Déterminant d'un système, systèmes à paramètre

6.1 Déterminant d'un système de trois équations

Définition. Le déterminant du système $\left\{\begin{array}{rcl} ax + by + cz & = & d \\ a'x + b'y + c'z & = & d' \\ a''x + b''y + c''z & = & d'' \end{array}\right.$ est le produit mixte des vecteurs formés par les coefficients de chaque ligne, $\vec n_1\,(a\,;b\,;c)$, $\vec n_2\,(a'\,;b'\,;c')$ et $\vec n_3\,(a''\,;b''\,;c'')$ : $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \\ a'' & b'' & c'' \end{vmatrix} = [\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = (\vec n_1 \wedge \vec n_2) \cdot \vec n_3.$

Théorème. Le système a une unique solution si, et seulement si, $\Delta \neq 0$. Si $\Delta = 0$, il a soit aucune solution, soit une infinité ; la méthode de Gauss permet de trancher.

C'est la propriété de la leçon 5, écrite avec les coefficients : les vecteurs $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec n_3$ sont les vecteurs normaux des trois plans.

6.2 Le calcul

On calcule d'abord $\vec n_1 \wedge \vec n_2$ (méthode « cacher une ligne » du chapitre 12), puis son produit scalaire avec $\vec n_3$. En développant, on obtient $\Delta = (bc' - cb')\,a'' + (ca' - ac')\,b'' + (ab' - ba')\,c'' = ab'c'' + bc'a'' + ca'b'' - cb'a'' - ac'b'' - ba'c''.$

Remarque. Les six produits de cette somme sont aussi ceux qu'on obtient avec les colonnes des coefficients $(a\,;a'\,;a'')$, $(b\,;b'\,;b'')$, $(c\,;c'\,;c'')$ : on peut calculer $\Delta$ avec les lignes ou avec les colonnes, on trouve le même nombre. C'était déjà le cas à l'ordre deux : $ab' - a'b$ se lit aussi bien sur les lignes que sur les colonnes.

Exemple 19. Pour le système de l'exemple 9, $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1 \times 1 - 1 \times (-1)\,;\ 1 \times 2 - 1 \times 1\,;\ 1 \times (-1) - 1 \times 2) = (2\,;1\,;-3)$, et $\Delta = 2 \times 1 + 1 \times 2 + (-3) \times (-1) = 7$. Comme $\Delta \neq 0$, le système a une unique solution, celle trouvée par la méthode de Gauss.

Cas où $\Delta = 0$ sans calcul. Si deux lignes ont des coefficients proportionnels, ou si les coefficients d'une ligne sont la somme de ceux des deux autres (plus généralement une combinaison), les vecteurs $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec n_3$ sont coplanaires et $\Delta = 0$.

6.3 Systèmes à paramètre

Quand les coefficients dépendent d'un paramètre $m$, on calcule $\Delta$ en fonction de $m$. Pour les valeurs de $m$ qui annulent $\Delta$, on reprend la méthode de Gauss avec cette valeur. On se limite ici à des exemples simples.

Exemple 20. Pour tout réel $m$, on considère $(S_m) : \left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ x + 2y + 3z & = & 6 \\ 2x + 3y + mz & = & 10 \end{array}\right.$

• Déterminant. $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1 \times 3 - 1 \times 2\,;\ 1 \times 1 - 1 \times 3\,;\ 1 \times 2 - 1 \times 1) = (1\,;-2\,;1)$, donc $\Delta = 2 - 6 + m = m - 4$.
• Méthode de Gauss. $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ donne $y + 2z = 3$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donne $y + (m - 2)z = 4$ ; puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $(m - 4)\,z = 1$.
• Si $m \neq 4$ : $z = \dfrac{1}{m - 4}$, puis $y = 3 - 2z = \dfrac{3m - 14}{m - 4}$, puis $x = 3 - y - z = \dfrac{1}{m - 4}$. Unique solution $\left(\dfrac{1}{m - 4}\,;\ \dfrac{3m - 14}{m - 4}\,;\ \dfrac{1}{m - 4}\right)$. Par exemple, pour $m = 5$, la solution est $(1\,;1\,;1)$.
• Si $m = 4$ : la dernière ligne devient $0 = 1$ : le système n'a aucune solution. Géométriquement, $\vec n_3\,(2\,;3\,;4) = \vec n_1 + \vec n_2$ : les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, et forment un prisme.

6.4 Complément (non exigible) : les formules de Cramer à l'ordre trois

Écrivons le système avec les colonnes de coefficients $\vec c_1\,(a\,;a'\,;a'')$, $\vec c_2\,(b\,;b'\,;b'')$, $\vec c_3\,(c\,;c'\,;c'')$ et la colonne des seconds membres $\vec b\,(d\,;d'\,;d'')$ : il s'écrit $x\,\vec c_1 + y\,\vec c_2 + z\,\vec c_3 = \vec b$, et $\Delta = [\vec c_1, \vec c_2, \vec c_3]$ d'après la remarque du 6.2. Si $(x\,;y\,;z)$ est solution, le produit mixte, qui se développe comme une somme, donne $[\vec b, \vec c_2, \vec c_3] = x\,[\vec c_1, \vec c_2, \vec c_3] + y\,[\vec c_2, \vec c_2, \vec c_3] + z\,[\vec c_3, \vec c_2, \vec c_3] = x\,\Delta,$ car un produit mixte qui contient deux fois le même vecteur est nul. Donc, si $\Delta \neq 0$ : $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z = \frac{\Delta_z}{\Delta},$ où $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$ s'obtiennent en remplaçant dans $\Delta$ la colonne des coefficients de $x$, de $y$ ou de $z$ par celle des seconds membres. C'est la méthode de Cramer de Seconde, prolongée à trois inconnues. Elle demande quatre déterminants : pour un système numérique, la méthode de Gauss est en général plus rapide.

Exemple 21. Pour le système de l'exemple 9, $\Delta = 7$ et $\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 14, \qquad \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 21.$ On retrouve $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$.