Représenter une courbe paramétrée

3.1 La méthode

Pour représenter une courbe paramétrée (compétence exigible) :

1. Réduire l'intervalle d'étude, grâce à la périodicité et aux symétries.
2. Étudier les variations de $x$ et de $y$ en même temps, dans un tableau de variations conjoint.
3. Placer les points remarquables : points à tangente horizontale ($y' = 0$) ou verticale ($x' = 0$), points stationnaires ($\vec v = \vec 0$), points d'intersection avec les axes, et quelques tangentes.
4. Tracer l'arc étudié, puis compléter la courbe par les symétries.

Symétries usuelles. Si, pour tout $t$ de l'intervalle (symétrique) :

On utilise de la même façon des relations entre $t$ et $k - t$ (par exemple $\pi - t$) : si $M(k - t)$ se déduit de $M(t)$ par une symétrie, il suffit d'étudier la courbe pour $t \geq \frac{k}{2}$ (ou $t \leq \frac{k}{2}$).

L'étude des branches infinies est hors programme : les courbes étudiées ici restent bornées, ou l'on se contente de leur allure.

3.2 Exemple : l'astroïde

Soit $a > 0$. L'astroïde est la courbe $\Gamma$ définie par $x(t) = a\cos^3 t, \qquad y(t) = a\sin^3 t, \qquad t \in \mathbb{R}.$

Réduction.

• $x$ et $y$ sont $2\pi$-périodiques : on étudie sur $[-\pi\,;\pi]$.
• $x(-t) = x(t)$ et $y(-t) = -y(t)$ : symétrie par rapport à $(Ox)$. On étudie sur $[0\,;\pi]$.
• $x(\pi - t) = a(-\cos t)^3 = -x(t)$ et $y(\pi - t) = y(t)$ : symétrie par rapport à $(Oy)$. On étudie sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$.
• (De plus, $x\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = y(t)$ et $y\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = x(t)$ : la courbe est aussi symétrique par rapport à la droite $y = x$.)

Variations. $x'(t) = -3a\cos^2 t\sin t$ et $y'(t) = 3a\sin^2 t\cos t$. Sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin t \geq 0$ et $\cos t \geq 0$ : $x' \leq 0$ et $y' \geq 0$.

Points remarquables.

• En $t = 0$ et $t = \frac{\pi}{2}$, $\vec v = \vec 0$ : les points $A(a\,;0)$ et $B(0\,;a)$ sont stationnaires. On ne cherche pas de tangente en ces points (programme) ; la figure y montre une pointe.
• Pour $0 < t < \frac{\pi}{2}$ : $\vec v(t) = 3a\sin t\cos t\,(-\cos t\,;\sin t)$, avec $3a\sin t\cos t > 0$. La tangente en $M(t)$ est dirigée par $\vec w(t)\,(-\cos t\,;\sin t)$.
• En $t = \frac{\pi}{4}$ : $M\left(\frac{a\sqrt2}{4}\,;\frac{a\sqrt2}{4}\right)$, tangente dirigée par $(-1\,;1)$, de coefficient directeur $-1$.

Tracé. L'arc de $A$ à $B$ est tracé grâce au tableau ; les symétries par rapport à $(Oy)$ puis à $(Ox)$ donnent la courbe entière, qui a quatre pointes : $(a\,;0)$, $(0\,;a)$, $(-a\,;0)$ et $(0\,;-a)$.

Remarque (équation cartésienne). Pour $x \geq 0$ et $y \geq 0$, $\left(\frac{x}{a}\right)^{2/3} + \left(\frac{y}{a}\right)^{2/3} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

3.3 L'astroïde et l'échelle

Exemple 8. Pour $0 < t < \frac{\pi}{2}$, la tangente en $M(t)$ passe par $M(t)$ et est dirigée par $(-\cos t\,;\sin t)$ ; son équation est $\sin t\,\big(x - a\cos^3 t\big) + \cos t\,\big(y - a\sin^3 t\big) = 0, \quad\text{soit}\quad x\sin t + y\cos t = a\sin t\cos t\,\big(\cos^2 t + \sin^2 t\big) = a\sin t\cos t.$ Elle coupe l'axe des abscisses en $P(a\cos t\,;0)$ et l'axe des ordonnées en $Q(0\,;a\sin t)$, et $PQ = \sqrt{a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t} = a$. Le segment $[PQ]$ découpé par la tangente a toujours la longueur $a$ : c'est l'échelle de la leçon 1 (avec $a = 3$). Quand l'échelle glisse, elle reste tangente à l'astroïde.