Coniques, foyer et directrice ; la parabole

5.1 Définition

Soit $D$ une droite, $F$ un point qui n'est pas sur $D$, et $e$ un réel strictement positif. Pour tout point $M$, on note $H$ son projeté orthogonal sur $D$.

Définition. La conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\frac{MF}{MH} = e, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad MF = e \times MH.$ C'est la ligne de niveau $e$ de la fonction $M \longmapsto \dfrac{MF}{MH}$, comme le demande le programme. C'est une ellipse si $e < 1$, une parabole si $e = 1$, une hyperbole si $e > 1$.

Aucun point de $D$ n'est sur la conique : si $M \in D$, alors $MH = 0$, et $MF = 0$ donnerait $M = F$, qui n'est pas sur $D$.

5.2 Axe focal et sommets

La droite $\Delta$ passant par $F$ et perpendiculaire à $D$ est l'axe focal. La réflexion d'axe $\Delta$ laisse $F$ en place et transforme $D$ en elle-même ; comme elle conserve les distances, elle transforme la conique en elle-même : $\Delta$ est un axe de symétrie de la conique.

Les points de la conique situés sur $\Delta$ sont ses sommets (sur l'axe focal).

Théorème 4. Soit $K$ le projeté orthogonal de $F$ sur $D$.

• Le barycentre $S = \mathrm{bar}\{(F, 1), (K, e)\}$ est un sommet de la conique.
• Si $e \neq 1$, le barycentre $S' = \mathrm{bar}\{(F, 1), (K, -e)\}$ est un second sommet.
• Il n'y en a pas d'autre sur $\Delta$.

Démonstration. Pour $M \in \Delta$, le projeté de $M$ sur $D$ est $K$. Alors $MF = e\,MK$ équivaut à $\overrightarrow{MF}^2 - e^2\,\overrightarrow{MK}^2 = 0$, soit $\big(\overrightarrow{MF} + e\overrightarrow{MK}\big) \cdot \big(\overrightarrow{MF} - e\overrightarrow{MK}\big) = 0$. Ces deux vecteurs sont dirigés par $\Delta$, donc colinéaires : leur produit scalaire est nul si et seulement si l'un d'eux est nul. Or $\overrightarrow{MF} + e\overrightarrow{MK} = \vec 0$ signifie $M = S$, et $\overrightarrow{MF} - e\overrightarrow{MK} = \vec 0$ signifie $M = S'$ (barycentre qui existe si $1 - e \neq 0$).

Pour une parabole ($e = 1$), le seul sommet est le milieu de $[FK]$.

5.3 La parabole : équation réduite

Soit une parabole de foyer $F$ et de directrice $D$, et $p = FK$ la distance du foyer à la directrice ($p > 0$ est le paramètre). On choisit le repère orthonormé d'origine le sommet $S$ (milieu de $[KF]$), d'axe des abscisses $\Delta$ orienté de $K$ vers $F$. Alors $F\left(\tfrac{p}{2}\,;0\right), \qquad D : x = -\tfrac{p}{2}.$

Théorème 5. Dans ce repère, la parabole a pour équation $y^2 = 2px$. Réciproquement, pour $p > 0$, la courbe d'équation $y^2 = 2px$ est la parabole de foyer $F\left(\frac{p}{2}\,;0\right)$ et de directrice $D : x = -\frac{p}{2}$.

Démonstration. Pour $M(x\,;y)$, $H\left(-\frac{p}{2}\,;y\right)$ et $MH = \left|x + \frac{p}{2}\right|$. Alors $MF = MH \iff \left(x - \tfrac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \tfrac{p}{2}\right)^2 \iff y^2 = 2px,$ et chaque étape est une équivalence (les distances sont positives).

Propriétés. Tout point de la parabole vérifie $x \geq 0$ ; l'axe $(Ox)$ est son axe de symétrie ; le sommet est $O$.

Équations paramétriques. $x = \dfrac{t^2}{2p}$, $y = t$, $t \in \mathbb{R}$.

Autres positions (toujours avec $p > 0$) :

Exemple 10 (la courbe de $y = x^2$). $y = x^2$ s'écrit $x^2 = 2 \times \frac12 \times y$ : c'est la parabole de paramètre $p = \frac12$, de foyer $F\left(0\,;\frac14\right)$ et de directrice $y = -\frac14$. Contrôle : pour $M(x\,;x^2)$, $MF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = \left(x^2 + \frac14\right)^2 = MH^2$. Plus généralement, la courbe de $y = \alpha x^2$ ($\alpha \neq 0$) est une parabole de foyer $\left(0\,;\frac{1}{4\alpha}\right)$ et de directrice $y = -\frac{1}{4\alpha}$.

Exemple 11 (déterminer une équation). Parabole de foyer $F(2\,;0)$ et de directrice $D : x = -2$. Ici $p = 4$ et le sommet est $O$ : $y^2 = 8x$. Le point $M(2\,;4)$ en fait partie : $MF = 4$ et $MH = 2 + 2 = 4$.

Exemple 12 (une parabole hors de la position réduite). Foyer $F(3\,;1)$, directrice $D : x = -1$. Pour $M(x\,;y)$ : $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2$, soit $(y - 1)^2 = 8x - 8 = 8(x - 1)$. C'est la parabole de sommet $S(1\,;1)$ (milieu de $[FK]$ avec $K(-1\,;1)$), de paramètre $p = 4$, tournée vers la droite.