} signifie : on applique d'abord sP′s_{P'}, puis sPs_P).

Exemple 26. (P):z=1(P) : z = 1 et (P′):z=4(P') : z = 4. Alors sP′∘sPs_{P'} \circ s_P est la translation de vecteur 2×3 k⃗=6 k⃗2 \times 3\,\vec k = 6\,\vec k. Contrôle avec OO : sP(O)=(0 ;0 ;2)s_P(O) = (0\,;0\,;2), puis sP′(0 ;0 ;2)=(0 ;0 ;6)s_{P'}(0\,;0\,;2) = (0\,;0\,;6).

8.2 Plans sécants

Théorème. Soit (P)(P) et (P′)(P') deux plans sécants suivant une droite Δ\Delta, orientée. Un plan (Q)(Q) orthogonal à Δ\Delta coupe (P)(P) et (P′)(P') suivant deux droites dd et d′d'. Si θ\theta est une mesure de l'angle orienté (d,d′)(d, d') (orienté dans (Q)(Q) par Δ\Delta), alors sP′∘sP est la rotation d’axe Δ et d’angle 2θ.s_{P'} \circ s_P \text{ est la rotation d'axe } \Delta \text{ et d'angle } 2\theta.

Justification. Un vecteur normal à (P)(P) est orthogonal à Δ\Delta, donc parallèle à (Q)(Q) : la réflexion sPs_P envoie chaque point de (Q)(Q) dans (Q)(Q), et elle y agit comme la symétrie orthogonale d'axe dd. De même pour sP′s_{P'} et d′d'. En Première, tu as vu que la composée de deux symétries orthogonales du plan d'axes sécants en HH est la rotation de centre HH et d'angle 2(d,d′)2(d, d'). Dans chaque plan (Q)(Q) orthogonal à Δ\Delta, sP′∘sPs_{P'} \circ s_P induit donc la rotation plane de centre HH et d'angle 2θ2\theta : c'est la rotation d'axe Δ\Delta et d'angle 2θ2\theta.

Cas particulier. Si (P)(P) et (P′)(P') sont perpendiculaires, θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} et 2θ=π2\theta = \pi : sP′∘sPs_{P'} \circ s_P est le demi-tour d'axe Δ\Delta.

Exemple 27. (P)(P) est le plan (xOz)(xOz), d'équation y=0y = 0, et (P′)(P') le plan d'équation x−y=0x - y = 0. Ils se coupent suivant l'axe (Oz)(Oz), orienté par k⃗\vec k. Dans le plan z=0z = 0, dd est dirigée par i⃗\vec i et d′d' par i⃗+j⃗\vec i + \vec j : (d,d′)=π4(d, d') = \frac{\pi}{4}. Donc sP′∘sPs_{P'} \circ s_P est la rotation d'axe (Oz)(Oz) et d'angle π2\frac{\pi}{2}. Contrôle analytique : sPs_P envoie (x ;y ;z)(x\,;y\,;z) sur (x ;−y ;z)(x\,;-y\,;z), et sP′s_{P'} échange les deux premières coordonnées. La composée envoie (x ;y ;z)(x\,;y\,;z) sur (−y ;x ;z)(-y\,;x\,;z) : c'est bien la rotation de l'exemple 23.

Exemple 28. Les plans (yOz):x=0(yOz) : x = 0 et (xOz):y=0(xOz) : y = 0 sont perpendiculaires suivant (Oz)(Oz). La composée s(xOz)∘s(yOz)s_{(xOz)} \circ s_{(yOz)} envoie (x ;y ;z)(x\,;y\,;z) sur (−x ;y ;z)(-x\,;y\,;z), puis sur (−x ;−y ;z)(-x\,;-y\,;z) : c'est le demi-tour d'axe (Oz)(Oz).

8.3 Décompositions

Translation. Soit u⃗\vec u un vecteur non nul et (P)(P) un plan orthogonal à u⃗\vec u. Si (P′)(P') est l'image de (P)(P) par la translation de vecteur 12u⃗\frac12\vec u, alors tu⃗=sP′∘sPt_{\vec u} = s_{P'} \circ s_P. Le premier plan peut être choisi librement parmi les plans orthogonaux à u⃗\vec u.

Rotation. Soit rr la rotation d'axe Δ\Delta et d'angle θ\theta, et (P)(P) un plan contenant Δ\Delta. Si (P′)(P') est l'image de (P)(P) par la rotation d'axe Δ\Delta et d'angle θ2\frac{\theta}{2}, alors r=sP′∘sPr = s_{P'} \circ s_P. Là aussi, le premier plan est libre, pourvu qu'il contienne l'axe.

Exemple 29. La translation de vecteur 2 k⃗2\,\vec k est la composée sP′∘sPs_{P'} \circ s_P avec (P):z=0(P) : z = 0 et (P′):z=1(P') : z = 1. La rotation d'axe (Oz)(Oz) et d'angle π2\frac{\pi}{2} est la composée sP′∘sPs_{P'} \circ s_P avec (P):y=0(P) : y = 0 et (P′):x−y=0(P') : x - y = 0 (exemple 27).

Utilisation : composer deux rotations de même axe. Soit r1r_1 et r2r_2 deux rotations d'axe Δ\Delta et d'angles θ1\theta_1 et θ2\theta_2. On choisit trois plans (P1)(P_1), (P2)(P_2), (P3)(P_3) contenant Δ\Delta, de façon que r1=sP2∘sP1r_1 = s_{P_2} \circ s_{P_1} et r2=sP3∘sP2r_2 = s_{P_3} \circ s_{P_2} (le plan (P2)(P_2) est commun). Alors r2∘r1=sP3∘sP2∘sP2∘sP1=sP3∘sP1,r_2 \circ r_1 = s_{P_3} \circ s_{P_2} \circ s_{P_2} \circ s_{P_1} = s_{P_3} \circ s_{P_1}, car sP2∘sP2s_{P_2} \circ s_{P_2} est l'identité. Les angles s'ajoutent : r2∘r1r_2 \circ r_1 est la rotation d'axe Δ\Delta et d'angle θ1+θ2\theta_1 + \theta_2.

Ensemble de points invariants. Si (P)(P) et (P′)(P') sont distincts, les points invariants de sP′∘sPs_{P'} \circ s_P forment la droite Δ\Delta quand les plans sont sécants ; il n'y en a aucun quand ils sont parallèles.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

Notion À retenir
Base directe Bonhomme d'Ampère debout sur w⃗\vec w, regardant u⃗\vec u : v⃗\vec v part vers sa gauche. Permutation circulaire : reste directe ; échange de deux vecteurs : devient indirecte
Produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v, (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec u, \vec v, \vec u \wedge \vec v) directe, norme ∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta ; nul si, et seulement si, u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires ; v⃗∧u⃗=− u⃗∧v⃗\vec v \wedge \vec u = -\,\vec u \wedge \vec v
Coordonnées u⃗∧v⃗ (yz′−zy′ ; zx′−xz′ ; xy′−yx′)\vec u \wedge \vec v\,(yz' - zy'\,;\ zx' - xz'\,;\ xy' - yx') ; contrôle par deux produits scalaires nuls
Aires parallélogramme : ∥AB→∧AC→∥\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\| ; triangle : 12∥AB→∧AC→∥\frac12\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|
Plan (ABC)(ABC) vecteur normal AB→∧AC→\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} ; M∈(ABC)  ⟺  AM→⋅n⃗=0M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0
Produit mixte [u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w ; nul si, et seulement si, les vecteurs sont coplanaires ; positif si, et seulement si, la base est directe
Volumes parallélépipède : $\big
Distances point à droite : ∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥\dfrac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec u\|}{\|\vec u\|} ; deux droites non parallèles : $\dfrac{
Translation, homothétie MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec u ; ΩM′→=k ΩM→\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}, distances multipliées par $
Réflexion de plan (P)(P) (P)(P) est le plan médiateur de [MM′][MM'] ; HH, projeté de MM sur (P)(P), est le milieu de [MM′][MM']
Rotation d'axe Δ\Delta dans chaque plan orthogonal à Δ\Delta, rotation plane de centre HH et d'angle θ\theta (orienté par l'axe) ; demi-tour : angle π\pi
Deux réflexions plans parallèles : translation de vecteur 2 HH′→2\,\overrightarrow{HH'} ; plans sécants suivant Δ\Delta : rotation d'axe Δ\Delta et d'angle 2θ2\theta ; plans perpendiculaires : demi-tour
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