Systèmes impossibles, systèmes indéterminés

4.1 Ce que révèle la méthode de Gauss

Pendant la méthode de Gauss, une ligne peut perdre toutes ses inconnues. Elle devient $0 = c$.

• Si $c \neq 0$, l'égalité $0 = c$ est fausse : le système est impossible, il n'a aucune solution (l'ensemble des solutions est l'ensemble vide $\varnothing$).
• Si $c = 0$, l'égalité $0 = 0$ est toujours vraie : on peut supprimer cette ligne. Il reste moins d'équations que d'inconnues, et le système a une infinité de solutions : on dit qu'il est indéterminé.

4.2 Système indéterminé

Quand il reste deux équations triangulaires pour trois inconnues, on choisit une inconnue libre, qui devient un paramètre (on pose par exemple $z = t$, $t$ réel), et on exprime les autres en fonction de $t$.

Exemple 11. $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ x - y + 3z & = & 4 \\ 2x + 4z & = & 6 \end{array}\right.$ Les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donnent $-2y + 2z = 2$ et $-2y + 2z = 2$. Puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $0 = 0$ : on supprime cette ligne. Le système est équivalent à $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ -2y + 2z & = & 2 \end{array}\right.$ On pose $z = t$. La deuxième ligne donne $y = t - 1$, puis la première $x = 2 - (t - 1) - t = 3 - 2t$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \{(3 - 2t\,;\ t - 1\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}.$ Par exemple, $t = 0$ donne $(3\,;-1\,;0)$ et $t = 1$ donne $(1\,;0\,;1)$. Contrôle dans la troisième équation : $2(3 - 2t) + 4t = 6$ pour tout $t$.

4.3 Système impossible

Exemple 12. On garde les deux premières lignes de l'exemple 11 et on remplace la troisième par $2x + 4z = 5$. Les mêmes opérations donnent $-2y + 2z = 1$ en troisième ligne, puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $0 = -1$ : c'est impossible. Le système n'a aucune solution.

4.4 Deux équations à trois inconnues

Exemple 13. $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 1 \\ 2x + 3y + z & = & 4 \end{array}\right.$ L'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $-y + 3z = 2$. On pose $z = t$ : $y = 3t - 2$, puis $x = 1 - 2(3t - 2) + t = 5 - 5t$. Donc $\mathcal{S} = \{(5 - 5t\,;\ 3t - 2\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}$.

Exemple 14 (deux paramètres). Dans $\left\{\begin{array}{rcl} x - y + 2z & = & 1 \\ 2x - 2y + 4z & = & 2 \\ -x + y - 2z & = & -1 \end{array}\right.$, on a $L_2 = 2L_1$ et $L_3 = -L_1$ : les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ donnent $0 = 0$ deux fois. Il reste une seule équation, $x = 1 + y - 2z$. En posant $y = s$ et $z = t$ : $\mathcal{S} = \{(1 + s - 2t\,;\ s\,;\ t),\ s \in \mathbb{R},\ t \in \mathbb{R}\}$.

4.5 Bilan

Propriété. Un système linéaire a soit aucune solution, soit une seule, soit une infinité. Il ne peut pas en avoir exactement deux.

Justification. Si $(x_1\,;y_1\,;z_1)$ et $(x_2\,;y_2\,;z_2)$ sont deux solutions distinctes, alors pour tout réel $t$, le triplet $\big(x_1 + t(x_2 - x_1)\,;\ y_1 + t(y_2 - y_1)\,;\ z_1 + t(z_2 - z_1)\big)$ est encore solution : dans chaque ligne $ax + by + cz = d$, on obtient $d + t(d - d) = d$. Cela fait une infinité de solutions.