Devoir sur 20 : Systèmes linéaires

Séries S1, S3 et S1A. Devoir d'une heure, sur 20 points. Dans l'exercice 2, l'espace est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\vec i, \vec j, \vec k)$ . Calculatrice non nécessaire. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (5 points)

Résoudre par la méthode de Cramer le système $\left\{\begin{array}{rcl} 4x - 3y & = & 5 \\ 2x + 5y & = & -17 \end{array}\right.$ (2 points)
Pour tout réel $m$ , on considère $(S_m) : \left\{\begin{array}{rcl} x + my & = & 2 \\ mx + 4y & = & 4 \end{array}\right.$
a. Calculer le déterminant de $(S_m)$ . (0,5 point)
b. Pour quelles valeurs de $m$ le système a-t-il une unique solution ? La calculer. (1,5 point)
c. Résoudre $(S_2)$ et $(S_{-2})$ , et interpréter géométriquement. (1 point)

Exercice 2 (9 points)

On considère le système $(S) : \left\{\begin{array}{rcl} x + y + 2z & = & 5 \\ 2x - y + z & = & 1 \\ 3x + y - z & = & 4 \end{array}\right.$

Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot de Gauss, en écrivant les opérations faites. (3 points)
Calculer le déterminant de $(S)$ comme un produit mixte, et retrouver que $(S)$ a une unique solution. (1,5 point)
Interpréter géométriquement le résultat. (0,5 point)
On remplace la troisième équation par $4x + y + 5z = k$ , où $k$ est un réel. On obtient le système $(S'_k)$ .
a. Sans calculer de produit mixte, montrer que le déterminant de $(S'_k)$ est nul. (1 point)
b. Montrer, par la méthode de Gauss, que $(S'_k)$ équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + 2z & = & 5 \\ y + z & = & 3 \\ 0 & = & k - 11 \end{array}\right.$ (1,5 point)
c. Résoudre $(S'_k)$ selon les valeurs de $k$ , et décrire dans chaque cas la position des trois plans. (1,5 point)

Exercice 3 (6 points), situation simplifiée

Un vendeur prépare $30$ litres d'une boisson en mélangeant du jus de bissap, du jus de bouye (pain de singe) et du jus de gingembre. Ces jus lui coûtent $600$ F, $900$ F et $700$ F le litre (prix inventés). Le mélange lui revient à $21\,400$ F, et il contient $2$ litres de bissap de plus que de gingembre.

On note $b$ , $u$ , $g$ les volumes, en litres, de jus de bissap, de bouye et de gingembre. Écrire un système de trois équations vérifié par $b$ , $u$ , $g$ . (2 points)
Résoudre ce système et donner la composition du mélange. (3 points)
Le vendeur vend toute la boisson à $1\,000$ F le litre. Quel est son bénéfice ? (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (2 pts) (0,5 pt) $\Delta = 4 \times 5 - 2 \times (-3) = 26 \neq 0$ . (1 pt) $\Delta_x = 5 \times 5 - (-17) \times (-3) = 25 - 51 = -26$ , $\Delta_y = 4 \times (-17) - 2 \times 5 = -78$ , donc $x = -1$ et $y = -3$ . (0,5 pt) Contrôle : $-4 + 9 = 5$ et $-2 - 15 = -17$ . Solution $(-1\,;-3)$ .

2.a. (0,5 pt) $\Delta = 1 \times 4 - m \times m = 4 - m^2 = (2 - m)(2 + m)$ .

2.b. (1,5 pt) (0,5 pt) Unique solution si, et seulement si, $m \neq 2$ et $m \neq -2$ . (1 pt) $\Delta_x = 2 \times 4 - 4 \times m = 4(2 - m)$ et $\Delta_y = 1 \times 4 - m \times 2 = 2(2 - m)$ , donc $x = \frac{4}{m + 2} \qquad\text{et}\qquad y = \frac{2}{m + 2}.$

2.c. (1 pt) (0,5 pt) $(S_2)$ : $x + 2y = 2$ et $2x + 4y = 4 = 2 \times 2$ : droites confondues, une infinité de solutions $(2 - 2t\,;t)$ , $t$ réel. (0,5 pt) $(S_{-2})$ : $x - 2y = 2$ et $-2x + 4y = 4$ ; $L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1$ donne $0 = 8$ : aucune solution, droites parallèles et distinctes.

Exercice 2

1. (3 pts) (1 pt) $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $-3y - 3z = -9$ , simplifiée en $y + z = 3$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ : $-2y - 7z = -11$ . (1 pt) $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$ : $-5z = -5$ . (1 pt) Donc $z = 1$ , $y = 2$ , $x = 5 - 2 - 2 = 1$ ; contrôle : $1 + 2 + 2 = 5$ , $2 - 2 + 1 = 1$ , $3 + 2 - 1 = 4$ . Solution $(1\,;2\,;1)$ .

2. (1,5 pt) (1 pt) $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1\,;1\,;2) \wedge (2\,;-1\,;1) = \big(1 \times 1 - 2 \times (-1)\,;\ 2 \times 2 - 1 \times 1\,;\ 1 \times (-1) - 1 \times 2\big) = (3\,;3\,;-3)$ , puis $\Delta = (3\,;3\,;-3) \cdot (3\,;1\,;-1) = 9 + 3 + 3 = 15$ . (0,5 pt) $\Delta \neq 0$ : unique solution.

3. (0,5 pt) Les trois plans d'équations données se coupent en un seul point, $A(1\,;2\,;1)$ .

4.a. (1 pt) $(4\,;1\,;5) = 2\,(1\,;1\,;2) + (2\,;-1\,;1)$ : $\vec n_3 = 2\,\vec n_1 + \vec n_2$ , les trois vecteurs normaux sont coplanaires, donc le déterminant est nul.

4.b. (1,5 pt) (0,5 pt) Comme au 1., $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ puis $L_2 \leftarrow -\frac13 L_2$ donnent $y + z = 3$ . (0,5 pt) $L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1$ donne $-3y - 3z = k - 20$ . (0,5 pt) $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ donne $0 = k - 20 + 9 = k - 11$ .

4.c. (1,5 pt) (0,5 pt) Si $k \neq 11$ : aucune solution. Aucun vecteur normal n'est colinéaire à un autre : les trois plans forment un prisme. (1 pt) Si $k = 11$ : on supprime la ligne $0 = 0$ , on pose $z = t$ , d'où $y = 3 - t$ et $x = 5 - (3 - t) - 2t = 2 - t$ . $\mathcal{S} = \{(2 - t\,;\ 3 - t\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}$ : les trois plans contiennent la même droite, qui passe par $(2\,;3\,;0)$ et qui est dirigée par $(-1\,;-1\,;1)$ .

Exercice 3

1. (2 pts) (0,5 pt) Volume : $b + u + g = 30$ . (1 pt) Coût : $600b + 900u + 700g = 21\,400$ , soit $6b + 9u + 7g = 214$ . (0,5 pt) Bissap : $b = g + 2$ , soit $b - g = 2$ .

2. (3 pts) (1 pt) $L_2 \leftarrow L_2 - 6L_1$ : $3u + g = 34$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $-u - 2g = -28$ . (1 pt) $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ : $-5g = -50$ , donc $g = 10$ , puis $u = \frac{34 - 10}{3} = 8$ et $b = 12$ . (1 pt) Contrôle : $12 + 8 + 10 = 30$ , $7\,200 + 7\,200 + 7\,000 = 21\,400$ , $12 - 10 = 2$ . Le mélange contient $12$ L de bissap, $8$ L de bouye et $10$ L de gingembre.

3. (1 pt) Recette : $30 \times 1\,000 = 30\,000$ F ; bénéfice : $30\,000 - 21\,400 = 8\,600$ F.

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1	O1 Résoudre un système de deux équations par la méthode de Cramer
Ex. 1, 2	O2 Interpréter géométriquement ; O11 discuter un système à paramètre
Ex. 2, 1	O3 et O4 Opérations sur les lignes, méthode du pivot de Gauss
Ex. 2, 2	O10 Calculer le déterminant d'un système de trois équations
Ex. 2, 3 et 4.c	O8 et O9 Interpréter géométriquement : intersection de trois plans
Ex. 2, 4.a	O10 Reconnaître un déterminant nul
Ex. 2, 4.b et 4.c	O5 et O6 Reconnaître un système impossible ou indéterminé, exprimer les solutions avec un paramètre
Ex. 3	O12 Mettre un problème en équations, résoudre, vérifier et conclure