La cycloïde

4.1 La roue qui roule

Une roue de rayon $a > 0$ roule sans glisser sur l'axe des abscisses, vers la droite. On suit un point $M$ du bord de la roue, qui est en $O$ au départ. Quand la roue a tourné d'un angle $t$ (en radians), elle a avancé de la longueur de l'arc déroulé, soit $at$ : son centre est en $C(at\,;a)$.

Au départ, le vecteur $\overrightarrow{CM}$ est dirigé vers le bas ; la roue tourne dans le sens indirect, donc $\overrightarrow{CM}$ fait avec $\vec i$ l'angle $-\frac{\pi}{2} - t$ : $\overrightarrow{CM} = a\cos\left(-\tfrac{\pi}{2} - t\right)\vec i + a\sin\left(-\tfrac{\pi}{2} - t\right)\vec j = -a\sin t\,\vec i - a\cos t\,\vec j.$ Avec $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CM}$, on obtient la cycloïde : $x(t) = a(t - \sin t), \qquad y(t) = a(1 - \cos t), \qquad t \in \mathbb{R}.$

Remarque sur le texte du programme. Le programme imprime « $y(t) = a(t - \cos t)$ ». Avec cette formule, $y(0) = -a$ : le point ne partirait pas du sol, et la courbe ne serait pas celle d'un point de la roue. Il s'agit d'une coquille pour $a(1 - \cos t)$, la formule obtenue ci-dessus.

4.2 Étude d'une arche

Réduction.

• $x(t + 2\pi) = x(t) + 2\pi a$ et $y(t + 2\pi) = y(t)$ : $M(t + 2\pi)$ est l'image de $M(t)$ par la translation de vecteur $2\pi a\,\vec i$. On étudie une arche, pour $t \in [0\,;2\pi]$, puis on la reproduit par translation.
• $x(2\pi - t) = 2\pi a - x(t)$ et $y(2\pi - t) = y(t)$ : $M(2\pi - t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à la droite d'équation $x = \pi a$. On étudie sur $[0\,;\pi]$.

Variations. $x'(t) = a(1 - \cos t) \geq 0$ et $y'(t) = a\sin t$, positif sur $[0\,;\pi]$.

Points remarquables.

• $\vec v(t) = \vec 0$ si et seulement si $\cos t = 1$ et $\sin t = 0$, c'est-à-dire $t = 2k\pi$ : les points $(2k\pi a\,;0)$, où le point touche le sol, sont stationnaires ; la figure y montre des pointes.
• En $t = \pi$ : le sommet de l'arche $(\pi a\,;2a)$, avec $\vec v(\pi)\,(2a\,;0)$ : tangente horizontale.
• En $t = \frac{\pi}{2}$ : le point $\left(a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\,;a\right)$, avec $\vec v\,(a\,;a)$ : tangente de coefficient directeur $1$.

Une arche a pour largeur $2\pi a$ (le périmètre de la roue) et pour hauteur $2a$ (le diamètre).

4.3 Vitesse, accélération, tangente

Prenons le temps comme paramètre : la roue tourne d'un radian par unité de temps, et son centre $C(at\,;a)$ avance à la vitesse $a$.

Vitesse. Avec $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$ et $\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$ : $\vec v(t) = 2a\sin\tfrac{t}{2}\,\left(\sin\tfrac{t}{2}\,;\cos\tfrac{t}{2}\right), \qquad \|\vec v(t)\| = 2a\left|\sin\tfrac{t}{2}\right|.$ Le point de la roue qui touche le sol est immobile à cet instant ($t = 2k\pi$) ; le point le plus haut ($t = \pi$) va deux fois plus vite que le centre.

Accélération. $\vec a(t)\,(a\sin t\,;a\cos t)$, c'est-à-dire $\vec a(t) = \overrightarrow{MC}$ : l'accélération est dirigée vers le centre de la roue, et sa norme vaut $a$.

Théorème 3 (tangente à la cycloïde). Pour $t \in \,]0\,;2\pi[$, la tangente en $M(t)$ passe par le point le plus haut de la roue, $T(at\,;2a)$, et la normale (la perpendiculaire à la tangente en $M$) passe par le point de contact $K(at\,;0)$.

Démonstration. $\overrightarrow{MT}\,(a\sin t\,;a + a\cos t) = 2a\cos\frac{t}{2}\left(\sin\frac{t}{2}\,;\cos\frac{t}{2}\right)$ est colinéaire à $\vec v(t)$, qui n'est pas nul. Et $\overrightarrow{MK}\,(a\sin t\,;-a + a\cos t)$ vérifie $\overrightarrow{MK} \cdot \vec v(t) = a^2\sin t(1 - \cos t) - a^2\sin t(1 - \cos t) = 0$.

C'est une construction de la tangente : on dessine la roue dans la position où elle passe par $M$, et l'on joint $M$ au sommet de la roue.

Exemple 9. Pour $a = 1$ et $t = \frac{2\pi}{3}$ : $M\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\,;\frac32\right)$, $\vec v\left(\frac32\,;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, de norme $\sqrt3 = 2\sin\frac{\pi}{3}$. Le sommet de la roue est $T\left(\frac{2\pi}{3}\,;2\right)$ et $\overrightarrow{MT}\left(\frac{\sqrt3}{2}\,;\frac12\right) = \frac{1}{\sqrt3}\,\vec v$ : $T$ est bien sur la tangente.