Courbes paramétrées et coniques

Leçon 1 : Courbes paramétrées et tangente

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Un problème de lieu : l'échelle qui glisse

Le programme demande d'introduire les courbes paramétrées à partir de problèmes de lieux géométriques. En voici un.

Une échelle $[AB]$ de longueur $3$ glisse : son pied $A$ reste sur le sol, l'axe des abscisses, et son sommet $B$ reste contre le mur, l'axe des ordonnées. On repère sa position par l'angle $t = \widehat{OAB}$ qu'elle fait avec le sol, $t \in \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$. Alors $OA = 3\cos t$ et $OB = 3\sin t$ : $A(3\cos t\,;0), \qquad B(0\,;3\sin t).$

• Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac32\cos t\,;\frac32\sin t\right)$. Donc $OI = \frac32$ pour tout $t$ : quand l'échelle glisse, $I$ décrit le quart de cercle de centre $O$ et de rayon $\frac32$ situé dans le quart de plan $x \geq 0$, $y \geq 0$.
• Le point $M$ de l'échelle tel que $AM = 1$ vérifie $\overrightarrow{AM} = \frac13\,\overrightarrow{AB}$, donc $M(2\cos t\,;\sin t)$. Ses coordonnées vérifient $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ : ce n'est plus un cercle, c'est un quart d'ellipse (leçon 6).

Dans les deux cas, la position du point est donnée par deux fonctions du paramètre $t$.

1.2 Définition

Soit $I$ un intervalle (ou une réunion d'intervalles) de $\mathbb{R}$, et $x$, $y$ deux fonctions définies sur $I$. L'ensemble $\Gamma$ des points $M(t)$ tels que $\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec i + y(t)\,\vec j, \qquad t \in I,$ est une courbe paramétrée. Le système $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$, $t \in I$, est une représentation paramétrique de $\Gamma$, et $t$ est le paramètre. Une même courbe a plusieurs représentations paramétriques.

Exemples.

• Droite (Seconde) : la droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et dirigée par $\vec u\,(\alpha\,;\beta)$ a pour représentation $x = x_A + \alpha t$, $y = y_A + \beta t$, $t \in \mathbb{R}$.
• Cercle : le cercle de centre $\Omega(x_0\,;y_0)$ et de rayon $R$ a pour représentation $x = x_0 + R\cos t, \qquad y = y_0 + R\sin t, \qquad t \in [0\,;2\pi[.$ En effet $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = R^2$ ; réciproquement, si $M(x\,;y)$ est sur le cercle, le point $\left(\frac{x - x_0}{R}\,;\frac{y - y_0}{R}\right)$ est sur le cercle trigonométrique, donc de la forme $(\cos t\,;\sin t)$.
• Courbe d'une fonction : la courbe de $f$ a pour représentation $x = t$, $y = f(t)$.

1.3 Passer à une équation cartésienne

Pour reconnaître une courbe paramétrée, on cherche une relation entre $x$ et $y$ en éliminant $t$.

Exemple 1. $x = 1 + 2\cos t$, $y = -1 + 2\sin t$, $t \in [0\,;2\pi[$. Alors $\cos t = \dfrac{x - 1}{2}$ et $\sin t = \dfrac{y + 1}{2}$, d'où $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$ : c'est le cercle de centre $(1\,;-1)$ et de rayon $2$.

Exemple 2. $x = t + 1$, $y = t^2$, $t \in \mathbb{R}$. Alors $t = x - 1$ et $y = (x - 1)^2$ : c'est la parabole d'équation $y = (x - 1)^2$, en entier, puisque $x = t + 1$ prend toutes les valeurs réelles.

Attention. L'élimination donne une équation que vérifient les points ; il faut ensuite vérifier quelle partie de la courbe obtenue est réellement parcourue (l'échelle ne donne qu'un quart de cercle).

1.4 Vecteur dérivé et tangente

Le programme ne fait aucune étude des fonctions vectorielles : le vecteur dérivé est simplement défini par ses coordonnées.

Définition. Si $x$ et $y$ sont dérivables en $t_0$, le vecteur dérivé au point $M(t_0)$ est le vecteur $\vec v(t_0)\,\big(x'(t_0)\,;y'(t_0)\big).$

Interprétation. Pour $h \neq 0$, le vecteur $\dfrac{1}{h}\,\overrightarrow{M(t_0)M(t_0 + h)}$ dirige la sécante $\big(M(t_0)M(t_0 + h)\big)$ ; ses coordonnées $\dfrac{x(t_0 + h) - x(t_0)}{h}$ et $\dfrac{y(t_0 + h) - y(t_0)}{h}$ tendent vers $x'(t_0)$ et $y'(t_0)$ quand $h$ tend vers $0$. Quand $\vec v(t_0)$ n'est pas nul, la sécante se rapproche donc de la droite dirigée par $\vec v(t_0)$.

Théorème 1 (tangente). Si $\vec v(t_0) \neq \vec 0$, la tangente à $\Gamma$ au point $M_0 = M(t_0)$ est la droite passant par $M_0$ et dirigée par $\vec v(t_0)$. Une équation en est $y'(t_0)\,\big(x - x(t_0)\big) - x'(t_0)\,\big(y - y(t_0)\big) = 0.$

• Si $y'(t_0) = 0$ et $x'(t_0) \neq 0$ : la tangente est horizontale.
• Si $x'(t_0) = 0$ et $y'(t_0) \neq 0$ : la tangente est verticale.

Justification de l'équation. $M(x\,;y)$ est sur la tangente si et seulement si $\overrightarrow{M_0M}$ et $\vec v(t_0)$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

Comme le demande le programme, on se limite au cas où le vecteur dérivé n'est pas nul. Un point où $\vec v(t_0) = \vec 0$ est appelé point stationnaire : la méthode ne donne pas de tangente, et l'on se contente de placer ce point sur la figure (leçons 3 et 4).

Lien avec les fonctions. Pour la courbe de $f$ ($x = t$, $y = f(t)$), le vecteur dérivé est $\vec v(t)\,\big(1\,;f'(t)\big)$ : on retrouve la tangente de coefficient directeur $f'(t)$.

Exemple 3 (l'échelle). Pour le point $M(2\cos t\,;\sin t)$ de l'échelle, $\vec v(t)\,(-2\sin t\,;\cos t)$. En $t_0 = \frac{\pi}{4}$ : $M_0\left(\sqrt2\,;\frac{\sqrt2}{2}\right)$ et $\vec v\left(-\sqrt2\,;\frac{\sqrt2}{2}\right)$, colinéaire à $(-2\,;1)$. La tangente a pour équation $1 \times \big(x - \sqrt2\big) + 2\left(y - \frac{\sqrt2}{2}\right) = 0$, soit $x + 2y - 2\sqrt2 = 0$.

Exemple 4 (le cercle). Pour $x = R\cos t$, $y = R\sin t$ : $\vec v(t)\,(-R\sin t\,;R\cos t)$, et $\overrightarrow{OM} \cdot \vec v(t) = -R^2\cos t\sin t + R^2\sin t\cos t = 0$. On retrouve que la tangente au cercle est perpendiculaire au rayon.

Exemple 5 (tangentes horizontales et verticales). Soit $\Gamma : x(t) = t^2 - 2t$, $y(t) = t^2 + 2t$, $t \in \mathbb{R}$. Alors $\vec v(t)\,(2t - 2\,;2t + 2)$, qui n'est jamais nul ($2t - 2$ et $2t + 2$ ne s'annulent pas pour la même valeur).

• $y'(t) = 0$ pour $t = -1$ : tangente horizontale au point $(3\,;-1)$.
• $x'(t) = 0$ pour $t = 1$ : tangente verticale au point $(-1\,;3)$.
• En $t = 0$, au point $O$ : $\vec v(0)\,(-2\,;2)$, tangente d'équation $y = -x$.

Leçon 2 : Vitesse et accélération

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Interprétation cinématique

Quand le paramètre $t$ est le temps, $M(t)$ est la position d'un point mobile à l'instant $t$, et la courbe est sa trajectoire.

• Le vecteur dérivé $\vec v(t)\,\big(x'(t)\,;y'(t)\big)$ est le vecteur vitesse à l'instant $t$. S'il n'est pas nul, il est tangent à la trajectoire et indique le sens du mouvement.
• Sa norme $\|\vec v(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$ est la vitesse (scalaire) du point.
• Si $x$ et $y$ sont deux fois dérivables, le vecteur accélération est $\vec a(t)\,\big(x''(t)\,;y''(t)\big)$ : c'est le vecteur dérivé du vecteur vitesse.

2.2 Étude du mouvement

Théorème 2. Pour tout $t$ : $\big(\|\vec v(t)\|^2\big)' = 2\,\vec v(t) \cdot \vec a(t)$. Par conséquent :

• le mouvement est uniforme (vitesse constante) sur un intervalle si et seulement si $\vec v(t) \cdot \vec a(t) = 0$ pour tout $t$ de cet intervalle ;
• il est accéléré (la vitesse augmente) là où $\vec v(t) \cdot \vec a(t) > 0$, et retardé (la vitesse diminue) là où $\vec v(t) \cdot \vec a(t) < 0$.

Démonstration. $\|\vec v(t)\|^2 = x'(t)^2 + y'(t)^2$ a pour dérivée $2x'(t)x''(t) + 2y'(t)y''(t) = 2\,\vec v(t) \cdot \vec a(t)$. Comme la vitesse est positive, elle varie dans le même sens que son carré.

Étudier un mouvement, c'est donc : déterminer la trajectoire (équation cartésienne), calculer $\vec v(t)$, $\|\vec v(t)\|$ et $\vec a(t)$, puis préciser les phases où le mouvement est uniforme, accéléré ou retardé.

2.3 Deux mouvements de référence

Exemple 6 (mouvement circulaire uniforme). $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$, avec $R > 0$ et $\omega > 0$.

• Trajectoire : le cercle de centre $O$ et de rayon $R$.
• $\vec v(t)\,\big(-R\omega\sin(\omega t)\,;R\omega\cos(\omega t)\big)$ et $\|\vec v(t)\| = R\omega$ : le mouvement est uniforme.
• $\vec a(t)\,\big(-R\omega^2\cos(\omega t)\,;-R\omega^2\sin(\omega t)\big)$, c'est-à-dire $\vec a(t) = -\omega^2\,\overrightarrow{OM}(t)$ : l'accélération est dirigée vers le centre, de norme $R\omega^2$. On vérifie que $\vec v \cdot \vec a = 0$.

Exemple 7 (un ballon lancé, modèle simplifié). Les unités sont choisies pour que les calculs soient simples : $x(t) = 2t$, $y(t) = 4t - t^2$, pour $t \in [0\,;4]$.

• Trajectoire. $t = \dfrac{x}{2}$, donc $y = 2x - \dfrac{x^2}{4}$ : un arc de parabole, de $O$ (à $t = 0$) au point $(8\,;0)$ (à $t = 4$).
• Vitesse. $\vec v(t)\,(2\,;4 - 2t)$ ; à $t = 0$, $\vec v(0)\,(2\,;4)$ et la vitesse vaut $\sqrt{20} = 2\sqrt5$.
• Sommet. $y'(t) = 0$ pour $t = 2$ : au point $(4\,;4)$, $\vec v(2)\,(2\,;0)$, la tangente est horizontale et la vitesse vaut $2$.
• Accélération. $\vec a(t)\,(0\,;-2)$ : constante, verticale, dirigée vers le bas, comme la pesanteur.
• Mouvement. $\vec v(t) \cdot \vec a(t) = -2(4 - 2t) = 4t - 8$ : le mouvement est retardé pour $t \in [0\,;2[$ (le ballon monte et ralentit), puis accéléré pour $t \in \,]2\,;4]$. La vitesse est minimale au sommet.

Leçon 3 : Représenter une courbe paramétrée

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La méthode

Pour représenter une courbe paramétrée (compétence exigible) :

1. Réduire l'intervalle d'étude, grâce à la périodicité et aux symétries.
2. Étudier les variations de $x$ et de $y$ en même temps, dans un tableau de variations conjoint.
3. Placer les points remarquables : points à tangente horizontale ($y' = 0$) ou verticale ($x' = 0$), points stationnaires ($\vec v = \vec 0$), points d'intersection avec les axes, et quelques tangentes.
4. Tracer l'arc étudié, puis compléter la courbe par les symétries.

Symétries usuelles. Si, pour tout $t$ de l'intervalle (symétrique) :

On utilise de la même façon des relations entre $t$ et $k - t$ (par exemple $\pi - t$) : si $M(k - t)$ se déduit de $M(t)$ par une symétrie, il suffit d'étudier la courbe pour $t \geq \frac{k}{2}$ (ou $t \leq \frac{k}{2}$).

L'étude des branches infinies est hors programme : les courbes étudiées ici restent bornées, ou l'on se contente de leur allure.

3.2 Exemple : l'astroïde

Soit $a > 0$. L'astroïde est la courbe $\Gamma$ définie par $x(t) = a\cos^3 t, \qquad y(t) = a\sin^3 t, \qquad t \in \mathbb{R}.$

Réduction.

• $x$ et $y$ sont $2\pi$-périodiques : on étudie sur $[-\pi\,;\pi]$.
• $x(-t) = x(t)$ et $y(-t) = -y(t)$ : symétrie par rapport à $(Ox)$. On étudie sur $[0\,;\pi]$.
• $x(\pi - t) = a(-\cos t)^3 = -x(t)$ et $y(\pi - t) = y(t)$ : symétrie par rapport à $(Oy)$. On étudie sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$.
• (De plus, $x\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = y(t)$ et $y\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = x(t)$ : la courbe est aussi symétrique par rapport à la droite $y = x$.)

Variations. $x'(t) = -3a\cos^2 t\sin t$ et $y'(t) = 3a\sin^2 t\cos t$. Sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin t \geq 0$ et $\cos t \geq 0$ : $x' \leq 0$ et $y' \geq 0$.

Points remarquables.

• En $t = 0$ et $t = \frac{\pi}{2}$, $\vec v = \vec 0$ : les points $A(a\,;0)$ et $B(0\,;a)$ sont stationnaires. On ne cherche pas de tangente en ces points (programme) ; la figure y montre une pointe.
• Pour $0 < t < \frac{\pi}{2}$ : $\vec v(t) = 3a\sin t\cos t\,(-\cos t\,;\sin t)$, avec $3a\sin t\cos t > 0$. La tangente en $M(t)$ est dirigée par $\vec w(t)\,(-\cos t\,;\sin t)$.
• En $t = \frac{\pi}{4}$ : $M\left(\frac{a\sqrt2}{4}\,;\frac{a\sqrt2}{4}\right)$, tangente dirigée par $(-1\,;1)$, de coefficient directeur $-1$.

Tracé. L'arc de $A$ à $B$ est tracé grâce au tableau ; les symétries par rapport à $(Oy)$ puis à $(Ox)$ donnent la courbe entière, qui a quatre pointes : $(a\,;0)$, $(0\,;a)$, $(-a\,;0)$ et $(0\,;-a)$.

Remarque (équation cartésienne). Pour $x \geq 0$ et $y \geq 0$, $\left(\frac{x}{a}\right)^{2/3} + \left(\frac{y}{a}\right)^{2/3} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

3.3 L'astroïde et l'échelle

Exemple 8. Pour $0 < t < \frac{\pi}{2}$, la tangente en $M(t)$ passe par $M(t)$ et est dirigée par $(-\cos t\,;\sin t)$ ; son équation est $\sin t\,\big(x - a\cos^3 t\big) + \cos t\,\big(y - a\sin^3 t\big) = 0, \quad\text{soit}\quad x\sin t + y\cos t = a\sin t\cos t\,\big(\cos^2 t + \sin^2 t\big) = a\sin t\cos t.$ Elle coupe l'axe des abscisses en $P(a\cos t\,;0)$ et l'axe des ordonnées en $Q(0\,;a\sin t)$, et $PQ = \sqrt{a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t} = a$. Le segment $[PQ]$ découpé par la tangente a toujours la longueur $a$ : c'est l'échelle de la leçon 1 (avec $a = 3$). Quand l'échelle glisse, elle reste tangente à l'astroïde.

Leçon 4 : La cycloïde

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 La roue qui roule

Une roue de rayon $a > 0$ roule sans glisser sur l'axe des abscisses, vers la droite. On suit un point $M$ du bord de la roue, qui est en $O$ au départ. Quand la roue a tourné d'un angle $t$ (en radians), elle a avancé de la longueur de l'arc déroulé, soit $at$ : son centre est en $C(at\,;a)$.

Au départ, le vecteur $\overrightarrow{CM}$ est dirigé vers le bas ; la roue tourne dans le sens indirect, donc $\overrightarrow{CM}$ fait avec $\vec i$ l'angle $-\frac{\pi}{2} - t$ : $\overrightarrow{CM} = a\cos\left(-\tfrac{\pi}{2} - t\right)\vec i + a\sin\left(-\tfrac{\pi}{2} - t\right)\vec j = -a\sin t\,\vec i - a\cos t\,\vec j.$ Avec $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CM}$, on obtient la cycloïde : $x(t) = a(t - \sin t), \qquad y(t) = a(1 - \cos t), \qquad t \in \mathbb{R}.$

Remarque sur le texte du programme. Le programme imprime « $y(t) = a(t - \cos t)$ ». Avec cette formule, $y(0) = -a$ : le point ne partirait pas du sol, et la courbe ne serait pas celle d'un point de la roue. Il s'agit d'une coquille pour $a(1 - \cos t)$, la formule obtenue ci-dessus.

4.2 Étude d'une arche

Réduction.

• $x(t + 2\pi) = x(t) + 2\pi a$ et $y(t + 2\pi) = y(t)$ : $M(t + 2\pi)$ est l'image de $M(t)$ par la translation de vecteur $2\pi a\,\vec i$. On étudie une arche, pour $t \in [0\,;2\pi]$, puis on la reproduit par translation.
• $x(2\pi - t) = 2\pi a - x(t)$ et $y(2\pi - t) = y(t)$ : $M(2\pi - t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à la droite d'équation $x = \pi a$. On étudie sur $[0\,;\pi]$.

Variations. $x'(t) = a(1 - \cos t) \geq 0$ et $y'(t) = a\sin t$, positif sur $[0\,;\pi]$.

Points remarquables.

• $\vec v(t) = \vec 0$ si et seulement si $\cos t = 1$ et $\sin t = 0$, c'est-à-dire $t = 2k\pi$ : les points $(2k\pi a\,;0)$, où le point touche le sol, sont stationnaires ; la figure y montre des pointes.
• En $t = \pi$ : le sommet de l'arche $(\pi a\,;2a)$, avec $\vec v(\pi)\,(2a\,;0)$ : tangente horizontale.
• En $t = \frac{\pi}{2}$ : le point $\left(a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\,;a\right)$, avec $\vec v\,(a\,;a)$ : tangente de coefficient directeur $1$.

Une arche a pour largeur $2\pi a$ (le périmètre de la roue) et pour hauteur $2a$ (le diamètre).

4.3 Vitesse, accélération, tangente

Prenons le temps comme paramètre : la roue tourne d'un radian par unité de temps, et son centre $C(at\,;a)$ avance à la vitesse $a$.

Vitesse. Avec $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$ et $\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$ : $\vec v(t) = 2a\sin\tfrac{t}{2}\,\left(\sin\tfrac{t}{2}\,;\cos\tfrac{t}{2}\right), \qquad \|\vec v(t)\| = 2a\left|\sin\tfrac{t}{2}\right|.$ Le point de la roue qui touche le sol est immobile à cet instant ($t = 2k\pi$) ; le point le plus haut ($t = \pi$) va deux fois plus vite que le centre.

Accélération. $\vec a(t)\,(a\sin t\,;a\cos t)$, c'est-à-dire $\vec a(t) = \overrightarrow{MC}$ : l'accélération est dirigée vers le centre de la roue, et sa norme vaut $a$.

Théorème 3 (tangente à la cycloïde). Pour $t \in \,]0\,;2\pi[$, la tangente en $M(t)$ passe par le point le plus haut de la roue, $T(at\,;2a)$, et la normale (la perpendiculaire à la tangente en $M$) passe par le point de contact $K(at\,;0)$.

Démonstration. $\overrightarrow{MT}\,(a\sin t\,;a + a\cos t) = 2a\cos\frac{t}{2}\left(\sin\frac{t}{2}\,;\cos\frac{t}{2}\right)$ est colinéaire à $\vec v(t)$, qui n'est pas nul. Et $\overrightarrow{MK}\,(a\sin t\,;-a + a\cos t)$ vérifie $\overrightarrow{MK} \cdot \vec v(t) = a^2\sin t(1 - \cos t) - a^2\sin t(1 - \cos t) = 0$.

C'est une construction de la tangente : on dessine la roue dans la position où elle passe par $M$, et l'on joint $M$ au sommet de la roue.

Exemple 9. Pour $a = 1$ et $t = \frac{2\pi}{3}$ : $M\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\,;\frac32\right)$, $\vec v\left(\frac32\,;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, de norme $\sqrt3 = 2\sin\frac{\pi}{3}$. Le sommet de la roue est $T\left(\frac{2\pi}{3}\,;2\right)$ et $\overrightarrow{MT}\left(\frac{\sqrt3}{2}\,;\frac12\right) = \frac{1}{\sqrt3}\,\vec v$ : $T$ est bien sur la tangente.

Leçon 5 : Coniques, foyer et directrice ; la parabole

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Définition

Soit $D$ une droite, $F$ un point qui n'est pas sur $D$, et $e$ un réel strictement positif. Pour tout point $M$, on note $H$ son projeté orthogonal sur $D$.

Définition. La conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\frac{MF}{MH} = e, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad MF = e \times MH.$ C'est la ligne de niveau $e$ de la fonction $M \longmapsto \dfrac{MF}{MH}$, comme le demande le programme. C'est une ellipse si $e < 1$, une parabole si $e = 1$, une hyperbole si $e > 1$.

Aucun point de $D$ n'est sur la conique : si $M \in D$, alors $MH = 0$, et $MF = 0$ donnerait $M = F$, qui n'est pas sur $D$.

5.2 Axe focal et sommets

La droite $\Delta$ passant par $F$ et perpendiculaire à $D$ est l'axe focal. La réflexion d'axe $\Delta$ laisse $F$ en place et transforme $D$ en elle-même ; comme elle conserve les distances, elle transforme la conique en elle-même : $\Delta$ est un axe de symétrie de la conique.

Les points de la conique situés sur $\Delta$ sont ses sommets (sur l'axe focal).

Théorème 4. Soit $K$ le projeté orthogonal de $F$ sur $D$.

• Le barycentre $S = \mathrm{bar}\{(F, 1), (K, e)\}$ est un sommet de la conique.
• Si $e \neq 1$, le barycentre $S' = \mathrm{bar}\{(F, 1), (K, -e)\}$ est un second sommet.
• Il n'y en a pas d'autre sur $\Delta$.

Démonstration. Pour $M \in \Delta$, le projeté de $M$ sur $D$ est $K$. Alors $MF = e\,MK$ équivaut à $\overrightarrow{MF}^2 - e^2\,\overrightarrow{MK}^2 = 0$, soit $\big(\overrightarrow{MF} + e\overrightarrow{MK}\big) \cdot \big(\overrightarrow{MF} - e\overrightarrow{MK}\big) = 0$. Ces deux vecteurs sont dirigés par $\Delta$, donc colinéaires : leur produit scalaire est nul si et seulement si l'un d'eux est nul. Or $\overrightarrow{MF} + e\overrightarrow{MK} = \vec 0$ signifie $M = S$, et $\overrightarrow{MF} - e\overrightarrow{MK} = \vec 0$ signifie $M = S'$ (barycentre qui existe si $1 - e \neq 0$).

Pour une parabole ($e = 1$), le seul sommet est le milieu de $[FK]$.

5.3 La parabole : équation réduite

Soit une parabole de foyer $F$ et de directrice $D$, et $p = FK$ la distance du foyer à la directrice ($p > 0$ est le paramètre). On choisit le repère orthonormé d'origine le sommet $S$ (milieu de $[KF]$), d'axe des abscisses $\Delta$ orienté de $K$ vers $F$. Alors $F\left(\tfrac{p}{2}\,;0\right), \qquad D : x = -\tfrac{p}{2}.$

Théorème 5. Dans ce repère, la parabole a pour équation $y^2 = 2px$. Réciproquement, pour $p > 0$, la courbe d'équation $y^2 = 2px$ est la parabole de foyer $F\left(\frac{p}{2}\,;0\right)$ et de directrice $D : x = -\frac{p}{2}$.

Démonstration. Pour $M(x\,;y)$, $H\left(-\frac{p}{2}\,;y\right)$ et $MH = \left|x + \frac{p}{2}\right|$. Alors $MF = MH \iff \left(x - \tfrac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \tfrac{p}{2}\right)^2 \iff y^2 = 2px,$ et chaque étape est une équivalence (les distances sont positives).

Propriétés. Tout point de la parabole vérifie $x \geq 0$ ; l'axe $(Ox)$ est son axe de symétrie ; le sommet est $O$.

Équations paramétriques. $x = \dfrac{t^2}{2p}$, $y = t$, $t \in \mathbb{R}$.

Autres positions (toujours avec $p > 0$) :

Exemple 10 (la courbe de $y = x^2$). $y = x^2$ s'écrit $x^2 = 2 \times \frac12 \times y$ : c'est la parabole de paramètre $p = \frac12$, de foyer $F\left(0\,;\frac14\right)$ et de directrice $y = -\frac14$. Contrôle : pour $M(x\,;x^2)$, $MF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = \left(x^2 + \frac14\right)^2 = MH^2$. Plus généralement, la courbe de $y = \alpha x^2$ ($\alpha \neq 0$) est une parabole de foyer $\left(0\,;\frac{1}{4\alpha}\right)$ et de directrice $y = -\frac{1}{4\alpha}$.

Exemple 11 (déterminer une équation). Parabole de foyer $F(2\,;0)$ et de directrice $D : x = -2$. Ici $p = 4$ et le sommet est $O$ : $y^2 = 8x$. Le point $M(2\,;4)$ en fait partie : $MF = 4$ et $MH = 2 + 2 = 4$.

Exemple 12 (une parabole hors de la position réduite). Foyer $F(3\,;1)$, directrice $D : x = -1$. Pour $M(x\,;y)$ : $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2$, soit $(y - 1)^2 = 8x - 8 = 8(x - 1)$. C'est la parabole de sommet $S(1\,;1)$ (milieu de $[FK]$ avec $K(-1\,;1)$), de paramètre $p = 4$, tournée vers la droite.

Leçon 6 : L'ellipse

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Équation réduite d'une conique d'excentricité $e \neq 1$

Théorème 6. Soit une conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e \neq 1$, et $d = FK$ la distance de $F$ à $D$. On pose $a = \frac{e\,d}{|1 - e^2|} \qquad\text{et}\qquad c = e\,a.$ Il existe un repère orthonormé, d'axe des abscisses l'axe focal, dans lequel $F(c\,;0)$ et $D : x = \dfrac{a}{e}$. Dans ce repère, la conique a pour équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1.$