L'ellipse

6.1 Équation réduite d'une conique d'excentricité $e \neq 1$

Théorème 6. Soit une conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e \neq 1$, et $d = FK$ la distance de $F$ à $D$. On pose $a = \frac{e\,d}{|1 - e^2|} \qquad\text{et}\qquad c = e\,a.$ Il existe un repère orthonormé, d'axe des abscisses l'axe focal, dans lequel $F(c\,;0)$ et $D : x = \dfrac{a}{e}$. Dans ce repère, la conique a pour équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1.$

Démonstration. Les nombres $c = ea$ et $\frac{a}{e}$ diffèrent de $\left|\frac{a}{e} - ea\right| = \frac{a\,|1 - e^2|}{e} = d$ : on peut donc placer l'origine $O$ sur $\Delta$ de façon que $F$ ait pour abscisse $c$ et $K$ pour abscisse $\frac{a}{e}$. Pour $M(x\,;y)$, $MH = \left|x - \frac{a}{e}\right|$ et $MF^2 = e^2\,MH^2 \iff (x - ea)^2 + y^2 = e^2\left(x - \tfrac{a}{e}\right)^2 \iff x^2 - 2eax + e^2a^2 + y^2 = e^2x^2 - 2eax + a^2,$ soit $(1 - e^2)\,x^2 + y^2 = a^2(1 - e^2)$. On divise par $a^2(1 - e^2)$, qui n'est pas nul.

L'équation ne change pas quand on remplace $x$ par $-x$, ou $y$ par $-y$ : les axes du repère sont des axes de symétrie et $O$ est un centre de symétrie de la conique. Par la symétrie d'axe $(Oy)$, le point $F'(-c\,;0)$ et la droite $D' : x = -\frac{a}{e}$ sont un second foyer et une seconde directrice de la même conique. Les sommets sur l'axe focal sont $(a\,;0)$ et $(-a\,;0)$.

6.2 L'ellipse ($e < 1$) et ses éléments

Si $e < 1$, on pose $b = a\sqrt{1 - e^2}$ : alors $0 < b < a$, $b^2 = a^2 - c^2$, et l'équation réduite est $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$

Tout point de l'ellipse vérifie $-a \leq x \leq a$ et $-b \leq y \leq b$ : l'ellipse est dans le rectangle de centre $O$ et de côtés $2a$ et $2b$.

Réciproquement, si $a > b > 0$, la courbe d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ est l'ellipse de foyer $F(c\,;0)$, de directrice $x = \frac{a^2}{c}$ et d'excentricité $\frac{c}{a}$, avec $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ (on remonte le calcul).

Si $b > a$, les rôles des axes sont échangés : le grand axe est porté par $(Oy)$, les foyers sont $(0\,;\pm c)$ avec $c = \sqrt{b^2 - a^2}$, l'excentricité vaut $\frac{c}{b}$ et les directrices ont pour équations $y = \pm\frac{b^2}{c}$.

Si $a = b$, c'est le cercle de centre $O$ et de rayon $a$ ($c = 0$) : il n'a ni foyer ni directrice au sens de la leçon 5.

Exemple 13 (de la définition à l'équation). Foyer $F(1\,;0)$, directrice $D : x = 4$, excentricité $e = \frac12$. Pour $M(x\,;y)$ : $MF^2 = \tfrac14\,MH^2 \iff (x - 1)^2 + y^2 = \tfrac14(x - 4)^2 \iff 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16 \iff 3x^2 + 4y^2 = 12,$ soit $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$. C'est l'ellipse de centre $O$, avec $a = 2$, $b = \sqrt3$, $c = 1$ : on retrouve $e = \frac{c}{a} = \frac12$ et la directrice $x = \frac{a^2}{c} = 4$. Sommets $(\pm2\,;0)$ et $\big(0\,;\pm\sqrt3\big)$, second foyer $F'(-1\,;0)$, seconde directrice $x = -4$.

6.3 Définition bifocale

Théorème 7.

1. Pour tout point $M(x\,;y)$ de l'ellipse : $MF = a - ex$, $MF' = a + ex$, donc $MF + MF' = 2a$.
2. Réciproquement, si $F$ et $F'$ sont deux points tels que $FF' = 2c$ et si $a > c$, l'ensemble des points $M$ tels que $MF + MF' = 2a$ est l'ellipse de foyers $F$ et $F'$ et de grand axe $2a$.

Démonstration.

1. Comme $|x| \leq a < \frac{a}{e}$ : $MF = e\,MH = e\left(\frac{a}{e} - x\right) = a - ex$. De même, avec $F'$ et $D'$ : $MF' = e\left(x + \frac{a}{e}\right) = a + ex$.
2. Dans le repère où $F(c\,;0)$ et $F'(-c\,;0)$, on pose $e = \frac{c}{a}$ et $b^2 = a^2 - c^2$. Si $MF + MF' = 2a$ : $MF'^2 - MF^2 = (x + c)^2 - (x - c)^2 = 4cx$, donc $MF' - MF = \frac{4cx}{2a} = 2ex$, d'où $MF = a - ex$. En élevant au carré : $(x - c)^2 + y^2 = a^2 - 2cx + e^2x^2$, soit $(1 - e^2)x^2 + y^2 = a^2 - c^2 = b^2$, c'est-à-dire $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.

La méthode du jardinier. Pour tracer une ellipse sur le sol, on plante deux piquets en $F$ et $F'$, on y attache les deux bouts d'une corde de longueur $2a$, et l'on fait le tour en gardant la corde tendue avec un crayon : la pointe décrit l'ellipse.

Exemple 14. Pour l'ellipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ ($a = 2$, $c = 1$, $e = \frac12$), le point $M\left(1\,;\frac32\right)$ vérifie $MF = 2 - \frac12 = \frac32$ et $MF' = 2 + \frac12 = \frac52$ : leur somme vaut $4 = 2a$.

6.4 Le cercle et l'ellipse : affinité orthogonale

Définition. Soit $\Delta$ une droite et $k$ un réel non nul. L'affinité orthogonale d'axe $\Delta$ et de rapport $k$ associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{HM'} = k\,\overrightarrow{HM}$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$. Si $\Delta$ est l'axe des abscisses, son expression analytique est $x' = x$, $y' = ky$ : c'est une application affine (chapitre 11).

Théorème 8. Soit $a > 0$ et $b > 0$. L'image du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $a$ par l'affinité orthogonale d'axe $(Ox)$ et de rapport $\frac{b}{a}$ est l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.

Démonstration. $M'(x'\,;y')$ est l'image de $M(x\,;y)$ si et seulement si $x = x'$ et $y = \frac{a}{b}y'$. Alors $M \in \mathcal{C} \iff x'^2 + \frac{a^2}{b^2}y'^2 = a^2 \iff \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} = 1$.

Le cercle $\mathcal{C}$ est le cercle principal de l'ellipse (si $a > b$). Le chapitre 11 l'annonçait : l'application $x' = x$, $y' = 2y$ transforme le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ en l'ellipse $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.

Équations paramétriques. L'image du point $(a\cos t\,;a\sin t)$ du cercle est $(a\cos t\,;b\sin t)$. L'ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ a donc pour représentation paramétrique $x = a\cos t, \qquad y = b\sin t, \qquad t \in [0\,;2\pi[,$ et plus généralement $x = x_0 + a\cos t$, $y = y_0 + b\sin t$ représente l'ellipse de centre $(x_0\,;y_0)$, d'axes parallèles aux axes du repère.

Construction point par point (méthode des deux cercles). On trace les cercles de centre $O$ et de rayons $a$ et $b$. Une demi-droite issue de $O$, d'angle $t$, les coupe en $P(a\cos t\,;a\sin t)$ et $Q(b\cos t\,;b\sin t)$. Le point $M$ qui a l'abscisse de $P$ et l'ordonnée de $Q$ est le point de l'ellipse de paramètre $t$.

Exemple 15 (retour à l'échelle). Le point $M(2\cos t\,;\sin t)$ de la leçon 1 décrit un quart de l'ellipse $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ : $a = 2$, $b = 1$, $c = \sqrt3$, $e = \frac{\sqrt3}{2}$, foyers $\big(\pm\sqrt3\,;0\big)$.