Propriétés et expression analytique du produit vectoriel

2.1 Propriétés

Soit $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ trois vecteurs et $k$ un réel.

Justifications.

• Colinéarité. Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, ils sont non nuls et $\theta \in\, ]0\,;\pi[$, donc $\sin\theta > 0$ et $\|\vec u \wedge \vec v\| > 0$.
• Antisymétrie. $\vec u \wedge \vec v$ et $\vec v \wedge \vec u$ ont la même direction (orthogonale à $\vec u$ et $\vec v$) et la même norme. Mais si $(\vec u, \vec v, \vec w)$ est directe, $(\vec v, \vec u, \vec w)$ est indirecte : les deux vecteurs sont donc opposés.
• La propriété du produit par un réel et la distributivité sont admises.

Attention. Le produit vectoriel n'est pas commutatif (l'ordre compte) et n'est pas associatif : $(\vec i \wedge \vec i) \wedge \vec j = \vec 0 \wedge \vec j = \vec 0, \qquad \text{mais} \qquad \vec i \wedge (\vec i \wedge \vec j) = \vec i \wedge \vec k = -\vec j.$

Remarque (identité de Lagrange, non exigible). Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, $\|\vec u \wedge \vec v\|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 = \|\vec u\|^2\,\|\vec v\|^2.$ En effet, pour des vecteurs non nuls, le premier membre vaut $\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$.

2.2 Expression analytique dans un repère orthonormé direct

Théorème. Dans un repère orthonormé direct, si $\vec u\,(x\,;y\,;z)$ et $\vec v\,(x'\,;y'\,;z')$, alors $\vec u \wedge \vec v \begin{pmatrix} y z' - z y' \\ z x' - x z' \\ x y' - y x' \end{pmatrix}.$

Démonstration. On développe $(x\vec i + y\vec j + z\vec k) \wedge (x'\vec i + y'\vec j + z'\vec k)$ avec la distributivité et le produit par un réel. On obtient neuf termes ; les trois termes $\vec i \wedge \vec i$, $\vec j \wedge \vec j$, $\vec k \wedge \vec k$ sont nuls, et avec le tableau de la leçon 1 : $\vec u \wedge \vec v = xy'\,\vec k - xz'\,\vec j - yx'\,\vec k + yz'\,\vec i + zx'\,\vec j - zy'\,\vec i = (yz' - zy')\,\vec i + (zx' - xz')\,\vec j + (xy' - yx')\,\vec k.$

Méthode : cacher une ligne. On écrit les coordonnées de $\vec u$ et de $\vec v$ en deux colonnes.

• Première coordonnée : on cache la première ligne, et on fait le produit en croix des deux lignes restantes : $yz' - zy'$.
• Deuxième coordonnée : on cache la deuxième ligne, on fait le produit en croix $xz' - zx'$, et on prend son opposé : $zx' - xz'$.
• Troisième coordonnée : on cache la troisième ligne : $xy' - yx'$.

Exemple 5. $\vec u\,(1\,;2\,;-1)$ et $\vec v\,(3\,;0\,;2)$.

• première coordonnée : $2 \times 2 - (-1) \times 0 = 4$ ;
• deuxième coordonnée : $-\big(1 \times 2 - (-1) \times 3\big) = -5$ ;
• troisième coordonnée : $1 \times 0 - 2 \times 3 = -6$.

Donc $\vec u \wedge \vec v\,(4\,;-5\,;-6)$. Contrôle : $(4\,;-5\,;-6) \cdot (1\,;2\,;-1) = 4 - 10 + 6 = 0$ et $(4\,;-5\,;-6) \cdot (3\,;0\,;2) = 12 + 0 - 12 = 0$ : le résultat est bien orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$.

Conseil. Vérifie toujours ton résultat par ces deux produits scalaires : une erreur de calcul se voit tout de suite.

Exemple 6 (le cube). Dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$, $\overrightarrow{AC}\,(1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{AE}\,(0\,;0\,;1)$. Alors $\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AE} = (1 \times 1 - 0 \times 0\,;\ 0 \times 0 - 1 \times 1\,;\ 1 \times 0 - 1 \times 0) = (1\,;-1\,;0).$ Or $D(0\,;1\,;0)$ et $B(1\,;0\,;0)$, donc $\overrightarrow{DB}\,(1\,;-1\,;0)$ : $\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DB}$.

2.3 Colinéarité et alignement

Propriété. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec 0$.

Exemple 7. $A(1\,;2\,;3)$, $B(2\,;4\,;1)$, $C(4\,;8\,;-3)$ et $D(0\,;1\,;1)$. On a $\overrightarrow{AB}\,(1\,;2\,;-2)$, $\overrightarrow{AC}\,(3\,;6\,;-6)$ et $\overrightarrow{AD}\,(-1\,;-1\,;-2)$.

• $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(2 \times (-6) - (-2) \times 6\,;\ (-2) \times 3 - 1 \times (-6)\,;\ 1 \times 6 - 2 \times 3\big) = (0\,;0\,;0)$ : $A$, $B$, $C$ sont alignés (en effet $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$).
• $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} = (-6\,;4\,;1) \neq \vec 0$ : $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés.

Exemple 8 (avec un paramètre). Pour quelles valeurs de $m$ les vecteurs $\vec u\,(2\,;m\,;3)$ et $\vec v\,(4\,;-2\,;6)$ sont-ils colinéaires ? $\vec u \wedge \vec v = \big(6m + 6\,;\ 3 \times 4 - 2 \times 6\,;\ -4 - 4m\big) = (6m + 6\,;0\,;-4 - 4m).$ Ce vecteur est nul si, et seulement si, $m = -1$. Alors $\vec v = 2\,\vec u$.