L'hyperbole

7.1 Équation réduite et éléments

Si $e > 1$, on pose dans le théorème 6 $b = a\sqrt{e^2 - 1}$ : alors $b^2 = c^2 - a^2$, et l'équation réduite est $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$

Comme $\frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2} \geq 1$, tout point vérifie $x \geq a$ ou $x \leq -a$ : l'hyperbole a deux branches. Réciproquement, pour $a > 0$ et $b > 0$, la courbe d'équation $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ est l'hyperbole de foyer $(c\,;0)$, de directrice $x = \frac{a^2}{c}$ et d'excentricité $\frac{c}{a}$, avec $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. L'équation $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ donne une hyperbole d'axe focal $(Oy)$, de foyers $(0\,;\pm c)$.

Exemple 16. Foyer $F(3\,;0)$, directrice $D : x = \frac43$, excentricité $e = \frac32$. Pour $M(x\,;y)$ : $(x - 3)^2 + y^2 = \tfrac94\left(x - \tfrac43\right)^2 \iff x^2 - 6x + 9 + y^2 = \tfrac94x^2 - 6x + 4 \iff \tfrac54x^2 - y^2 = 5,$ soit $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} = 1$ : $a = 2$, $b = \sqrt5$, $c = 3$, $e = \frac32$, directrices $x = \pm\frac{a^2}{c} = \pm\frac43$, asymptotes $y = \pm\frac{\sqrt5}{2}x$.

7.2 Les asymptotes

Théorème 9. Les droites d'équations $y = \frac{b}{a}x$ et $y = -\frac{b}{a}x$ sont asymptotes à l'hyperbole.

Démonstration. Pour $x \geq a$, le point de la branche de droite situé au-dessus de $(Ox)$ a pour ordonnée $y = \frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$, et $\frac{b}{a}x - \frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{b}{a} \cdot \frac{x^2 - (x^2 - a^2)}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{ab}{x + \sqrt{x^2 - a^2}},$ qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ (chapitre 1). La courbe se rapproche de la droite $y = \frac{b}{a}x$, en restant en dessous. Les autres cas s'en déduisent par les symétries.

Tracé. Les asymptotes sont les diagonales du rectangle de centre $O$ et de sommets $(\pm a\,;\pm b)$. On trace ce rectangle, ses diagonales, puis les deux branches, qui passent par les sommets $(\pm a\,;0)$ et se rapprochent des diagonales.

Hyperbole équilatère. Si $a = b$, les asymptotes $y = x$ et $y = -x$ sont perpendiculaires ; alors $c = a\sqrt2$ et $e = \sqrt2$.

7.3 Définition bifocale

Théorème 10.

1. Pour tout point $M(x\,;y)$ de l'hyperbole : $MF = |ex - a|$ et $MF' = |ex + a|$, et $|MF - MF'| = 2a$.
2. Réciproquement, si $FF' = 2c$ et $0 < a < c$, l'ensemble des points $M$ tels que $|MF - MF'| = 2a$ est l'hyperbole de foyers $F$ et $F'$ et de sommets à la distance $a$ du centre.

Démonstration.

1. $MF = e\,MH = e\left|x - \frac{a}{e}\right| = |ex - a|$ et de même $MF' = |ex + a|$. Sur la branche $x \geq a$ : $ex \geq ea = c > a$, donc $MF = ex - a$, $MF' = ex + a$ et $MF' - MF = 2a$. Sur la branche $x \leq -a$ : $MF = a - ex$, $MF' = -ex - a$ et $MF - MF' = 2a$.
2. Comme pour l'ellipse : $MF'^2 - MF^2 = 4cx$. Si $MF' - MF = 2a$, alors $MF' + MF = 2ex$ et $MF = ex - a$ ; si $MF - MF' = 2a$, alors $MF = a - ex$. Dans les deux cas $MF^2 = (ex - a)^2$, ce qui donne $(e^2 - 1)x^2 - y^2 = c^2 - a^2 = b^2$, soit $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.

Exemple 17. Pour $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ ($a = 2$, $c = 3$, $e = \frac32$), le point $M\left(3\,;\frac52\right)$ est sur la courbe ($\frac94 - \frac54 = 1$) ; $MF = \frac32 \times 3 - 2 = \frac52$ et $MF' = \frac92 + 2 = \frac{13}{2}$ : la différence vaut $4 = 2a$.

7.4 Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes

Théorème 11. Soit $\vec u = \dfrac{1}{c}\big(a\,\vec i + b\,\vec j\big)$ et $\vec v = \dfrac{1}{c}\big(a\,\vec i - b\,\vec j\big)$ : ce sont des vecteurs unitaires qui dirigent les deux asymptotes. Dans le repère $(O\,;\vec u, \vec v)$, l'hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ a pour équation $XY = \frac{c^2}{4}.$

Démonstration. Si $\overrightarrow{OM} = X\vec u + Y\vec v$, alors $x = \frac{a}{c}(X + Y)$ et $y = \frac{b}{c}(X - Y)$. Donc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \frac{(X + Y)^2 - (X - Y)^2}{c^2} = \frac{4XY}{c^2}$, et l'équation $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ équivaut à $XY = \frac{c^2}{4}$.

Le repère $(O\,;\vec u, \vec v)$ n'est pas orthonormé en général ($\vec u \cdot \vec v = \frac{a^2 - b^2}{c^2}$). Il l'est si et seulement si $a = b$ : pour une hyperbole équilatère, $c^2 = 2a^2$ et l'équation devient $XY = \frac{a^2}{2}$ dans un repère orthonormé.

Exemple 18 (la courbe de $y = \frac{2}{x}$). La courbe d'équation $xy = 2$ est une hyperbole équilatère. Dans le repère orthonormé $(O\,;\vec u, \vec w)$, avec $\vec u = \frac{1}{\sqrt2}\big(\vec i + \vec j\big)$ et $\vec w = \frac{1}{\sqrt2}\big(-\vec i + \vec j\big)$, le point $M(x\,;y)$ a pour coordonnées $X = \overrightarrow{OM} \cdot \vec u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ et $Y = \overrightarrow{OM} \cdot \vec w = \frac{y - x}{\sqrt2}$. Alors $X^2 - Y^2 = 2xy$, donc $xy = 2 \iff \frac{X^2}{4} - \frac{Y^2}{4} = 1.$ C'est l'hyperbole équilatère avec $a = b = 2$, $c = 2\sqrt2$, $e = \sqrt2$, d'axe focal la droite $y = x$ et d'asymptotes les axes $(Ox)$ et $(Oy)$. Ses sommets sont $\big(\sqrt2\,;\sqrt2\big)$ et $\big(-\sqrt2\,;-\sqrt2\big)$, ses foyers $F(2\,;2)$ et $F'(-2\,;-2)$. Contrôle bifocal : le point $M(1\,;2)$ vérifie $MF = 1$ et $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$, et $MF' - MF = 4 = 2a$.

7.5 Équations paramétriques

Théorème 12. L'hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ a pour représentation paramétrique $x = \frac{a}{\cos t}, \qquad y = b\tan t,$ avec $t \in \left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$ pour la branche $x \geq a$, et $t \in \left]\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right[$ pour la branche $x \leq -a$.

Démonstration. $\frac{1}{\cos^2 t} - \tan^2 t = \frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t} = 1$. Réciproquement, si $M(x\,;y)$ est sur la branche $x \geq a$, comme la fonction tangente prend toutes les valeurs réelles sur $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$, il existe $t$ dans cet intervalle tel que $\tan t = \frac{y}{b}$ ; alors $\frac{1}{\cos^2 t} = 1 + \frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2}$ et, comme $\cos t > 0$ et $x > 0$, $\frac{a}{\cos t} = x$. Même raisonnement pour l'autre branche.