Vitesse et accélération

2.1 Interprétation cinématique

Quand le paramètre $t$ est le temps, $M(t)$ est la position d'un point mobile à l'instant $t$, et la courbe est sa trajectoire.

• Le vecteur dérivé $\vec v(t)\,\big(x'(t)\,;y'(t)\big)$ est le vecteur vitesse à l'instant $t$. S'il n'est pas nul, il est tangent à la trajectoire et indique le sens du mouvement.
• Sa norme $\|\vec v(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$ est la vitesse (scalaire) du point.
• Si $x$ et $y$ sont deux fois dérivables, le vecteur accélération est $\vec a(t)\,\big(x''(t)\,;y''(t)\big)$ : c'est le vecteur dérivé du vecteur vitesse.

2.2 Étude du mouvement

Théorème 2. Pour tout $t$ : $\big(\|\vec v(t)\|^2\big)' = 2\,\vec v(t) \cdot \vec a(t)$. Par conséquent :

• le mouvement est uniforme (vitesse constante) sur un intervalle si et seulement si $\vec v(t) \cdot \vec a(t) = 0$ pour tout $t$ de cet intervalle ;
• il est accéléré (la vitesse augmente) là où $\vec v(t) \cdot \vec a(t) > 0$, et retardé (la vitesse diminue) là où $\vec v(t) \cdot \vec a(t) < 0$.

Démonstration. $\|\vec v(t)\|^2 = x'(t)^2 + y'(t)^2$ a pour dérivée $2x'(t)x''(t) + 2y'(t)y''(t) = 2\,\vec v(t) \cdot \vec a(t)$. Comme la vitesse est positive, elle varie dans le même sens que son carré.

Étudier un mouvement, c'est donc : déterminer la trajectoire (équation cartésienne), calculer $\vec v(t)$, $\|\vec v(t)\|$ et $\vec a(t)$, puis préciser les phases où le mouvement est uniforme, accéléré ou retardé.

2.3 Deux mouvements de référence

Exemple 6 (mouvement circulaire uniforme). $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$, avec $R > 0$ et $\omega > 0$.

• Trajectoire : le cercle de centre $O$ et de rayon $R$.
• $\vec v(t)\,\big(-R\omega\sin(\omega t)\,;R\omega\cos(\omega t)\big)$ et $\|\vec v(t)\| = R\omega$ : le mouvement est uniforme.
• $\vec a(t)\,\big(-R\omega^2\cos(\omega t)\,;-R\omega^2\sin(\omega t)\big)$, c'est-à-dire $\vec a(t) = -\omega^2\,\overrightarrow{OM}(t)$ : l'accélération est dirigée vers le centre, de norme $R\omega^2$. On vérifie que $\vec v \cdot \vec a = 0$.

Exemple 7 (un ballon lancé, modèle simplifié). Les unités sont choisies pour que les calculs soient simples : $x(t) = 2t$, $y(t) = 4t - t^2$, pour $t \in [0\,;4]$.

• Trajectoire. $t = \dfrac{x}{2}$, donc $y = 2x - \dfrac{x^2}{4}$ : un arc de parabole, de $O$ (à $t = 0$) au point $(8\,;0)$ (à $t = 4$).
• Vitesse. $\vec v(t)\,(2\,;4 - 2t)$ ; à $t = 0$, $\vec v(0)\,(2\,;4)$ et la vitesse vaut $\sqrt{20} = 2\sqrt5$.
• Sommet. $y'(t) = 0$ pour $t = 2$ : au point $(4\,;4)$, $\vec v(2)\,(2\,;0)$, la tangente est horizontale et la vitesse vaut $2$.
• Accélération. $\vec a(t)\,(0\,;-2)$ : constante, verticale, dirigée vers le bas, comme la pesanteur.
• Mouvement. $\vec v(t) \cdot \vec a(t) = -2(4 - 2t) = 4t - 8$ : le mouvement est retardé pour $t \in [0\,;2[$ (le ballon monte et ralentit), puis accéléré pour $t \in \,]2\,;4]$. La vitesse est minimale au sommet.