Devoir sur 20 : Courbes paramétrées et coniques

Devoir d'une heure, sur 20 points, pour les séries S1, S3 et S1A. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\vec i, \vec j)$ . Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (8 points)

On considère la courbe $\Gamma$ définie par $x(t) = t^2 - 1$ , $y(t) = t^3 - t$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Comparer $M(-t)$ et $M(t)$ . Que peut-on en déduire pour $\Gamma$ ? (1 point)
Calculer le vecteur dérivé $\vec v(t)$ et démontrer qu'il n'est jamais nul. (1 point)
Déterminer les points de $\Gamma$ où la tangente est verticale, puis ceux où elle est horizontale. (2 points)
Démontrer que $\Gamma$ passe deux fois par l'origine $O$ , et que les deux tangentes en $O$ sont perpendiculaires. (2 points)
On considère que $t$ est le temps. Calculer la vitesse et le vecteur accélération à l'instant $t = 1$ . Le mouvement est-il accéléré ou retardé à cet instant ? (2 points)

Exercice 2 (12 points)

Partie A (9 points). Soit $\mathcal{E}$ la courbe d'équation $3x^2 + 4y^2 - 6x - 9 = 0$ .

Démontrer que $\mathcal{E}$ a pour équation $\dfrac{(x - 1)^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ . Quelle est sa nature ? (2 points)
Déterminer son centre, ses sommets, ses foyers $F$ (d'abscisse positive) et $F'$ , son excentricité et ses directrices. (2 points)
Soit $D$ la droite d'équation $x = 5$ . Démontrer directement qu'un point $M(x\,;y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si $MF = \frac12 \times MH$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ . (1,5 point)
Vérifier que $M_0\left(2\,;\frac32\right)$ appartient à $\mathcal{E}$ , et calculer $M_0F + M_0F'$ . (1,5 point)
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{E}$ en $M_0$ . Vérifier qu'elle coupe l'axe des abscisses sur la droite $D$ . (2 points)

Partie B (3 points). Déterminer une équation de la parabole $\mathcal{P}$ de foyer $F_1(0\,;1)$ et de directrice $y = -1$ , puis une équation de sa tangente au point $(2\,;1)$ .

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $x(-t) = t^2 - 1 = x(t)$ et $y(-t) = -t^3 + t = -y(t)$ : $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à $(Ox)$ . $\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

2. (1 pt) $\vec v(t)\,\big(2t\,;3t^2 - 1\big)$ . Si $2t = 0$ , alors $3t^2 - 1 = -1 \neq 0$ : $\vec v(t)$ n'est jamais nul.

3. (2 pts)

(1 pt) Tangente verticale : $x'(t) = 0$ pour $t = 0$ , et $y'(0) = -1 \neq 0$ : au point $(-1\,;0)$ .
(1 pt) Tangente horizontale : $3t^2 - 1 = 0$ pour $t = \pm\frac{\sqrt3}{3}$ , et alors $x' \neq 0$ . $x = \frac13 - 1 = -\frac23$ et $y = t\big(t^2 - 1\big) = \pm\frac{\sqrt3}{3} \times \left(-\frac23\right)$ : aux points $\left(-\frac23\,;-\frac{2\sqrt3}{9}\right)$ et $\left(-\frac23\,;\frac{2\sqrt3}{9}\right)$ .

4. (2 pts)

(1 pt) $M(1) = (0\,;0)$ et $M(-1) = (0\,;0)$ : $\Gamma$ passe par $O$ pour $t = 1$ et pour $t = -1$ .
(1 pt) $\vec v(1)\,(2\,;2)$ et $\vec v(-1)\,(-2\,;2)$ : tangentes $y = x$ et $y = -x$ . Comme $\vec v(1) \cdot \vec v(-1) = -4 + 4 = 0$ , elles sont perpendiculaires.

5. (2 pts)

(1 pt) $\vec v(1)\,(2\,;2)$ : la vitesse vaut $2\sqrt2$ . $\vec a(t)\,(2\,;6t)$ , donc $\vec a(1)\,(2\,;6)$ .
(1 pt) $\vec v(1) \cdot \vec a(1) = 4 + 12 = 16 > 0$ : le mouvement est accéléré à cet instant.

Exercice 2

Partie A.

1. (2 pts)

(1 pt) $3(x^2 - 2x) + 4y^2 = 9$ , soit $3(x - 1)^2 - 3 + 4y^2 = 9$ , donc $3(x - 1)^2 + 4y^2 = 12$ .
(1 pt) En divisant par $12$ : $\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ . Avec $X = x - 1$ , $Y = y$ , c'est l'ellipse $\frac{X^2}{4} + \frac{Y^2}{3} = 1$ .

2. (2 pts)

(1 pt) Centre $\Omega(1\,;0)$ , $a = 2$ , $b = \sqrt3$ ; sommets $(3\,;0)$ , $(-1\,;0)$ , $\big(1\,;\sqrt3\big)$ , $\big(1\,;-\sqrt3\big)$ .
(1 pt) $c = \sqrt{4 - 3} = 1$ : foyers $F(2\,;0)$ et $F'(0\,;0)$ ; $e = \frac12$ ; directrices $X = \pm\frac{a^2}{c} = \pm4$ , soit $x = 5$ et $x = -3$ .

3. (1,5 pt) $MH = |x - 5|$ . $MF^2 = \frac14\,MH^2 \iff (x - 2)^2 + y^2 = \frac14(x - 5)^2 \iff 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 = x^2 - 10x + 25 \iff 3x^2 + 4y^2 - 6x - 9 = 0$ . Les distances étant positives, $MF = \frac12 MH$ équivaut à $MF^2 = \frac14 MH^2$ .

4. (1,5 pt) $\frac{(2 - 1)^2}{4} + \frac{9/4}{3} = \frac14 + \frac34 = 1$ . $M_0F = \frac32$ (même abscisse que $F$ ) et $M_0F' = \sqrt{4 + \frac94} = \frac52$ : $M_0F + M_0F' = 4 = 2a$ .

5. (2 pts)

(1,5 pt) Dans le repère $(\Omega\,;\vec i, \vec j)$ , $M_0$ a pour coordonnées $X_0 = 1$ , $Y_0 = \frac32$ . Dédoublement : $\frac{X \times 1}{4} + \frac{Y \times \frac32}{3} = 1$ , soit $\frac{x - 1}{4} + \frac{y}{2} = 1$ , c'est-à-dire $x + 2y = 5$ .
(0,5 pt) Pour $y = 0$ : $x = 5$ . Le point $(5\,;0)$ est sur $D$ .

Partie B. (3 pts)

(1,5 pt) $x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2 \iff x^2 = 4y$ : $\mathcal{P}$ a pour équation $x^2 = 4y$ ( $p = 2$ , sommet $O$ ).
(1,5 pt) Le point $(2\,;1)$ est sur $\mathcal{P}$ ( $4 = 4 \times 1$ ). Avec la représentation $x = t$ , $y = \frac{t^2}{4}$ : $\vec v(t)\left(1\,;\frac{t}{2}\right)$ , soit $(1\,;1)$ en $t = 2$ . La tangente est $y = x - 1$ . (Dédoublement pour $x^2 = 2py$ : $x\,x_0 = p(y + y_0)$ , soit $2x = 2(y + 1)$ .)

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 à 4	O3 Déterminer la tangente à une courbe paramétrée ; O5 Représenter une courbe paramétrée (symétries, points remarquables)
Ex. 1, 5	O4 Vitesse, accélération, étude du mouvement
Ex. 2, A1 et A2	O10 Déterminer la nature et les éléments d'une conique connaissant une équation cartésienne
Ex. 2, A3	O7 Définition par foyer et directrice
Ex. 2, A4	O8 Définition bifocale de l'ellipse
Ex. 2, A5	O11 Tangente en un point d'une conique
Ex. 2, B	O7 et O9 Déterminer une équation d'une conique ; O11 Tangente