Aires, vecteur normal et équation d'un plan

3.1 Aire d'un parallélogramme et d'un triangle

Propriété. Soit $A$, $B$, $C$ trois points non alignés.

• L'aire du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est $\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|$.
• L'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac12\,\big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|$.

Démonstration. Prenons $[AB]$ comme base du parallélogramme. Si $\theta$ est l'angle $\widehat{BAC}$, la hauteur correspondante vaut $h = AC \sin\theta$. L'aire vaut donc $AB \times AC \sin\theta = \big\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\big\|$. Le triangle $ABC$ est la moitié du parallélogramme.

Exemple 9. $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$ et $C(0\,;0\,;3)$. On a $\overrightarrow{AB}\,(-1\,;2\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-1\,;0\,;3)$, donc $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(2 \times 3 - 0 \times 0\,;\ 0 \times (-1) - (-1) \times 3\,;\ (-1) \times 0 - 2 \times (-1)\big) = (6\,;3\,;2).$ Sa norme vaut $\sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$. L'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac72$.

3.2 Vecteur normal à un plan

Propriété. Si $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, le vecteur $\vec n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ est non nul et orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$ : c'est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Plus généralement, un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ a pour vecteur normal $\vec u \wedge \vec v$.

3.3 Équation d'un plan

Méthode. Pour trouver une équation du plan $(ABC)$ :

1. on calcule $\vec n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\,(a\,;b\,;c)$ ;
2. un point $M(x\,;y\,;z)$ est dans le plan si, et seulement si, $\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0$ ;
3. on obtient $ax + by + cz + d = 0$, et on vérifie que $B$ et $C$ satisfont l'équation.

Exemple 9 (suite). $\vec n\,(6\,;3\,;2)$ et $A(1\,;0\,;0)$ : $M \in (ABC) \iff 6(x - 1) + 3y + 2z = 0$, soit $(ABC) : 6x + 3y + 2z - 6 = 0.$ Contrôle : pour $B$, $6 - 6 = 0$ ; pour $C$, $6 - 6 = 0$.

Exemple 10. Le plan $(P)$ passe par $A(2\,;-1\,;0)$ et il est dirigé par $\vec u\,(1\,;1\,;0)$ et $\vec v\,(0\,;1\,;3)$. Un vecteur normal est $\vec u \wedge \vec v = (3\,;-3\,;1)$. Donc $(P) : 3x - 3y + z + d = 0$, et $A \in (P)$ donne $6 + 3 + d = 0$, soit $d = -9$ : $(P) : 3x - 3y + z - 9 = 0.$

Application : direction de l'intersection de deux plans. Si deux plans sécants ont pour vecteurs normaux $\vec n$ et $\vec n'$, leur droite d'intersection est orthogonale à $\vec n$ et à $\vec n'$ : elle est dirigée par $\vec n \wedge \vec n'$.

Exemple 11. $(P) : x - y + z - 2 = 0$ et $(Q) : x + 2y - z - 1 = 0$. On a $\vec n\,(1\,;-1\,;1)$, $\vec n'\,(1\,;2\,;-1)$ et $\vec n \wedge \vec n' = (-1\,;2\,;3)$. Le point $(0\,;3\,;5)$ est dans les deux plans ($0 - 3 + 5 - 2 = 0$ et $0 + 6 - 5 - 1 = 0$). La droite d'intersection a pour représentation paramétrique $x = -t$, $y = 3 + 2t$, $z = 5 + 3t$, $t \in \mathbb{R}$.