Géométrie dans l'espace

1. Question 1 sur 20La base $(\vec i, \vec j, \vec k)$ est directe. Laquelle de ces bases est aussi directe ?

   A $(\vec j, \vec i, \vec k)$ B $(\vec i, \vec k, \vec j)$ C $(\vec k, \vec i, \vec j)$ D $(\vec i, \vec j, -\vec k)$

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   Réponse C. $(\vec k, \vec i, \vec j)$ s'obtient par permutation circulaire. Les autres s'obtiennent en échangeant deux vecteurs ou en remplaçant un vecteur par son opposé : elles sont indirectes.

2. Question 2 sur 20$\vec i \wedge \vec k =$

   A $\vec j$ B $\vec 0$ C $\vec k$ D $-\vec j$

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   Réponse D. $\vec k \wedge \vec i = \vec j$ (permutation circulaire de $\vec i \wedge \vec j = \vec k$ ), donc, par antisymétrie, $\vec i \wedge \vec k = -\vec j$ .

3. Question 3 sur 20$\|\vec u\| = 4$ , $\|\vec v\| = 3$ et l'angle géométrique de $\vec u$ et $\vec v$ est $\frac{\pi}{6}$ . Alors $\|\vec u \wedge \vec v\| =$

   A $12$ B $6$ C $6\sqrt3$ D $0$

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   Réponse B. $\|\vec u \wedge \vec v\| = 4 \times 3 \times \sin\frac{\pi}{6} = 12 \times \frac12 = 6$ . La valeur $6\sqrt3$ est $\vec u \cdot \vec v$ , obtenu avec le cosinus.

4. Question 4 sur 20Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ , $\vec v \wedge \vec u =$

   A $-\,\vec u \wedge \vec v$ B $\vec u \wedge \vec v$ C $\vec 0$ D $\vec u \cdot \vec v$

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   Réponse A. Le produit vectoriel est antisymétrique : échanger les deux vecteurs donne le vecteur opposé.

5. Question 5 sur 20Si $\vec u\,(1\,;0\,;2)$ et $\vec v\,(0\,;1\,;1)$ , alors $\vec u \wedge \vec v$ a pour coordonnées

   A $(2\,;1\,;-1)$ B $(0\,;0\,;2)$ C $(-2\,;-1\,;1)$ D $(-2\,;1\,;1)$

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   Réponse C. $(0 \times 1 - 2 \times 1\,;\ 2 \times 0 - 1 \times 1\,;\ 1 \times 1 - 0 \times 0) = (-2\,;-1\,;1)$ . Contrôle : $(-2\,;-1\,;1) \cdot \vec u = -2 + 2 = 0$ et $(-2\,;-1\,;1) \cdot \vec v = -1 + 1 = 0$ . La réponse A est $\vec v \wedge \vec u$ .

6. Question 6 sur 20Les vecteurs $\vec u\,(1\,;m\,;2)$ et $\vec v\,(3\,;6\,;6)$ sont colinéaires pour

   A $m = 3$ B $m = 2$ C $m = 6$ D $m = -2$

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   Réponse B. $\vec u \wedge \vec v = (6m - 12\,;0\,;6 - 3m)$ , nul si, et seulement si, $m = 2$ . Alors $\vec v = 3\,\vec u$ .

7. Question 7 sur 20Si $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(2\,;-1\,;2)$ , l'aire du triangle $ABC$ est

   A $\dfrac32$ B $3$ C $\dfrac92$ D $9$

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   Réponse A. $\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ est l'aire du parallélogramme ; le triangle en est la moitié.

8. Question 8 sur 20Un vecteur normal au plan dirigé par $\vec u\,(1\,;1\,;0)$ et $\vec v\,(0\,;1\,;1)$ est

   A $(1\,;1\,;1)$ B $(0\,;1\,;1)$ C $(1\,;2\,;1)$ D $(1\,;-1\,;1)$

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   Réponse D. $\vec u \wedge \vec v = (1 \times 1 - 0 \times 1\,;\ 0 \times 0 - 1 \times 1\,;\ 1 \times 1 - 1 \times 0) = (1\,;-1\,;1)$ . Les autres vecteurs ne sont pas orthogonaux à $\vec u$ .

9. Question 9 sur 20Une équation du plan passant par $A(1\,;0\,;0)$ , $B(0\,;1\,;0)$ et $C(0\,;0\,;1)$ est

   A $x + y + z = 0$ B $x - y + z - 1 = 0$ C $x + y - z - 1 = 0$ D $x + y + z - 1 = 0$

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   Réponse D. $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1\,;1\,;1)$ , et $A$ donne $1 - 1 = 0$ . Les trois points vérifient l'équation D.

10. Question 10 sur 20Si $\vec u \wedge \vec v$ a pour coordonnées $(1\,;2\,;-1)$ et $\vec w\,(3\,;0\,;1)$ , alors $[\vec u, \vec v, \vec w] =$

    A $4$ B $-2$ C $(3\,;0\,;-1)$ D $2$

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    Réponse D. $[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w = 3 + 0 - 1 = 2$ . Le produit mixte est un nombre, pas un vecteur.

11. Question 11 sur 20Si $[\vec u, \vec v, \vec w] = 5$ , alors $[\vec v, \vec u, \vec w] =$

    A $5$ B $0$ C $-5$ D $\dfrac15$

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    Réponse C. Échanger deux vecteurs change le signe du produit mixte.

12. Question 12 sur 20Si $\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big] = -12$ , le volume du tétraèdre $ABCD$ est

    A $2$ B $-2$ C $12$ D $4$

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    Réponse A. $V = \frac16\,|-12| = 2$ . Un volume n'est jamais négatif ; $12$ est le volume du parallélépipède.

13. Question 13 sur 20La droite $(D)$ passe par $A$ et a pour vecteur directeur $\vec u$ , avec $\|\vec u\| = 2$ et $\big\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec u\big\| = 6$ . La distance de $M$ à $(D)$ est

    A $12$ B $6$ C $3$ D $\sqrt3$

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    Réponse C. $d(M, (D)) = \dfrac{6}{2} = 3$ .

14. Question 14 sur 20Deux droites non parallèles, passant par $A$ et $B$ , de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ , vérifient $\big[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v\big] = 0$ . Elles sont

    A sécantes B parallèles C non coplanaires D confondues

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    Réponse A. Leur distance est nulle : elles sont coplanaires et, n'étant pas parallèles, elles sont sécantes.

15. Question 15 sur 20Une homothétie de rapport $-3$ multiplie les distances par

    A $-3$ B $3$ C $9$ D $\dfrac13$

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    Réponse B. $M'N' = |k|\,MN = 3\,MN$ . Une distance n'est jamais négative.

16. Question 16 sur 20L'image du point $M(1\,;2\,;3)$ par la réflexion de plan $(xOy)$ est

    A $(-1\,;-2\,;3)$ B $(1\,;-2\,;3)$ C $(-1\,;-2\,;-3)$ D $(1\,;2\,;-3)$

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    Réponse D. La réflexion de plan $(xOy)$ , d'équation $z = 0$ , change seulement le signe de $z$ . La réponse A est l'image par le demi-tour d'axe $(Oz)$ , et la réponse C par la symétrie de centre $O$ .

17. Question 17 sur 20L'image du point $M(1\,;0\,;5)$ par la rotation d'axe $(Oz)$ , orienté par $\vec k$ , et d'angle $\frac{\pi}{2}$ est

    A $(0\,;-1\,;5)$ B $(-1\,;0\,;5)$ C $(0\,;1\,;5)$ D $(1\,;0\,;-5)$

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    Réponse C. $x' = -y = 0$ , $y' = x = 1$ , $z' = z = 5$ . La réponse A correspond à l'angle $-\frac{\pi}{2}$ , et la réponse B au demi-tour.

18. Question 18 sur 20L'image du point $M(2\,;3\,;4)$ par le demi-tour d'axe $(Ox)$ est

    A $(-2\,;3\,;4)$ B $(2\,;-3\,;-4)$ C $(-2\,;-3\,;4)$ D $(2\,;3\,;-4)$

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    Réponse B. Le demi-tour d'axe $(Ox)$ garde $x$ et change le signe de $y$ et de $z$ . La réponse A est l'image par la réflexion de plan $(yOz)$ .

19. Question 19 sur 20$(P)$ et $(P')$ ont pour équations $z = 0$ et $z = 3$ . Alors $s_{P'} \circ s_P$ est la translation de vecteur

    A $3\,\vec k$ B $-6\,\vec k$ C $6\,\vec k$ D $\dfrac32\,\vec k$

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    Réponse C. Avec $H(0\,;0\,;0)$ et $H'(0\,;0\,;3)$ , le vecteur vaut $2\,\overrightarrow{HH'} = 6\,\vec k$ . Contrôle : $O \mapsto O \mapsto (0\,;0\,;6)$ .

20. Question 20 sur 20Deux plans $(P)$ et $(P')$ sont perpendiculaires et se coupent suivant la droite $\Delta$ . Alors $s_{P'} \circ s_P$ est

    A le demi-tour d'axe $\Delta$ B l'identité C une translation D la réflexion de plan $(P)$

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    Réponse A. C'est la rotation d'axe $\Delta$ et d'angle $2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$ , c'est-à-dire le demi-tour d'axe $\Delta$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.