Systèmes linéaires

Leçon 1 : Systèmes de deux équations à deux inconnues

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1.1 Vocabulaire

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s'écrit $(S) : \left\{\begin{array}{rcl} ax + by & = & c \quad (L_1) \\ a'x + b'y & = & c' \quad (L_2) \end{array}\right.$ où $a$, $b$, $a'$, $b'$ (les coefficients) et $c$, $c'$ (les seconds membres) sont des réels donnés. Une solution de $(S)$ est un couple $(x\,;y)$ de réels qui vérifie les deux équations à la fois. Résoudre $(S)$, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions.

1.2 Déterminant et méthode de Cramer

Définition. Le déterminant du système $(S)$ est le réel $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b.$ C'est le déterminant des vecteurs $(a\,;a')$ et $(b\,;b')$ formés par les colonnes des coefficients, vu en Seconde.

Théorème (méthode de Cramer). Si $\Delta \neq 0$, le système $(S)$ a une unique solution, donnée par $x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad\text{et}\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad\text{avec}\qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - c'b, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - a'c.$ Pour former $\Delta_x$, on remplace dans $\Delta$ la colonne des coefficients de $x$ par celle des seconds membres ; pour $\Delta_y$, celle des coefficients de $y$.

Démonstration. Si $(x\,;y)$ est solution, l'opération $b'L_1 - bL_2$ élimine $y$ : $(ab' - a'b)\,x = cb' - c'b$, soit $\Delta\,x = \Delta_x$. De même, $aL_2 - a'L_1$ élimine $x$ : $\Delta\,y = \Delta_y$. Si $\Delta \neq 0$, on a donc forcément $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$ et $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$. Réciproquement, on vérifie en développant que ce couple satisfait les deux équations : par exemple $a\,\Delta_x + b\,\Delta_y = a(cb' - c'b) + b(ac' - a'c) = c(ab' - a'b) = c\,\Delta$. C'est donc l'unique solution.

Si $\Delta = 0$, le système a soit aucune solution, soit une infinité : on le voit en combinant les lignes, comme dans les exemples 2 et 3.

Exemple 1. Résolvons $\left\{\begin{array}{rcl} 2x + 3y & = & 8 \\ x - 2y & = & -3 \end{array}\right.$

• $\Delta = 2 \times (-2) - 1 \times 3 = -7$, non nul : il y a une unique solution.
• $\Delta_x = 8 \times (-2) - (-3) \times 3 = -16 + 9 = -7$, donc $x = \frac{-7}{-7} = 1$.
• $\Delta_y = 2 \times (-3) - 1 \times 8 = -6 - 8 = -14$, donc $y = \frac{-14}{-7} = 2$.

Contrôle : $2 + 6 = 8$ et $1 - 4 = -3$. La solution est le couple $(1\,;2)$.

1.3 Interprétation géométrique

Dans un repère du plan, l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $ax + by = c$, avec $(a\,;b) \neq (0\,;0)$, est une droite $D$, de vecteur directeur $\vec u\,(-b\,;a)$. Résoudre $(S)$, c'est chercher les points communs aux droites $D : ax + by = c$ et $D' : a'x + b'y = c'$.

Les vecteurs directeurs $\vec u\,(-b\,;a)$ et $\vec u'\,(-b'\,;a')$ ont pour déterminant $(-b)a' - a(-b') = ab' - a'b = \Delta$. Donc :

Exemple 2. $\left\{\begin{array}{rcl} 2x - y & = & 3 \\ -4x + 2y & = & 1 \end{array}\right.$ On a $\Delta = 2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 0$. L'opération $L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1$ donne $0 = 7$, ce qui est impossible : aucune solution. Les deux droites sont parallèles et distinctes.

Exemple 3. $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y & = & 4 \\ 3x + 6y & = & 12 \end{array}\right.$ On a $\Delta = 6 - 6 = 0$, et $L_2 = 3L_1$ : les deux équations sont équivalentes, les droites sont confondues. En posant $y = t$, on obtient $x = 4 - 2t$ : les solutions sont tous les couples $(4 - 2t\,;t)$, $t$ réel. Par exemple $t = 0$ donne $(4\,;0)$, et $t = 1$ donne $(2\,;1)$.

1.4 Systèmes de trois équations à deux inconnues

On résout deux des équations, puis on regarde si la solution obtenue vérifie la troisième. Géométriquement, on cherche si trois droites sont concourantes.

Exemple 4. $\left\{\begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ x - y & = & 1 \\ 2x + y & = & 5 \end{array}\right.$ Les deux premières équations donnent $2x = 4$, donc $x = 2$ et $y = 1$. Le couple $(2\,;1)$ vérifie la troisième : $4 + 1 = 5$. Le système a l'unique solution $(2\,;1)$ : les trois droites sont concourantes. Si la troisième équation était $2x + y = 6$, le système n'aurait aucune solution.

Leçon 2 : Systèmes équivalents et opérations sur les lignes

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2.1 Systèmes à trois inconnues

Un système linéaire de trois équations à trois inconnues $x$, $y$, $z$ s'écrit $\left\{\begin{array}{rcl} ax + by + cz & = & d \quad (L_1) \\ a'x + b'y + c'z & = & d' \quad (L_2) \\ a''x + b''y + c''z & = & d'' \quad (L_3) \end{array}\right.$ Une solution est un triplet $(x\,;y\,;z)$ qui vérifie les trois équations à la fois. On rencontre aussi des systèmes de deux équations à trois inconnues (leçon 4).

Exemple 5. Le triplet $(1\,;2\,;3)$ est solution du système $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ 2x - y + z & = & 3 \\ x + 2y - z & = & 2 \end{array}\right.$ car $1 + 2 + 3 = 6$, $2 - 2 + 3 = 3$ et $1 + 4 - 3 = 2$. Le triplet $(2\,;1\,;3)$ ne l'est pas : il vérifie la première équation, mais pas la deuxième ($4 - 1 + 3 = 6 \neq 3$).

2.2 Systèmes équivalents, opérations élémentaires

Définition. Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Propriété. Chacune des trois opérations élémentaires suivantes transforme un système en un système équivalent :

1. échanger deux lignes : $L_i \leftrightarrow L_j$ ;
2. multiplier une ligne par un réel non nul : $L_i \leftarrow k\,L_i$, avec $k \neq 0$ ;
3. ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne : $L_i \leftarrow L_i + k\,L_j$, avec $j \neq i$.

Justification. Toute solution du système de départ vérifie encore les nouvelles lignes, puisqu'elles sont obtenues en multipliant ou en ajoutant des égalités vraies. Réciproquement, chaque opération se défait par une opération du même type : $L_i \leftrightarrow L_j$ par elle-même, $L_i \leftarrow k\,L_i$ par $L_i \leftarrow \frac1k\,L_i$ (d'où la condition $k \neq 0$), et $L_i \leftarrow L_i + k\,L_j$ par $L_i \leftarrow L_i - k\,L_j$, car la ligne $L_j$ n'a pas changé. Toute solution du nouveau système est donc solution de l'ancien.

Combinaison. En enchaînant les opérations 2 et 3, on peut remplacer $L_i$ par $\alpha\,L_i + \beta\,L_j$, à condition que $\alpha \neq 0$. C'est pratique pour éviter les fractions : par exemple $L_2 \leftarrow 3L_2 - 2L_1$.

2.3 Deux erreurs à éviter

• Multiplier une ligne par $0$ : l'équation devient $0 = 0$, et l'information qu'elle portait est perdue.
• Modifier deux lignes en même temps, chacune à l'aide de l'autre. On modifie une ligne à la fois, à l'aide d'une ligne qu'on ne modifie pas dans cette étape.

Exemple 6 (une erreur classique). Le système $\left\{\begin{array}{rcl} x + y & = & 2 \\ x - y & = & 0 \end{array}\right.$ a pour unique solution $(1\,;1)$. Si l'on fait en même temps $L_1 \leftarrow L_1 - L_2$ et $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, on obtient $2y = 2$ et $-2y = -2$ : deux fois la même équation. Le nouveau système a pour solutions tous les couples $(x\,;1)$, il n'est pas équivalent au premier.

2.4 Systèmes triangulaires

Définition. Un système est triangulaire quand la dernière équation ne contient qu'une inconnue, l'avant-dernière deux, et ainsi de suite : $\left\{\begin{array}{rcl} ax + by + cz & = & d \\ b'y + c'z & = & d' \\ c''z & = & d'' \end{array}\right. \qquad\text{avec } a,\ b',\ c'' \text{ non nuls.}$ On le résout en remontant : la dernière équation donne $z$, puis l'avant-dernière donne $y$, puis la première donne $x$. Un tel système a une unique solution.

Exemple 7. $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 2 \\ y + 3z & = & 7 \\ 2z & = & 4 \end{array}\right.$ On remonte : $z = 2$ ; puis $y = 7 - 3 \times 2 = 1$ ; puis $x = 2 - 2 \times 1 + 2 = 2$. La solution est $(2\,;1\,;2)$. Contrôle dans la première ligne : $2 + 2 - 2 = 2$.

2.5 La méthode des combinaisons

Pour résoudre un système, on cherche à le rendre triangulaire par des opérations élémentaires : c'est la méthode des combinaisons.

Exemple 8. $\left\{\begin{array}{rcl} 3x + 2y & = & 7 \\ 2x - 5y & = & -8 \end{array}\right.$ L'opération $L_2 \leftarrow 3L_2 - 2L_1$ élimine $x$ sans fraction : $(6x - 15y) - (6x + 4y) = -24 - 14$, soit $-19y = -38$, donc $y = 2$. Puis $3x = 7 - 4 = 3$, donc $x = 1$. Contrôle : $2 - 10 = -8$. La solution est $(1\,;2)$.

Leçon 3 : La méthode du pivot de Gauss

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3.1 Le principe

La méthode du pivot de Gauss (du nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss) organise la méthode des combinaisons pour rendre triangulaire un système de trois équations à trois inconnues.

1. Premier pivot. On choisit une ligne où le coefficient de $x$ n'est pas nul, et on la place en $L_1$ (au besoin par un échange de lignes). Ce coefficient est le pivot. On choisit de préférence un pivot égal à $1$ ou $-1$.
2. Élimination de $x$. Avec $L_1$, on fait disparaître $x$ de $L_2$ et de $L_3$ : si le pivot vaut $a$ et si $x$ a pour coefficient $a'$ dans $L_2$, on fait $L_2 \leftarrow L_2 - \frac{a'}{a}\,L_1$, ou $L_2 \leftarrow a\,L_2 - a'\,L_1$ pour éviter les fractions. De même pour $L_3$.
3. Deuxième pivot. $L_2$ et $L_3$ ne contiennent plus que $y$ et $z$. On recommence avec elles : un pivot en $y$ dans $L_2$, puis on élimine $y$ de $L_3$. On ne touche plus à $L_1$.
4. Remontée. Le système est triangulaire : on calcule $z$, puis $y$, puis $x$.
5. Contrôle. On vérifie la solution dans les trois équations du système de départ.

3.2 Un exemple complet

Exemple 9. Résolvons $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \quad (L_1) \\ 2x - y + z & = & 3 \quad (L_2) \\ x + 2y - z & = & 2 \quad (L_3) \end{array}\right.$

Étape 1. Le pivot est le coefficient $1$ de $x$ dans $L_1$. Les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donnent $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ -3y - z & = & -9 \\ y - 2z & = & -4 \end{array}\right.$ Étape 2. Le pivot est le coefficient $-3$ de $y$ dans $L_2$. L'opération $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ élimine $y$ : $(3y - 6z) + (-3y - z) = -12 - 9$, soit $-7z = -21$. $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ -3y - z & = & -9 \\ -7z & = & -21 \end{array}\right.$ Étape 3. On remonte : $z = 3$ ; puis $-3y = -9 + 3 = -6$, donc $y = 2$ ; puis $x = 6 - 2 - 3 = 1$.

Contrôle. $1 + 2 + 3 = 6$ ; $2 - 2 + 3 = 3$ ; $1 + 4 - 3 = 2$. Le système a l'unique solution $(1\,;2\,;3)$.

Remarque. À l'étape 2, on aurait aussi pu échanger $L_2$ et $L_3$ pour prendre le pivot $1$ ; on arrive au même résultat.

3.3 Pivot nul : on échange deux lignes

Si le coefficient de $x$ est nul dans $L_1$, on échange $L_1$ avec une ligne où il ne l'est pas. De même à l'étape 2 pour $y$.

Exemple 10. $\left\{\begin{array}{rcl} 2y - z & = & 1 \\ x + y + z & = & 4 \\ 2x - y + 3z & = & 7 \end{array}\right.$ La première ligne ne contient pas $x$ : on fait $L_1 \leftrightarrow L_2$. Puis $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donne $-3y + z = -1$, et le système devient $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 4 \\ 2y - z & = & 1 \\ -3y + z & = & -1 \end{array}\right.$ L'opération $L_3 \leftarrow 2L_3 + 3L_2$ donne $-z = 1$, donc $z = -1$ ; puis $2y = 1 + z = 0$, donc $y = 0$ ; puis $x = 4 - 0 + 1 = 5$. Contrôle dans la troisième équation de départ : $10 - 0 - 3 = 7$. La solution est $(5\,;0\,;-1)$.

3.4 Conseils

• Écris à chaque étape l'opération faite, à droite de la ligne modifiée.
• Garde les lignes alignées : les $x$ sous les $x$, les $y$ sous les $y$, les $z$ sous les $z$.
• Préfère les combinaisons sans fraction, comme $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$.
• Vérifie toujours la solution dans le système de départ : une erreur de calcul dans une étape intermédiaire ne se voit pas autrement.

Leçon 4 : Systèmes impossibles, systèmes indéterminés

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Ce que révèle la méthode de Gauss

Pendant la méthode de Gauss, une ligne peut perdre toutes ses inconnues. Elle devient $0 = c$.

• Si $c \neq 0$, l'égalité $0 = c$ est fausse : le système est impossible, il n'a aucune solution (l'ensemble des solutions est l'ensemble vide $\varnothing$).
• Si $c = 0$, l'égalité $0 = 0$ est toujours vraie : on peut supprimer cette ligne. Il reste moins d'équations que d'inconnues, et le système a une infinité de solutions : on dit qu'il est indéterminé.

4.2 Système indéterminé

Quand il reste deux équations triangulaires pour trois inconnues, on choisit une inconnue libre, qui devient un paramètre (on pose par exemple $z = t$, $t$ réel), et on exprime les autres en fonction de $t$.

Exemple 11. $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ x - y + 3z & = & 4 \\ 2x + 4z & = & 6 \end{array}\right.$ Les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donnent $-2y + 2z = 2$ et $-2y + 2z = 2$. Puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $0 = 0$ : on supprime cette ligne. Le système est équivalent à $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ -2y + 2z & = & 2 \end{array}\right.$ On pose $z = t$. La deuxième ligne donne $y = t - 1$, puis la première $x = 2 - (t - 1) - t = 3 - 2t$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \{(3 - 2t\,;\ t - 1\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}.$ Par exemple, $t = 0$ donne $(3\,;-1\,;0)$ et $t = 1$ donne $(1\,;0\,;1)$. Contrôle dans la troisième équation : $2(3 - 2t) + 4t = 6$ pour tout $t$.

4.3 Système impossible

Exemple 12. On garde les deux premières lignes de l'exemple 11 et on remplace la troisième par $2x + 4z = 5$. Les mêmes opérations donnent $-2y + 2z = 1$ en troisième ligne, puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $0 = -1$ : c'est impossible. Le système n'a aucune solution.

4.4 Deux équations à trois inconnues

Exemple 13. $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 1 \\ 2x + 3y + z & = & 4 \end{array}\right.$ L'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $-y + 3z = 2$. On pose $z = t$ : $y = 3t - 2$, puis $x = 1 - 2(3t - 2) + t = 5 - 5t$. Donc $\mathcal{S} = \{(5 - 5t\,;\ 3t - 2\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}$.

Exemple 14 (deux paramètres). Dans $\left\{\begin{array}{rcl} x - y + 2z & = & 1 \\ 2x - 2y + 4z & = & 2 \\ -x + y - 2z & = & -1 \end{array}\right.$, on a $L_2 = 2L_1$ et $L_3 = -L_1$ : les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ donnent $0 = 0$ deux fois. Il reste une seule équation, $x = 1 + y - 2z$. En posant $y = s$ et $z = t$ : $\mathcal{S} = \{(1 + s - 2t\,;\ s\,;\ t),\ s \in \mathbb{R},\ t \in \mathbb{R}\}$.

4.5 Bilan

Propriété. Un système linéaire a soit aucune solution, soit une seule, soit une infinité. Il ne peut pas en avoir exactement deux.

Justification. Si $(x_1\,;y_1\,;z_1)$ et $(x_2\,;y_2\,;z_2)$ sont deux solutions distinctes, alors pour tout réel $t$, le triplet $\big(x_1 + t(x_2 - x_1)\,;\ y_1 + t(y_2 - y_1)\,;\ z_1 + t(z_2 - z_1)\big)$ est encore solution : dans chaque ligne $ax + by + cz = d$, on obtient $d + t(d - d) = d$. Cela fait une infinité de solutions.

Leçon 5 : Interprétation géométrique : intersection de plans

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5.1 Une équation, un plan

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On sait depuis la Première que l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $ax + by + cz = d$, avec $(a\,;b\,;c) \neq (0\,;0\,;0)$, est un plan, de vecteur normal $\vec n\,(a\,;b\,;c)$. Chaque ligne d'un système à trois inconnues est donc l'équation d'un plan, et :

Résoudre un système de trois équations à trois inconnues, c'est chercher les points communs à trois plans.

5.2 Deux plans

Deux plans $P_1$ et $P_2$, de vecteurs normaux $\vec n_1$ et $\vec n_2$ :

• si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants suivant une droite, dirigée par $\vec n_1 \wedge \vec n_2$ (chapitre 12) ;
• si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont colinéaires, les plans sont parallèles : distincts (aucun point commun) ou confondus.

Exemple 15. Les plans $x + 2y - z = 1$ et $2x + 3y + z = 4$ de l'exemple 13 ont pour vecteurs normaux $\vec n_1\,(1\,;2\,;-1)$ et $\vec n_2\,(2\,;3\,;1)$, non colinéaires. Ils se coupent suivant la droite formée des points $(5 - 5t\,;\ 3t - 2\,;\ t)$ : elle passe par $(5\,;-2\,;0)$ et elle est dirigée par $\vec u\,(-5\,;3\,;1)$. On retrouve bien un vecteur colinéaire à $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (5\,;-3\,;-1) = -\vec u$.

5.3 Trois plans

Trois plans $P_1$, $P_2$, $P_3$ peuvent avoir :

5.4 Le critère du produit mixte

Propriété. Trois plans de vecteurs normaux $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec n_3$ ont un unique point commun si, et seulement si, $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] \neq 0$, c'est-à-dire si les vecteurs normaux ne sont pas coplanaires.

Démonstration.

• Si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont colinéaires, $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = \vec 0$, donc $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 0$. Les plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles : ou bien ils n'ont aucun point commun, ou bien ils sont confondus, et alors les points communs aux trois plans sont ceux de $P_1 \cap P_3$, qui n'est jamais réduit à un point (c'est un plan, une droite ou l'ensemble vide).
• Sinon, $P_1 \cap P_2$ est une droite $D$ dirigée par $\vec w = \vec n_1 \wedge \vec n_2$. Une droite coupe un plan en un seul point si, et seulement si, son vecteur directeur n'est pas orthogonal au vecteur normal du plan. Donc $D$ coupe $P_3$ en un seul point si, et seulement si, $\vec w \cdot \vec n_3 \neq 0$, c'est-à-dire $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] \neq 0$. Dans le cas contraire, $D$ est parallèle à $P_3$ : elle est contenue dans $P_3$ (une droite de solutions) ou elle ne le rencontre pas (aucune solution).

Exemple 16. Les trois plans de l'exemple 9 ont pour vecteurs normaux $\vec n_1\,(1\,;1\,;1)$, $\vec n_2\,(2\,;-1\,;1)$, $\vec n_3\,(1\,;2\,;-1)$. On a $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (2\,;1\,;-3)$, puis $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 2 + 2 + 3 = 7 \neq 0$ : les trois plans se coupent en un seul point, $A(1\,;2\,;3)$.

Exemple 17. Dans les exemples 11 et 12, les vecteurs normaux sont $\vec n_1\,(1\,;1\,;1)$, $\vec n_2\,(1\,;-1\,;3)$ et $\vec n_3\,(2\,;0\,;4) = \vec n_1 + \vec n_2$ : ils sont coplanaires, et $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 0$. Deux à deux, ils ne sont pas colinéaires : les plans se coupent deux à deux suivant des droites, toutes dirigées par $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (4\,;-2\,;-2)$, donc parallèles. Dans l'exemple 11, les trois plans contiennent une même droite (un livre ouvert) ; dans l'exemple 12, ils forment un prisme et n'ont aucun point commun.

Exemple 18. Les plans $x + y + z = 1$ et $2x + 2y + 2z = 5$ sont parallèles et distincts (vecteurs normaux colinéaires, et $L_2 - 2L_1$ donne $0 = 3$). Quel que soit le troisième plan, le système n'a aucune solution.

Leçon 6 : Déterminant d'un système, systèmes à paramètre

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Déterminant d'un système de trois équations

Définition. Le déterminant du système $\left\{\begin{array}{rcl} ax + by + cz & = & d \\ a'x + b'y + c'z & = & d' \\ a''x + b''y + c''z & = & d'' \end{array}\right.$ est le produit mixte des vecteurs formés par les coefficients de chaque ligne, $\vec n_1\,(a\,;b\,;c)$, $\vec n_2\,(a'\,;b'\,;c')$ et $\vec n_3\,(a''\,;b''\,;c'')$ : $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \\ a'' & b'' & c'' \end{vmatrix} = [\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = (\vec n_1 \wedge \vec n_2) \cdot \vec n_3.$

Théorème. Le système a une unique solution si, et seulement si, $\Delta \neq 0$. Si $\Delta = 0$, il a soit aucune solution, soit une infinité ; la méthode de Gauss permet de trancher.

C'est la propriété de la leçon 5, écrite avec les coefficients : les vecteurs $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec n_3$ sont les vecteurs normaux des trois plans.

6.2 Le calcul

On calcule d'abord $\vec n_1 \wedge \vec n_2$ (méthode « cacher une ligne » du chapitre 12), puis son produit scalaire avec $\vec n_3$. En développant, on obtient $\Delta = (bc' - cb')\,a'' + (ca' - ac')\,b'' + (ab' - ba')\,c'' = ab'c'' + bc'a'' + ca'b'' - cb'a'' - ac'b'' - ba'c''.$

Remarque. Les six produits de cette somme sont aussi ceux qu'on obtient avec les colonnes des coefficients $(a\,;a'\,;a'')$, $(b\,;b'\,;b'')$, $(c\,;c'\,;c'')$ : on peut calculer $\Delta$ avec les lignes ou avec les colonnes, on trouve le même nombre. C'était déjà le cas à l'ordre deux : $ab' - a'b$ se lit aussi bien sur les lignes que sur les colonnes.

Exemple 19. Pour le système de l'exemple 9, $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1 \times 1 - 1 \times (-1)\,;\ 1 \times 2 - 1 \times 1\,;\ 1 \times (-1) - 1 \times 2) = (2\,;1\,;-3)$, et $\Delta = 2 \times 1 + 1 \times 2 + (-3) \times (-1) = 7$. Comme $\Delta \neq 0$, le système a une unique solution, celle trouvée par la méthode de Gauss.

Cas où $\Delta = 0$ sans calcul. Si deux lignes ont des coefficients proportionnels, ou si les coefficients d'une ligne sont la somme de ceux des deux autres (plus généralement une combinaison), les vecteurs $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec n_3$ sont coplanaires et $\Delta = 0$.

6.3 Systèmes à paramètre

Quand les coefficients dépendent d'un paramètre $m$, on calcule $\Delta$ en fonction de $m$. Pour les valeurs de $m$ qui annulent $\Delta$, on reprend la méthode de Gauss avec cette valeur. On se limite ici à des exemples simples.

Exemple 20. Pour tout réel $m$, on considère $(S_m) : \left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ x + 2y + 3z & = & 6 \\ 2x + 3y + mz & = & 10 \end{array}\right.$

• Déterminant. $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1 \times 3 - 1 \times 2\,;\ 1 \times 1 - 1 \times 3\,;\ 1 \times 2 - 1 \times 1) = (1\,;-2\,;1)$, donc $\Delta = 2 - 6 + m = m - 4$.
• Méthode de Gauss. $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ donne $y + 2z = 3$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donne $y + (m - 2)z = 4$ ; puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $(m - 4)\,z = 1$.
• Si $m \neq 4$ : $z = \dfrac{1}{m - 4}$, puis $y = 3 - 2z = \dfrac{3m - 14}{m - 4}$, puis $x = 3 - y - z = \dfrac{1}{m - 4}$. Unique solution $\left(\dfrac{1}{m - 4}\,;\ \dfrac{3m - 14}{m - 4}\,;\ \dfrac{1}{m - 4}\right)$. Par exemple, pour $m = 5$, la solution est $(1\,;1\,;1)$.
• Si $m = 4$ : la dernière ligne devient $0 = 1$ : le système n'a aucune solution. Géométriquement, $\vec n_3\,(2\,;3\,;4) = \vec n_1 + \vec n_2$ : les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, et forment un prisme.

6.4 Complément (non exigible) : les formules de Cramer à l'ordre trois

Écrivons le système avec les colonnes de coefficients $\vec c_1\,(a\,;a'\,;a'')$, $\vec c_2\,(b\,;b'\,;b'')$, $\vec c_3\,(c\,;c'\,;c'')$ et la colonne des seconds membres $\vec b\,(d\,;d'\,;d'')$ : il s'écrit $x\,\vec c_1 + y\,\vec c_2 + z\,\vec c_3 = \vec b$, et $\Delta = [\vec c_1, \vec c_2, \vec c_3]$ d'après la remarque du 6.2. Si $(x\,;y\,;z)$ est solution, le produit mixte, qui se développe comme une somme, donne $[\vec b, \vec c_2, \vec c_3] = x\,[\vec c_1, \vec c_2, \vec c_3] + y\,[\vec c_2, \vec c_2, \vec c_3] + z\,[\vec c_3, \vec c_2, \vec c_3] = x\,\Delta,$ car un produit mixte qui contient deux fois le même vecteur est nul. Donc, si $\Delta \neq 0$ : $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z = \frac{\Delta_z}{\Delta},$ où $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$ s'obtiennent en remplaçant dans $\Delta$ la colonne des coefficients de $x$, de $y$ ou de $z$ par celle des seconds membres. C'est la méthode de Cramer de Seconde, prolongée à trois inconnues. Elle demande quatre déterminants : pour un système numérique, la méthode de Gauss est en général plus rapide.

Exemple 21. Pour le système de l'exemple 9, $\Delta = 7$ et $\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 14, \qquad \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 21.$ On retrouve $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$.

Leçon 7 : Mettre un problème en équations

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 La méthode

1. Choisir les inconnues, en précisant ce qu'elles représentent et leur unité.
2. Traduire chaque information de l'énoncé par une équation.
3. Résoudre le système, par la méthode de Gauss.
4. Vérifier que la solution respecte l'énoncé (par exemple des quantités positives, ou entières), puis conclure par une phrase.

7.2 Un problème de prix

Exemple 22 (situation simplifiée, prix inventés). Au marché, une cliente paie $2\,700$ F pour $2$ kg de riz, $1$ kg de sucre et $1$ litre d'huile. Une deuxième paie $3\,000$ F pour $1$ kg de riz, $2$ kg de sucre et $1$ litre d'huile. Une troisième paie $4\,300$ F pour $3$ kg de riz, $1$ kg de sucre et $2$ litres d'huile. Quel est le prix de chaque produit ?

Inconnues. $r$, $s$, $h$ : prix, en francs CFA, d'un kilogramme de riz, d'un kilogramme de sucre et d'un litre d'huile.

Équations. $\left\{\begin{array}{rcl} 2r + s + h & = & 2\,700 \\ r + 2s + h & = & 3\,000 \\ 3r + s + 2h & = & 4\,300 \end{array}\right.$

Résolution. On échange $L_1$ et $L_2$ pour avoir le pivot $1$. Puis $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $-3s - h = -3\,300$, et $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ donne $-5s - h = -4\,700$. Enfin $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $-2s = -1\,400$, donc $s = 700$. Puis $h = 3\,300 - 3 \times 700 = 1\,200$, et $r = 3\,000 - 2 \times 700 - 1\,200 = 400$.

Vérification et conclusion. $800 + 700 + 1\,200 = 2\,700$, $400 + 1\,400 + 1\,200 = 3\,000$, $1\,200 + 700 + 2\,400 = 4\,300$. Le riz coûte $400$ F le kilogramme, le sucre $700$ F le kilogramme, et l'huile $1\,200$ F le litre.