Mettre un problème en équations

7.1 La méthode

1. Choisir les inconnues, en précisant ce qu'elles représentent et leur unité.
2. Traduire chaque information de l'énoncé par une équation.
3. Résoudre le système, par la méthode de Gauss.
4. Vérifier que la solution respecte l'énoncé (par exemple des quantités positives, ou entières), puis conclure par une phrase.

7.2 Un problème de prix

Exemple 22 (situation simplifiée, prix inventés). Au marché, une cliente paie $2\,700$ F pour $2$ kg de riz, $1$ kg de sucre et $1$ litre d'huile. Une deuxième paie $3\,000$ F pour $1$ kg de riz, $2$ kg de sucre et $1$ litre d'huile. Une troisième paie $4\,300$ F pour $3$ kg de riz, $1$ kg de sucre et $2$ litres d'huile. Quel est le prix de chaque produit ?

Inconnues. $r$, $s$, $h$ : prix, en francs CFA, d'un kilogramme de riz, d'un kilogramme de sucre et d'un litre d'huile.

Équations. $\left\{\begin{array}{rcl} 2r + s + h & = & 2\,700 \\ r + 2s + h & = & 3\,000 \\ 3r + s + 2h & = & 4\,300 \end{array}\right.$

Résolution. On échange $L_1$ et $L_2$ pour avoir le pivot $1$. Puis $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $-3s - h = -3\,300$, et $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ donne $-5s - h = -4\,700$. Enfin $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $-2s = -1\,400$, donc $s = 700$. Puis $h = 3\,300 - 3 \times 700 = 1\,200$, et $r = 3\,000 - 2 \times 700 - 1\,200 = 400$.

Vérification et conclusion. $800 + 700 + 1\,200 = 2\,700$, $400 + 1\,400 + 1\,200 = 3\,000$, $1\,200 + 700 + 2\,400 = 4\,300$. Le riz coûte $400$ F le kilogramme, le sucre $700$ F le kilogramme, et l'huile $1\,200$ F le litre.

7.3 Une parabole passant par trois points

Exemple 23. Cherchons la fonction $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ dont la courbe passe par $A(1\,;2)$, $B(2\,;3)$ et $C(3\,;6)$.

Les conditions $f(1) = 2$, $f(2) = 3$, $f(3) = 6$ donnent $\left\{\begin{array}{rcl} a + b + c & = & 2 \\ 4a + 2b + c & = & 3 \\ 9a + 3b + c & = & 6 \end{array}\right.$

$L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donnent $3a + b = 1$ et $8a + 2b = 4$ ; puis $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ donne $2a = 2$. Donc $a = 1$, $b = 1 - 3 = -2$, $c = 2 - 1 + 2 = 3$ : $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Contrôle : $f(1) = 2$, $f(2) = 3$, $f(3) = 6$.