Interprétation géométrique : intersection de plans

5.1 Une équation, un plan

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On sait depuis la Première que l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $ax + by + cz = d$, avec $(a\,;b\,;c) \neq (0\,;0\,;0)$, est un plan, de vecteur normal $\vec n\,(a\,;b\,;c)$. Chaque ligne d'un système à trois inconnues est donc l'équation d'un plan, et :

Résoudre un système de trois équations à trois inconnues, c'est chercher les points communs à trois plans.

5.2 Deux plans

Deux plans $P_1$ et $P_2$, de vecteurs normaux $\vec n_1$ et $\vec n_2$ :

• si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants suivant une droite, dirigée par $\vec n_1 \wedge \vec n_2$ (chapitre 12) ;
• si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont colinéaires, les plans sont parallèles : distincts (aucun point commun) ou confondus.

Exemple 15. Les plans $x + 2y - z = 1$ et $2x + 3y + z = 4$ de l'exemple 13 ont pour vecteurs normaux $\vec n_1\,(1\,;2\,;-1)$ et $\vec n_2\,(2\,;3\,;1)$, non colinéaires. Ils se coupent suivant la droite formée des points $(5 - 5t\,;\ 3t - 2\,;\ t)$ : elle passe par $(5\,;-2\,;0)$ et elle est dirigée par $\vec u\,(-5\,;3\,;1)$. On retrouve bien un vecteur colinéaire à $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (5\,;-3\,;-1) = -\vec u$.

5.3 Trois plans

Trois plans $P_1$, $P_2$, $P_3$ peuvent avoir :

5.4 Le critère du produit mixte

Propriété. Trois plans de vecteurs normaux $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec n_3$ ont un unique point commun si, et seulement si, $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] \neq 0$, c'est-à-dire si les vecteurs normaux ne sont pas coplanaires.

Démonstration.

• Si $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont colinéaires, $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = \vec 0$, donc $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 0$. Les plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles : ou bien ils n'ont aucun point commun, ou bien ils sont confondus, et alors les points communs aux trois plans sont ceux de $P_1 \cap P_3$, qui n'est jamais réduit à un point (c'est un plan, une droite ou l'ensemble vide).
• Sinon, $P_1 \cap P_2$ est une droite $D$ dirigée par $\vec w = \vec n_1 \wedge \vec n_2$. Une droite coupe un plan en un seul point si, et seulement si, son vecteur directeur n'est pas orthogonal au vecteur normal du plan. Donc $D$ coupe $P_3$ en un seul point si, et seulement si, $\vec w \cdot \vec n_3 \neq 0$, c'est-à-dire $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] \neq 0$. Dans le cas contraire, $D$ est parallèle à $P_3$ : elle est contenue dans $P_3$ (une droite de solutions) ou elle ne le rencontre pas (aucune solution).

Exemple 16. Les trois plans de l'exemple 9 ont pour vecteurs normaux $\vec n_1\,(1\,;1\,;1)$, $\vec n_2\,(2\,;-1\,;1)$, $\vec n_3\,(1\,;2\,;-1)$. On a $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (2\,;1\,;-3)$, puis $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 2 + 2 + 3 = 7 \neq 0$ : les trois plans se coupent en un seul point, $A(1\,;2\,;3)$.

Exemple 17. Dans les exemples 11 et 12, les vecteurs normaux sont $\vec n_1\,(1\,;1\,;1)$, $\vec n_2\,(1\,;-1\,;3)$ et $\vec n_3\,(2\,;0\,;4) = \vec n_1 + \vec n_2$ : ils sont coplanaires, et $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 0$. Deux à deux, ils ne sont pas colinéaires : les plans se coupent deux à deux suivant des droites, toutes dirigées par $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (4\,;-2\,;-2)$, donc parallèles. Dans l'exemple 11, les trois plans contiennent une même droite (un livre ouvert) ; dans l'exemple 12, ils forment un prisme et n'ont aucun point commun.

Exemple 18. Les plans $x + y + z = 1$ et $2x + 2y + 2z = 5$ sont parallèles et distincts (vecteurs normaux colinéaires, et $L_2 - 2L_1$ donne $0 = 3$). Quel que soit le troisième plan, le système n'a aucune solution.