Courbes paramétrées et tangente

1.1 Un problème de lieu : l'échelle qui glisse

Le programme demande d'introduire les courbes paramétrées à partir de problèmes de lieux géométriques. En voici un.

Une échelle $[AB]$ de longueur $3$ glisse : son pied $A$ reste sur le sol, l'axe des abscisses, et son sommet $B$ reste contre le mur, l'axe des ordonnées. On repère sa position par l'angle $t = \widehat{OAB}$ qu'elle fait avec le sol, $t \in \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$. Alors $OA = 3\cos t$ et $OB = 3\sin t$ : $A(3\cos t\,;0), \qquad B(0\,;3\sin t).$

• Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac32\cos t\,;\frac32\sin t\right)$. Donc $OI = \frac32$ pour tout $t$ : quand l'échelle glisse, $I$ décrit le quart de cercle de centre $O$ et de rayon $\frac32$ situé dans le quart de plan $x \geq 0$, $y \geq 0$.
• Le point $M$ de l'échelle tel que $AM = 1$ vérifie $\overrightarrow{AM} = \frac13\,\overrightarrow{AB}$, donc $M(2\cos t\,;\sin t)$. Ses coordonnées vérifient $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ : ce n'est plus un cercle, c'est un quart d'ellipse (leçon 6).

Dans les deux cas, la position du point est donnée par deux fonctions du paramètre $t$.

1.2 Définition

Soit $I$ un intervalle (ou une réunion d'intervalles) de $\mathbb{R}$, et $x$, $y$ deux fonctions définies sur $I$. L'ensemble $\Gamma$ des points $M(t)$ tels que $\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec i + y(t)\,\vec j, \qquad t \in I,$ est une courbe paramétrée. Le système $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$, $t \in I$, est une représentation paramétrique de $\Gamma$, et $t$ est le paramètre. Une même courbe a plusieurs représentations paramétriques.

Exemples.

• Droite (Seconde) : la droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et dirigée par $\vec u\,(\alpha\,;\beta)$ a pour représentation $x = x_A + \alpha t$, $y = y_A + \beta t$, $t \in \mathbb{R}$.
• Cercle : le cercle de centre $\Omega(x_0\,;y_0)$ et de rayon $R$ a pour représentation $x = x_0 + R\cos t, \qquad y = y_0 + R\sin t, \qquad t \in [0\,;2\pi[.$ En effet $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = R^2$ ; réciproquement, si $M(x\,;y)$ est sur le cercle, le point $\left(\frac{x - x_0}{R}\,;\frac{y - y_0}{R}\right)$ est sur le cercle trigonométrique, donc de la forme $(\cos t\,;\sin t)$.
• Courbe d'une fonction : la courbe de $f$ a pour représentation $x = t$, $y = f(t)$.

1.3 Passer à une équation cartésienne

Pour reconnaître une courbe paramétrée, on cherche une relation entre $x$ et $y$ en éliminant $t$.

Exemple 1. $x = 1 + 2\cos t$, $y = -1 + 2\sin t$, $t \in [0\,;2\pi[$. Alors $\cos t = \dfrac{x - 1}{2}$ et $\sin t = \dfrac{y + 1}{2}$, d'où $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$ : c'est le cercle de centre $(1\,;-1)$ et de rayon $2$.

Exemple 2. $x = t + 1$, $y = t^2$, $t \in \mathbb{R}$. Alors $t = x - 1$ et $y = (x - 1)^2$ : c'est la parabole d'équation $y = (x - 1)^2$, en entier, puisque $x = t + 1$ prend toutes les valeurs réelles.

Attention. L'élimination donne une équation que vérifient les points ; il faut ensuite vérifier quelle partie de la courbe obtenue est réellement parcourue (l'échelle ne donne qu'un quart de cercle).

1.4 Vecteur dérivé et tangente

Le programme ne fait aucune étude des fonctions vectorielles : le vecteur dérivé est simplement défini par ses coordonnées.

Définition. Si $x$ et $y$ sont dérivables en $t_0$, le vecteur dérivé au point $M(t_0)$ est le vecteur $\vec v(t_0)\,\big(x'(t_0)\,;y'(t_0)\big).$

Interprétation. Pour $h \neq 0$, le vecteur $\dfrac{1}{h}\,\overrightarrow{M(t_0)M(t_0 + h)}$ dirige la sécante $\big(M(t_0)M(t_0 + h)\big)$ ; ses coordonnées $\dfrac{x(t_0 + h) - x(t_0)}{h}$ et $\dfrac{y(t_0 + h) - y(t_0)}{h}$ tendent vers $x'(t_0)$ et $y'(t_0)$ quand $h$ tend vers $0$. Quand $\vec v(t_0)$ n'est pas nul, la sécante se rapproche donc de la droite dirigée par $\vec v(t_0)$.

Théorème 1 (tangente). Si $\vec v(t_0) \neq \vec 0$, la tangente à $\Gamma$ au point $M_0 = M(t_0)$ est la droite passant par $M_0$ et dirigée par $\vec v(t_0)$. Une équation en est $y'(t_0)\,\big(x - x(t_0)\big) - x'(t_0)\,\big(y - y(t_0)\big) = 0.$

• Si $y'(t_0) = 0$ et $x'(t_0) \neq 0$ : la tangente est horizontale.
• Si $x'(t_0) = 0$ et $y'(t_0) \neq 0$ : la tangente est verticale.

Justification de l'équation. $M(x\,;y)$ est sur la tangente si et seulement si $\overrightarrow{M_0M}$ et $\vec v(t_0)$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

Comme le demande le programme, on se limite au cas où le vecteur dérivé n'est pas nul. Un point où $\vec v(t_0) = \vec 0$ est appelé point stationnaire : la méthode ne donne pas de tangente, et l'on se contente de placer ce point sur la figure (leçons 3 et 4).

Lien avec les fonctions. Pour la courbe de $f$ ($x = t$, $y = f(t)$), le vecteur dérivé est $\vec v(t)\,\big(1\,;f'(t)\big)$ : on retrouve la tangente de coefficient directeur $f'(t)$.

Exemple 3 (l'échelle). Pour le point $M(2\cos t\,;\sin t)$ de l'échelle, $\vec v(t)\,(-2\sin t\,;\cos t)$. En $t_0 = \frac{\pi}{4}$ : $M_0\left(\sqrt2\,;\frac{\sqrt2}{2}\right)$ et $\vec v\left(-\sqrt2\,;\frac{\sqrt2}{2}\right)$, colinéaire à $(-2\,;1)$. La tangente a pour équation $1 \times \big(x - \sqrt2\big) + 2\left(y - \frac{\sqrt2}{2}\right) = 0$, soit $x + 2y - 2\sqrt2 = 0$.

Exemple 4 (le cercle). Pour $x = R\cos t$, $y = R\sin t$ : $\vec v(t)\,(-R\sin t\,;R\cos t)$, et $\overrightarrow{OM} \cdot \vec v(t) = -R^2\cos t\sin t + R^2\sin t\cos t = 0$. On retrouve que la tangente au cercle est perpendiculaire au rayon.

Exemple 5 (tangentes horizontales et verticales). Soit $\Gamma : x(t) = t^2 - 2t$, $y(t) = t^2 + 2t$, $t \in \mathbb{R}$. Alors $\vec v(t)\,(2t - 2\,;2t + 2)$, qui n'est jamais nul ($2t - 2$ et $2t + 2$ ne s'annulent pas pour la même valeur).

• $y'(t) = 0$ pour $t = -1$ : tangente horizontale au point $(3\,;-1)$.
• $x'(t) = 0$ pour $t = 1$ : tangente verticale au point $(-1\,;3)$.
• En $t = 0$, au point $O$ : $\vec v(0)\,(-2\,;2)$, tangente d'équation $y = -x$.