Systèmes de deux équations à deux inconnues

1.1 Vocabulaire

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s'écrit $(S) : \left\{\begin{array}{rcl} ax + by & = & c \quad (L_1) \\ a'x + b'y & = & c' \quad (L_2) \end{array}\right.$ où $a$, $b$, $a'$, $b'$ (les coefficients) et $c$, $c'$ (les seconds membres) sont des réels donnés. Une solution de $(S)$ est un couple $(x\,;y)$ de réels qui vérifie les deux équations à la fois. Résoudre $(S)$, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions.

1.2 Déterminant et méthode de Cramer

Définition. Le déterminant du système $(S)$ est le réel $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b.$ C'est le déterminant des vecteurs $(a\,;a')$ et $(b\,;b')$ formés par les colonnes des coefficients, vu en Seconde.

Théorème (méthode de Cramer). Si $\Delta \neq 0$, le système $(S)$ a une unique solution, donnée par $x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad\text{et}\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad\text{avec}\qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - c'b, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - a'c.$ Pour former $\Delta_x$, on remplace dans $\Delta$ la colonne des coefficients de $x$ par celle des seconds membres ; pour $\Delta_y$, celle des coefficients de $y$.

Démonstration. Si $(x\,;y)$ est solution, l'opération $b'L_1 - bL_2$ élimine $y$ : $(ab' - a'b)\,x = cb' - c'b$, soit $\Delta\,x = \Delta_x$. De même, $aL_2 - a'L_1$ élimine $x$ : $\Delta\,y = \Delta_y$. Si $\Delta \neq 0$, on a donc forcément $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$ et $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$. Réciproquement, on vérifie en développant que ce couple satisfait les deux équations : par exemple $a\,\Delta_x + b\,\Delta_y = a(cb' - c'b) + b(ac' - a'c) = c(ab' - a'b) = c\,\Delta$. C'est donc l'unique solution.

Si $\Delta = 0$, le système a soit aucune solution, soit une infinité : on le voit en combinant les lignes, comme dans les exemples 2 et 3.

Exemple 1. Résolvons $\left\{\begin{array}{rcl} 2x + 3y & = & 8 \\ x - 2y & = & -3 \end{array}\right.$

• $\Delta = 2 \times (-2) - 1 \times 3 = -7$, non nul : il y a une unique solution.
• $\Delta_x = 8 \times (-2) - (-3) \times 3 = -16 + 9 = -7$, donc $x = \frac{-7}{-7} = 1$.
• $\Delta_y = 2 \times (-3) - 1 \times 8 = -6 - 8 = -14$, donc $y = \frac{-14}{-7} = 2$.

Contrôle : $2 + 6 = 8$ et $1 - 4 = -3$. La solution est le couple $(1\,;2)$.

1.3 Interprétation géométrique

Dans un repère du plan, l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $ax + by = c$, avec $(a\,;b) \neq (0\,;0)$, est une droite $D$, de vecteur directeur $\vec u\,(-b\,;a)$. Résoudre $(S)$, c'est chercher les points communs aux droites $D : ax + by = c$ et $D' : a'x + b'y = c'$.

Les vecteurs directeurs $\vec u\,(-b\,;a)$ et $\vec u'\,(-b'\,;a')$ ont pour déterminant $(-b)a' - a(-b') = ab' - a'b = \Delta$. Donc :

Exemple 2. $\left\{\begin{array}{rcl} 2x - y & = & 3 \\ -4x + 2y & = & 1 \end{array}\right.$ On a $\Delta = 2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 0$. L'opération $L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1$ donne $0 = 7$, ce qui est impossible : aucune solution. Les deux droites sont parallèles et distinctes.

Exemple 3. $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y & = & 4 \\ 3x + 6y & = & 12 \end{array}\right.$ On a $\Delta = 6 - 6 = 0$, et $L_2 = 3L_1$ : les deux équations sont équivalentes, les droites sont confondues. En posant $y = t$, on obtient $x = 4 - 2t$ : les solutions sont tous les couples $(4 - 2t\,;t)$, $t$ réel. Par exemple $t = 0$ donne $(4\,;0)$, et $t = 1$ donne $(2\,;1)$.

1.4 Systèmes de trois équations à deux inconnues

On résout deux des équations, puis on regarde si la solution obtenue vérifie la troisième. Géométriquement, on cherche si trois droites sont concourantes.

Exemple 4. $\left\{\begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ x - y & = & 1 \\ 2x + y & = & 5 \end{array}\right.$ Les deux premières équations donnent $2x = 4$, donc $x = 2$ et $y = 1$. Le couple $(2\,;1)$ vérifie la troisième : $4 + 1 = 5$. Le système a l'unique solution $(2\,;1)$ : les trois droites sont concourantes. Si la troisième équation était $2x + y = 6$, le système n'aurait aucune solution.