Orientation de l'espace et produit vectoriel

1.1 Pourquoi orienter l'espace

Dans le plan, on choisit un sens de rotation, le sens inverse des aiguilles d'une montre : c'est le sens direct. Dans l'espace, cela ne suffit plus. Dessine un cercle sur une table en verre et parcours-le dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : vu d'en haut, il tourne dans le sens direct ; vu d'en dessous, à travers la vitre, il tourne dans l'autre sens. Le sens de rotation d'un plan dépend du côté d'où on le regarde. Il faut donc orienter l'espace lui-même. C'est aussi ce que font les sciences physiques avec le champ magnétique créé par un courant (règle du bonhomme d'Ampère).

Le programme ne demande aucune théorie de l'orientation : on utilise une règle pratique.

1.2 Bases et repères directs

Règle du bonhomme d'Ampère. Soit $(\vec u, \vec v, \vec w)$ trois vecteurs non coplanaires. Un observateur se tient debout le long de $\vec w$, les pieds à l'origine du vecteur et la tête vers sa pointe ; il regarde dans la direction de $\vec u$. Si $\vec v$ part vers sa gauche, la base $(\vec u, \vec v, \vec w)$ est directe ; sinon, elle est indirecte.

Règle de la main droite (équivalente). Avec la main droite, le pouce suit $\vec u$, l'index suit $\vec v$ : la base est directe si le majeur, plié, montre $\vec w$.

Définition. Un repère orthonormé $(O\,;\vec i, \vec j, \vec k)$ est direct si la base $(\vec i, \vec j, \vec k)$ est directe, et indirect sinon.

Sur une figure en perspective cavalière, on dessine en général $\vec i$ vers l'avant (en oblique, vers le bas et la gauche), $\vec j$ vers la droite et $\vec k$ vers le haut : le repère est alors direct.

Propriétés (admises). Si $(\vec u, \vec v, \vec w)$ est une base directe :

• les bases $(\vec v, \vec w, \vec u)$ et $(\vec w, \vec u, \vec v)$, obtenues par permutation circulaire, sont directes ;
• si on échange deux vecteurs, par exemple $(\vec v, \vec u, \vec w)$, la base devient indirecte ;
• si on remplace un vecteur par son opposé, par exemple $(\vec u, \vec v, -\vec w)$, la base devient indirecte.

Convention. Dans toute la suite, l'espace est orienté, et les repères orthonormés sont directs, sauf mention contraire.

Exemple 1 (le cube). $ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est la face du bas, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On suppose le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ direct.

• $(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AB})$ est directe (permutation circulaire) ;
• $(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE})$ est indirecte (on a échangé les deux premiers vecteurs) ;
• $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{EA})$ est indirecte, car $\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE}$.

1.3 Définition du produit vectoriel

Définition. Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l'espace orienté. Le produit vectoriel de $\vec u$ par $\vec v$ est le vecteur noté $\vec u \wedge \vec v$ (on lit « $\vec u$ vectoriel $\vec v$ ») défini ainsi :

• si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, $\vec u \wedge \vec v = \vec 0$ ;
• sinon, $\vec w = \vec u \wedge \vec v$ est le vecteur tel que :
  1. $\vec w$ est orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$ ;
  2. la base $(\vec u, \vec v, \vec w)$ est directe ;
  3. $\|\vec w\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\theta$, où $\theta \in\, ]0\,;\pi[$ est l'angle géométrique des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$.

Remarque. La formule $\|\vec u \wedge \vec v\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\theta$ reste vraie quand $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et non nuls ($\theta = 0$ ou $\theta = \pi$, donc $\sin\theta = 0$). Comme $\theta \in [0\,;\pi]$, on a toujours $\sin\theta \geq 0$.

Exemple 2 (les vecteurs de base). Dans un repère orthonormé direct $(O\,;\vec i, \vec j, \vec k)$, calculons $\vec i \wedge \vec j$. Ce vecteur est orthogonal à $\vec i$ et à $\vec j$, donc colinéaire à $\vec k$ ; sa norme vaut $1 \times 1 \times \sin\frac{\pi}{2} = 1$ ; enfin $(\vec i, \vec j, \vec i \wedge \vec j)$ doit être directe. Donc $\vec i \wedge \vec j = \vec k$. De la même façon, avec les permutations circulaires : $\vec i \wedge \vec j = \vec k, \qquad \vec j \wedge \vec k = \vec i, \qquad \vec k \wedge \vec i = \vec j.$ Dans l'autre ordre, on obtient les opposés : $\vec j \wedge \vec i = -\vec k$, $\vec k \wedge \vec j = -\vec i$, $\vec i \wedge \vec k = -\vec j$. Et $\vec i \wedge \vec i = \vec j \wedge \vec j = \vec k \wedge \vec k = \vec 0$.

Le tableau se lit : ligne, vectoriel, colonne. Par exemple $\vec k \wedge \vec i = \vec j$.

Exemple 3 (le cube, suite). Dans le cube de l'exemple 1, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ jouent le rôle de $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$. Donc :

• $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE}$ ;
• $\overrightarrow{AE} \wedge \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ ;
• $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$ ;
• $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{DC} = \vec 0$, car $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.

Exemple 4. Si $\|\vec u\| = 2$, $\|\vec v\| = 3$ et si l'angle géométrique de $\vec u$ et $\vec v$ est $\frac{\pi}{6}$, alors $\|\vec u \wedge \vec v\| = 2 \times 3 \times \sin\frac{\pi}{6} = 6 \times \frac12 = 3$.

Remarque. En sciences physiques, le produit vectoriel sert par exemple à écrire la force de Laplace qui s'exerce sur un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique.