Reconnaître une conique ; tangente en un point

8.1 Équation cartésienne $\alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma x + \delta y + \varphi = 0$

On considère une équation sans terme en $xy$, avec $\alpha$ et $\beta$ non tous deux nuls. Méthode : on met chaque variable sous forme canonique (Seconde), puis on change de repère par translation : si $\Omega(x_0\,;y_0)$, les coordonnées dans le repère $(\Omega\,;\vec i, \vec j)$ sont $X = x - x_0$ et $Y = y - y_0$. On compare alors à une équation réduite.

Exemple 19 (ellipse). $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$. On écrit $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$, soit $4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 1)^2 - 9 = 11$, donc $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36$ : $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1.$ Avec $\Omega(2\,;-1)$, $X = x - 2$, $Y = y + 1$ : c'est l'ellipse $\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1$, $a = 3$, $b = 2$, $c = \sqrt5$, $e = \frac{\sqrt5}{3}$. Dans le repère initial : centre $\Omega(2\,;-1)$, sommets $(5\,;-1)$, $(-1\,;-1)$, $(2\,;1)$, $(2\,;-3)$, foyers $\big(2 + \sqrt5\,;-1\big)$ et $\big(2 - \sqrt5\,;-1\big)$, directrices $x = 2 \pm \frac{9}{\sqrt5}$.

Exemple 20 (hyperbole). $x^2 - 4y^2 - 2x - 16y - 19 = 0$ s'écrit $(x - 1)^2 - 1 - 4(y + 2)^2 + 16 - 19 = 0$, soit $(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 = 4$ : $\frac{(x - 1)^2}{4} - (y + 2)^2 = 1.$ Hyperbole de centre $\Omega(1\,;-2)$, $a = 2$, $b = 1$, $c = \sqrt5$, $e = \frac{\sqrt5}{2}$ ; sommets $(3\,;-2)$ et $(-1\,;-2)$, foyers $\big(1 \pm \sqrt5\,;-2\big)$, asymptotes $y + 2 = \pm\frac12(x - 1)$.

Exemple 21 (parabole). $y^2 - 4y - 8x + 12 = 0$ s'écrit $(y - 2)^2 - 4 - 8x + 12 = 0$, soit $(y - 2)^2 = 8(x - 1)$. Avec $\Omega(1\,;2)$ : $Y^2 = 8X$, parabole de sommet $\Omega(1\,;2)$, de paramètre $p = 4$, de foyer $(1 + 2\,;2) = (3\,;2)$ et de directrice $x = 1 - 2 = -1$.

8.2 À partir d'une représentation paramétrique

On élimine le paramètre avec $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ ou $\frac{1}{\cos^2 t} - \tan^2 t = 1$.

Exemple 22. $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 2\sin t$ : $\left(\frac{x - 1}{3}\right)^2 + \left(\frac{y + 2}{2}\right)^2 = 1$, ellipse de centre $(1\,;-2)$, $a = 3$, $b = 2$. Et $x = \frac{2}{\cos t}$, $y = 3\tan t$ : $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$, hyperbole.

8.3 Tangente en un point d'une conique

Théorème 13. Soit $M_0(x_0\,;y_0)$ un point de la conique. La tangente en $M_0$ a pour équation :

• ellipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ : $\quad\dfrac{x\,x_0}{a^2} + \dfrac{y\,y_0}{b^2} = 1$ ;
• hyperbole $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ : $\quad\dfrac{x\,x_0}{a^2} - \dfrac{y\,y_0}{b^2} = 1$ ;
• parabole $y^2 = 2px$ : $\quad y\,y_0 = p\,(x + x_0)$.

C'est la règle du dédoublement : on remplace $x^2$ par $x\,x_0$, $y^2$ par $y\,y_0$ et $2x$ par $x + x_0$.

Démonstration pour l'ellipse. $M_0 = M(t_0)$ avec $x_0 = a\cos t_0$, $y_0 = b\sin t_0$, et $\vec v(t_0)\,(-a\sin t_0\,;b\cos t_0)$, qui n'est pas nul. Par le théorème 1, la tangente a pour équation $b\cos t_0\,(x - a\cos t_0) + a\sin t_0\,(y - b\sin t_0) = 0$, soit $b\,x\cos t_0 + a\,y\sin t_0 = ab$. En divisant par $ab$ : $\frac{x\cos t_0}{a} + \frac{y\sin t_0}{b} = 1$, c'est-à-dire $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$.

Pour l'hyperbole, on utilise $x = \frac{a}{\cos t}$, $y = b\tan t$ : $\vec v(t)\left(\frac{a\sin t}{\cos^2 t}\,;\frac{b}{\cos^2 t}\right)$ est colinéaire à $(a\sin t\,;b)$ et le même calcul conduit à $\frac{x\,x_0}{a^2} - \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$. Pour la parabole, avec $x = \frac{t^2}{2p}$, $y = t$ : $\vec v(t)\left(\frac{t}{p}\,;1\right)$ et la tangente s'écrit $x - \frac{t^2}{2p} - \frac{t}{p}(y - t) = 0$, soit $t\,y = p\,x + \frac{t^2}{2}$, c'est-à-dire $y\,y_0 = p(x + x_0)$.

Tracer la tangente.

• Ellipse : si $x_0 \neq 0$, la tangente en $M_0$ coupe $(Ox)$ au point $T\left(\frac{a^2}{x_0}\,;0\right)$. C'est aussi le point où la tangente au cercle principal, au point $P$ de même abscisse que $M_0$, coupe $(Ox)$ (pour le cercle $x^2 + y^2 = a^2$, la tangente en $P(x_0\,;y_P)$ est $x\,x_0 + y\,y_P = a^2$). On trace donc la tangente au cercle en $P$, perpendiculaire au rayon $[OP]$, puis la droite $(TM_0)$.
• Parabole $y^2 = 2px$ : si $M_0 \neq O$, la tangente en $M_0$ coupe $(Ox)$ au point $(-x_0\,;0)$, symétrique par rapport au sommet du projeté de $M_0$ sur l'axe.

Exemple 23 (ellipse). L'ellipse $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ passe par $M_0(2\,;1)$ ($\frac48 + \frac12 = 1$). Tangente : $\frac{2x}{8} + \frac{y}{2} = 1$, soit $x + 2y = 4$. Elle coupe $(Ox)$ en $T(4\,;0)$, et $\frac{a^2}{x_0} = \frac82 = 4$. La tangente au cercle principal $x^2 + y^2 = 8$ au point $P(2\,;2)$ est $2x + 2y = 8$ : elle passe aussi par $T(4\,;0)$.

Exemple 24 (hyperbole). L'hyperbole $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ passe par $M_0\left(3\,;\frac52\right)$. Tangente : $\frac{3x}{4} - \frac{(5/2)\,y}{5} = 1$, soit $3x - 2y = 4$.

Exemple 25 (parabole). La parabole $y^2 = 8x$ passe par $M_0(2\,;4)$. Tangente : $4y = 4(x + 2)$, soit $y = x + 2$, qui coupe $(Ox)$ en $(-2\,;0)$.

8.4 Récapitulatif