Devoir sur 20 : Géométrie dans l'espace

Séries S1, S3 et S1A. Devoir d'une heure, sur 20 points. L'espace est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\vec i, \vec j, \vec k)$ . Calculatrice non nécessaire. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (8 points)

On donne les points $A(1\,;1\,;1)$ , $B(2\,;1\,;0)$ , $C(1\,;3\,;0)$ et $D(3\,;2\,;4)$ .

Calculer $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ . En déduire que $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. (1,5 point)
Calculer l'aire du triangle $ABC$ . (1 point)
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$ . (1,5 point)
Calculer $\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big]$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont-ils coplanaires ? Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ . (1,5 point)
En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ , puis la retrouver avec la formule de Première. (1,5 point)
Déterminer le réel $m$ pour lequel le point $E(m\,;-1\,;2)$ appartient au plan $(ABC)$ . (1 point)

Exercice 2 (6 points)

La droite $(D_1)$ passe par $A(2\,;0\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec u\,(1\,;2\,;2)$ . La droite $(D_2)$ passe par $B(0\,;1\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec v\,(1\,;0\,;1)$ .

Calculer la distance du point $M(2\,;3\,;4)$ à la droite $(D_1)$ . (2 points)
Calculer $\vec u \wedge \vec v$ . Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont-elles parallèles ? (1 point)
Calculer la distance des droites $(D_1)$ et $(D_2)$ . (2 points)
Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont-elles sécantes ? Justifier. (1 point)

Exercice 3 (6 points)

Soit $(P)$ le plan d'équation $x - y = 0$ . Déterminer le projeté orthogonal $H$ du point $M(3\,;1\,;2)$ sur $(P)$ , puis l'image $M'$ de $M$ par la réflexion $s_P$ . (2 points)
On admet que $s_P$ envoie tout point $(x\,;y\,;z)$ sur $(y\,;x\,;z)$ . Soit $(Q)$ le plan $(yOz)$ , d'équation $x = 0$ , et $f = s_Q \circ s_P$ .
a. Donner l'expression analytique de $f$ . (1 point)
b. Reconnaître $f$ : on précisera son axe, orienté par $\vec k$ , et son angle. (1 point)
Déterminer l'image du point $A(2\,;-1\,;5)$ par $f$ , et l'ensemble des images de $A$ par toutes les rotations d'axe $(Oz)$ . (1 point)
Soit $(R) : z = 1$ et $(R') : z = 3$ . Reconnaître $s_{R'} \circ s_R$ . (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1,5 pt) (1 pt) $\overrightarrow{AB}\,(1\,;0\,;-1)$ , $\overrightarrow{AC}\,(0\,;2\,;-1)$ et $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(0 \times (-1) - (-1) \times 2\,;\ (-1) \times 0 - 1 \times (-1)\,;\ 1 \times 2 - 0 \times 0\big) = (2\,;1\,;2).$ (0,5 pt) Ce vecteur n'est pas nul : $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.

2. (1 pt) $\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , donc l'aire de $ABC$ vaut $\dfrac32$ .

3. (1,5 pt) (0,5 pt) $\vec n\,(2\,;1\,;2)$ est normal à $(ABC)$ . (0,5 pt) $2x + y + 2z + d = 0$ avec $A$ : $2 + 1 + 2 + d = 0$ , $d = -5$ . (0,5 pt) $(ABC) : 2x + y + 2z - 5 = 0$ ; contrôle avec $B$ : $4 + 1 + 0 - 5 = 0$ , et $C$ : $2 + 3 + 0 - 5 = 0$ .

4. (1,5 pt) (0,5 pt) $\overrightarrow{AD}\,(2\,;1\,;3)$ et $\big[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big] = 4 + 1 + 6 = 11$ . (0,5 pt) Il n'est pas nul : les points ne sont pas coplanaires. (0,5 pt) $V = \dfrac{11}{6}$ .

5. (1,5 pt) (0,75 pt) $h = \dfrac{3V}{\mathcal{A}} = \dfrac{11/2}{3/2} = \dfrac{11}{3}$ . (0,75 pt) $d(D, (ABC)) = \dfrac{|6 + 2 + 8 - 5|}{\sqrt9} = \dfrac{11}{3}$ .

6. (1 pt) $2m - 1 + 4 - 5 = 0$ , soit $2m - 2 = 0$ et $m = 1$ : $E(1\,;-1\,;2)$ .

Exercice 2

1. (2 pts) (0,5 pt) $\overrightarrow{AM}\,(0\,;3\,;3)$ . (1 pt) $\overrightarrow{AM} \wedge \vec u = (3 \times 2 - 3 \times 2\,;\ 3 \times 1 - 0 \times 2\,;\ 0 \times 2 - 3 \times 1) = (0\,;3\,;-3)$ , de norme $3\sqrt2$ . (0,5 pt) $\|\vec u\| = 3$ , donc $d(M, (D_1)) = \dfrac{3\sqrt2}{3} = \sqrt2$ .

2. (1 pt) $\vec u \wedge \vec v = (2 \times 1 - 2 \times 0\,;\ 2 \times 1 - 1 \times 1\,;\ 1 \times 0 - 2 \times 1) = (2\,;1\,;-2)$ . (0,5 pt) Il n'est pas nul : les droites ne sont pas parallèles.

3. (2 pts) (0,5 pt) $\overrightarrow{AB}\,(-2\,;1\,;0)$ . (1 pt) $\big[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v\big] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \overrightarrow{AB} = -4 + 1 + 0 = -3$ . (0,5 pt) $\|\vec u \wedge \vec v\| = 3$ , donc $d\big((D_1), (D_2)\big) = \dfrac{|-3|}{3} = 1$ .

4. (1 pt) La distance n'est pas nulle (le produit mixte vaut $-3 \neq 0$ ) : les droites ne sont pas coplanaires, donc pas sécantes.

Exercice 3

1. (2 pts) (0,5 pt) $\vec n\,(1\,;-1\,;0)$ est normal à $(P)$ . (1 pt) Les points $(3 + t\,;1 - t\,;2)$ de la droite passant par $M$ et dirigée par $\vec n$ sont dans $(P)$ quand $(3 + t) - (1 - t) = 2 + 2t = 0$ , soit $t = -1$ : $H(2\,;2\,;2)$ . (0,5 pt) $H$ est le milieu de $[MM']$ : $M'(1\,;3\,;2)$ .

2.a. (1 pt) $s_Q$ change le signe de $x$ . Donc $f(x\,;y\,;z) = s_Q(y\,;x\,;z) = (-y\,;x\,;z)$ .

2.b. (1 pt) C'est l'expression de la rotation d'axe $(Oz)$ , orienté par $\vec k$ , et d'angle $\frac{\pi}{2}$ : $x' = x\cos\frac{\pi}{2} - y\sin\frac{\pi}{2} = -y$ , $y' = x\sin\frac{\pi}{2} + y\cos\frac{\pi}{2} = x$ , $z' = z$ . Avec le théorème : les plans se coupent suivant $(Oz)$ ; dans le plan $z = 0$ , $(d, d') = (\vec i + \vec j, \vec j) = \frac{\pi}{4}$ , et $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ .

3. (1 pt) (0,5 pt) $f(A) = (1\,;2\,;5)$ . (0,5 pt) L'ensemble des images est le cercle du plan $z = 5$ , de centre $(0\,;0\,;5)$ et de rayon $\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt5$ .

4. (1 pt) Les plans sont parallèles ; avec $H(0\,;0\,;1)$ et $H'(0\,;0\,;3)$ , $s_{R'} \circ s_R$ est la translation de vecteur $2\,\overrightarrow{HH'} = 4\,\vec k$ .

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1	O3 Calculer un produit vectoriel ; O4 démontrer que des points sont alignés
Ex. 1, 2	O5 Calculer l'aire d'un triangle
Ex. 1, 3	O6 Déterminer un vecteur normal et une équation d'un plan
Ex. 1, 4 et 6	O7 et O8 Produit mixte, points coplanaires, volume d'un tétraèdre
Ex. 1, 5	O8 Volume et hauteur d'un tétraèdre
Ex. 2, 1	O9 Distance d'un point à une droite
Ex. 2, 2 à 4	O10 Distance de deux droites
Ex. 3, 1	O11 Construire le transformé d'un point par une réflexion
Ex. 3, 2 et 3	O12 et O13 Rotation d'axe $(Oz)$ , composée de deux réflexions de plans sécants
Ex. 3, 4	O13 Composée de deux réflexions de plans parallèles