Courbes paramétrées et coniques

1. Question 1 sur 20La courbe $x = 2 + 3\cos t$ , $y = -1 + 3\sin t$ , $t \in [0\,;2\pi[$ , est

   A le cercle de centre $(-2\,;1)$ et de rayon $3$ B le cercle de centre $(2\,;-1)$ et de rayon $9$ C le cercle de centre $(2\,;-1)$ et de rayon $3$ D une ellipse non circulaire

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   Réponse C. $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9$ . La réponse B confond le rayon et son carré ; la réponse A se trompe de signes.

2. Question 2 sur 20Pour $x(t) = t^3$ et $y(t) = t^2 + 1$ , le vecteur dérivé en $t = 1$ est

   A $(3\,;2)$ B $(1\,;2)$ C $(3\,;1)$ D $(1\,;3)$

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   Réponse A. $x'(t) = 3t^2$ et $y'(t) = 2t$ , soit $(3\,;2)$ en $t = 1$ . Le point $M(1)$ est $(1\,;2)$ (réponse B) : il ne faut pas confondre le point et le vecteur dérivé.

3. Question 3 sur 20La courbe $x(t) = t^2 - 4t$ , $y(t) = 2t + 1$ a une tangente verticale au point

   A $(0\,;1)$ B $(-4\,;1)$ C $(4\,;5)$ D $(-4\,;5)$

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   Réponse D. $x'(t) = 2t - 4 = 0$ pour $t = 2$ , et $y'(2) = 2 \neq 0$ : tangente verticale au point $M(2) = (4 - 8\,;5) = (-4\,;5)$ .

4. Question 4 sur 20Un point se déplace selon $x(t) = 3\cos(2t)$ , $y(t) = 3\sin(2t)$ . Sa vitesse vaut

   A $3$ B $6$ C $2$ D $12$

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   Réponse B. $\vec v(t)\,\big(-6\sin(2t)\,;6\cos(2t)\big)$ , de norme $6$ : mouvement circulaire uniforme. $12$ est la norme de l'accélération (réponse D), et $3$ le rayon.

5. Question 5 sur 20Pour $x(t) = t^2$ et $y(t) = t^3$ , le vecteur accélération en $t = 1$ est

   A $(2\,;6)$ B $(2\,;3)$ C $(1\,;1)$ D $(0\,;6)$

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   Réponse A. $x''(t) = 2$ et $y''(t) = 6t$ . La réponse B est le vecteur vitesse $(2t\,;3t^2)$ en $t = 1$ , la réponse C le point.

6. Question 6 sur 20À l'instant $t_0$ , on a $\vec v(t_0) \cdot \vec a(t_0) < 0$ . À cet instant, le mouvement est

   A uniforme B accéléré C retardé D circulaire

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   Réponse C. Le carré de la vitesse a pour dérivée $2\,\vec v \cdot \vec a$ (théorème 2) : il diminue, la vitesse aussi.

7. Question 7 sur 20Si, pour tout $t$ , $x(-t) = x(t)$ et $y(-t) = -y(t)$ , la courbe est symétrique par rapport

   A à l'origine $O$ B à l'axe $(Oy)$ C à la droite $y = x$ D à l'axe $(Ox)$

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   Réponse D. $M(-t)$ a la même abscisse que $M(t)$ et l'ordonnée opposée : c'est son symétrique par rapport à $(Ox)$ .

8. Question 8 sur 20L'astroïde $x = 2\cos^3 t$ , $y = 2\sin^3 t$ passe par le point

   A $(2\,;2)$ B $(0\,;-2)$ C $(1\,;1)$ D $\big(\sqrt2\,;\sqrt2\big)$

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   Réponse B. Pour $t = -\frac{\pi}{2}$ : $\cos t = 0$ et $\sin^3 t = -1$ . Le point de l'astroïde sur la droite $y = x$ (pour $t = \frac{\pi}{4}$ ) est $\left(\frac{\sqrt2}{2}\,;\frac{\sqrt2}{2}\right)$ , et non $(1\,;1)$ ni $\big(\sqrt2\,;\sqrt2\big)$ .

9. Question 9 sur 20Une arche de la cycloïde $x = a(t - \sin t)$ , $y = a(1 - \cos t)$ a pour hauteur

   A $2a$ B $a$ C $\pi a$ D $2\pi a$

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   Réponse A. Le maximum de $y = a(1 - \cos t)$ est $2a$ , en $t = \pi$ : le diamètre de la roue. $2\pi a$ est la largeur de l'arche (réponse D).

10. Question 10 sur 20Sur la cycloïde, le vecteur vitesse est nul

    A au sommet de chaque arche B jamais C aux points où la courbe touche l'axe des abscisses D au milieu de chaque montée

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    Réponse C. $\|\vec v(t)\| = 2a\left|\sin\frac{t}{2}\right|$ est nul pour $t = 2k\pi$ , quand le point touche le sol. Au sommet, au contraire, la vitesse est maximale.

11. Question 11 sur 20La conique de foyer $F$ , de directrice $D$ et d'excentricité $e = 1{,}5$ est

    A une ellipse B une hyperbole C une parabole D un cercle

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    Réponse B. $e > 1$ : hyperbole. Ellipse si $e < 1$ , parabole si $e = 1$ .

12. Question 12 sur 20La parabole d'équation $y^2 = 6x$ a pour foyer

    A $(6\,;0)$ B $(3\,;0)$ C $\left(0\,;\frac32\right)$ D $\left(\frac32\,;0\right)$

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    Réponse D. $2p = 6$ , donc $p = 3$ et le foyer est $\left(\frac{p}{2}\,;0\right)$ . La réponse B donne $(p\,;0)$ .

13. Question 13 sur 20La parabole de foyer $(0\,;1)$ et de directrice $y = -1$ a pour équation

    A $x^2 = 4y$ B $y^2 = 4x$ C $x^2 = 2y$ D $y = x^2$

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    Réponse A. $x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2$ donne $x^2 = 4y$ ( $p = 2$ ). La courbe $y = x^2$ a pour foyer $\left(0\,;\frac14\right)$ .

14. Question 14 sur 20L'ellipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ a pour foyers

    A $(\pm5\,;0)$ B $(\pm4\,;0)$ C $(\pm3\,;0)$ D $(0\,;\pm3)$

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    Réponse C. $c = \sqrt{25 - 16} = 3$ , sur le grand axe, horizontal. Les points $(\pm5\,;0)$ sont des sommets.

15. Question 15 sur 20L'ellipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ a pour excentricité

    A $\frac32$ B $\frac23$ C $\frac{\sqrt5}{3}$ D $\frac49$

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    Réponse B. $c = \sqrt{9 - 5} = 2$ et $e = \frac{c}{a} = \frac23$ . Une excentricité d'ellipse est toujours inférieure à $1$ , ce qui écarte la réponse A.

16. Question 16 sur 20$M$ est un point de l'ellipse de foyers $F$ , $F'$ et de grand axe de longueur $10$ . Alors $MF + MF'$

    A vaut $5$ B vaut $20$ C dépend du point $M$ D vaut $10$

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    Réponse D. Définition bifocale : $MF + MF' = 2a$ , la longueur du grand axe.

17. Question 17 sur 20L'hyperbole $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ a pour asymptotes

    A $y = \pm\frac43x$ B $y = \pm\frac34x$ C $y = \pm\frac{16}{9}x$ D $y = \pm x$

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    Réponse A. $a = 3$ et $b = 4$ : les asymptotes sont $y = \pm\frac{b}{a}x$ . La réponse B échange $a$ et $b$ , la réponse C oublie les racines.

18. Question 18 sur 20L'hyperbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ a pour excentricité

    A $\frac45$ B $\frac34$ C $\frac54$ D $\frac53$

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    Réponse C. $c = \sqrt{16 + 9} = 5$ et $e = \frac{c}{a} = \frac54 > 1$ . Pour une hyperbole, $c^2 = a^2 + b^2$ .

19. Question 19 sur 20La courbe d'équation $x^2 - y^2 - 2x - 3 = 0$ est

    A une ellipse de centre $(1\,;0)$ B une hyperbole de centre $(1\,;0)$ C une parabole D un cercle de centre $(1\,;0)$

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    Réponse B. $(x - 1)^2 - y^2 = 4$ : les carrés ont des coefficients de signes contraires. C'est l'hyperbole équilatère $\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$ .

20. Question 20 sur 20La tangente à l'ellipse $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ au point $(3\,;2)$ a pour équation

    A $3x + 2y = 13$ B $x + y = 5$ C $2x - 3y = 0$ D $2x + 3y = 12$

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    Réponse D. Dédoublement : $\frac{3x}{18} + \frac{2y}{8} = 1$ , soit $\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$ , ou $2x + 3y = 12$ . Les quatre droites passent par $(3\,;2)$ : seule la D a la bonne direction.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.