Systèmes équivalents et opérations sur les lignes

2.1 Systèmes à trois inconnues

Un système linéaire de trois équations à trois inconnues $x$, $y$, $z$ s'écrit $\left\{\begin{array}{rcl} ax + by + cz & = & d \quad (L_1) \\ a'x + b'y + c'z & = & d' \quad (L_2) \\ a''x + b''y + c''z & = & d'' \quad (L_3) \end{array}\right.$ Une solution est un triplet $(x\,;y\,;z)$ qui vérifie les trois équations à la fois. On rencontre aussi des systèmes de deux équations à trois inconnues (leçon 4).

Exemple 5. Le triplet $(1\,;2\,;3)$ est solution du système $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ 2x - y + z & = & 3 \\ x + 2y - z & = & 2 \end{array}\right.$ car $1 + 2 + 3 = 6$, $2 - 2 + 3 = 3$ et $1 + 4 - 3 = 2$. Le triplet $(2\,;1\,;3)$ ne l'est pas : il vérifie la première équation, mais pas la deuxième ($4 - 1 + 3 = 6 \neq 3$).

2.2 Systèmes équivalents, opérations élémentaires

Définition. Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Propriété. Chacune des trois opérations élémentaires suivantes transforme un système en un système équivalent :

1. échanger deux lignes : $L_i \leftrightarrow L_j$ ;
2. multiplier une ligne par un réel non nul : $L_i \leftarrow k\,L_i$, avec $k \neq 0$ ;
3. ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne : $L_i \leftarrow L_i + k\,L_j$, avec $j \neq i$.

Justification. Toute solution du système de départ vérifie encore les nouvelles lignes, puisqu'elles sont obtenues en multipliant ou en ajoutant des égalités vraies. Réciproquement, chaque opération se défait par une opération du même type : $L_i \leftrightarrow L_j$ par elle-même, $L_i \leftarrow k\,L_i$ par $L_i \leftarrow \frac1k\,L_i$ (d'où la condition $k \neq 0$), et $L_i \leftarrow L_i + k\,L_j$ par $L_i \leftarrow L_i - k\,L_j$, car la ligne $L_j$ n'a pas changé. Toute solution du nouveau système est donc solution de l'ancien.

Combinaison. En enchaînant les opérations 2 et 3, on peut remplacer $L_i$ par $\alpha\,L_i + \beta\,L_j$, à condition que $\alpha \neq 0$. C'est pratique pour éviter les fractions : par exemple $L_2 \leftarrow 3L_2 - 2L_1$.

2.3 Deux erreurs à éviter

• Multiplier une ligne par $0$ : l'équation devient $0 = 0$, et l'information qu'elle portait est perdue.
• Modifier deux lignes en même temps, chacune à l'aide de l'autre. On modifie une ligne à la fois, à l'aide d'une ligne qu'on ne modifie pas dans cette étape.

Exemple 6 (une erreur classique). Le système $\left\{\begin{array}{rcl} x + y & = & 2 \\ x - y & = & 0 \end{array}\right.$ a pour unique solution $(1\,;1)$. Si l'on fait en même temps $L_1 \leftarrow L_1 - L_2$ et $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, on obtient $2y = 2$ et $-2y = -2$ : deux fois la même équation. Le nouveau système a pour solutions tous les couples $(x\,;1)$, il n'est pas équivalent au premier.

2.4 Systèmes triangulaires

Définition. Un système est triangulaire quand la dernière équation ne contient qu'une inconnue, l'avant-dernière deux, et ainsi de suite : $\left\{\begin{array}{rcl} ax + by + cz & = & d \\ b'y + c'z & = & d' \\ c''z & = & d'' \end{array}\right. \qquad\text{avec } a,\ b',\ c'' \text{ non nuls.}$ On le résout en remontant : la dernière équation donne $z$, puis l'avant-dernière donne $y$, puis la première donne $x$. Un tel système a une unique solution.

Exemple 7. $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 2 \\ y + 3z & = & 7 \\ 2z & = & 4 \end{array}\right.$ On remonte : $z = 2$ ; puis $y = 7 - 3 \times 2 = 1$ ; puis $x = 2 - 2 \times 1 + 2 = 2$. La solution est $(2\,;1\,;2)$. Contrôle dans la première ligne : $2 + 2 - 2 = 2$.

2.5 La méthode des combinaisons

Pour résoudre un système, on cherche à le rendre triangulaire par des opérations élémentaires : c'est la méthode des combinaisons.

Exemple 8. $\left\{\begin{array}{rcl} 3x + 2y & = & 7 \\ 2x - 5y & = & -8 \end{array}\right.$ L'opération $L_2 \leftarrow 3L_2 - 2L_1$ élimine $x$ sans fraction : $(6x - 15y) - (6x + 4y) = -24 - 14$, soit $-19y = -38$, donc $y = 2$. Puis $3x = 7 - 4 = 3$, donc $x = 1$. Contrôle : $2 - 10 = -8$. La solution est $(1\,;2)$.