Systèmes linéaires

1. Question 1 sur 20Le déterminant du système formé par $3x + 2y = 1$ et $4x - y = 5$ est

   A $-11$ B $5$ C $11$ D $-5$

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   Réponse A. $\Delta = 3 \times (-1) - 4 \times 2 = -3 - 8 = -11$ . La réponse C oublie un signe.

2. Question 2 sur 20La solution du système formé par $x + 2y = 5$ et $3x - y = 1$ est

   A $(2\,;1)$ B $(1\,;2)$ C $(-1\,;3)$ D $(3\,;1)$

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   Réponse B. $\Delta = -1 - 6 = -7$ , $\Delta_x = -5 - 2 = -7$ , $\Delta_y = 1 - 15 = -14$ : $x = 1$ et $y = 2$ . Les couples C et D vérifient la première équation, mais pas la seconde.

3. Question 3 sur 20Un système de deux équations à deux inconnues a un déterminant nul, et l'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $0 = 4$ . Les deux droites associées sont

   A sécantes B confondues C parallèles et distinctes D perpendiculaires

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   Réponse C. Le déterminant nul indique des droites parallèles ; l'égalité impossible $0 = 4$ montre qu'elles n'ont aucun point commun.

4. Question 4 sur 20Laquelle de ces opérations ne transforme pas toujours un système en un système équivalent ?

   A $L_1 \leftrightarrow L_3$ B $L_2 \leftarrow L_2 + 5L_1$ C $L_3 \leftarrow -2L_3$ D $L_2 \leftarrow 0 \times L_2$

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   Réponse D. Multiplier une ligne par $0$ efface l'information qu'elle portait. Les trois autres opérations sont des opérations élémentaires.

5. Question 5 sur 20La solution du système triangulaire formé par $x + y + z = 6$ , $y - z = -1$ et $3z = 9$ est

   A $(3\,;2\,;1)$ B $(2\,;1\,;3)$ C $(1\,;2\,;3)$ D $(1\,;-4\,;3)$

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   Réponse C. $z = 3$ , puis $y = -1 + 3 = 2$ , puis $x = 6 - 2 - 3 = 1$ . La réponse D vient d'une erreur de signe sur $y$ .

6. Question 6 sur 20Dans un système où $L_1 : x + y - z = 2$ et $L_2 : 3x - y + 2z = 1$ , l'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ donne

   A $-4y + 5z = -5$ B $-4y - z = -5$ C $2y + 5z = -5$ D $-4y + 5z = 7$

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   Réponse A. $(3x - y + 2z) - (3x + 3y - 3z) = -4y + 5z$ et $1 - 6 = -5$ .

7. Question 7 sur 20Pour le système $x + y + z = 3$ , $2x + 3y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donnent

   A $y - z = 0$ et $-2y + z = 3$ B $y - z = 0$ et $-2y + z = -3$ C $y + 3z = 0$ et $-2y + z = -3$ D $5y + 3z = 12$ et $-2y + z = -3$

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   Réponse B. $(2x + 3y + z) - (2x + 2y + 2z) = y - z$ et $6 - 6 = 0$ ; $(x - y + 2z) - (x + y + z) = -2y + z$ et $0 - 3 = -3$ .

8. Question 8 sur 20La solution du système de la question 7 est

   A $(3\,;3\,;-3)$ B $(1\,;1\,;1)$ C $(-3\,;3\,;3)$ D $(0\,;3\,;0)$

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   Réponse C. $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$ donne $-z = -3$ : $z = 3$ , $y = z = 3$ , $x = 3 - 3 - 3 = -3$ . Le triplet B vérifie les deux premières équations, mais pas la troisième ( $1 - 1 + 2 = 2 \neq 0$ ).

9. Question 9 sur 20Dans la méthode de Gauss, le coefficient de $x$ dans $L_1$ est nul. Que fait-on ?

   A on échange $L_1$ avec une ligne où le coefficient de $x$ n'est pas nul B on conclut que le système est impossible C on pose $x = 0$ D on supprime $L_1$

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   Réponse A. Un pivot nul ne permet pas d'éliminer $x$ : on échange deux lignes, ce qui donne un système équivalent.

10. Question 10 sur 20Pendant la méthode de Gauss, on obtient la ligne $0 = 5$ . Le système

    A a une unique solution B a une infinité de solutions C a pour solution $(0\,;0\,;0)$ D n'a aucune solution

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    Réponse D. L'égalité $0 = 5$ est fausse quelles que soient les valeurs de $x$ , $y$ , $z$ : le système est impossible.

11. Question 11 sur 20Le système formé par $x + y + z = 2$ et $y - z = 1$ a pour ensemble de solutions

    A $\{(1 + 2t\,;\ 1 + t\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}$ B $\{(1\,;1\,;0)\}$ C $\varnothing$ D $\{(1 - 2t\,;\ 1 + t\,;\ t),\ t \in \mathbb{R}\}$

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    Réponse D. Avec $z = t$ : $y = 1 + t$ , puis $x = 2 - (1 + t) - t = 1 - 2t$ . Le triplet B est l'une des solutions ( $t = 0$ ), mais pas la seule.

12. Question 12 sur 20Un système linéaire de trois équations à trois inconnues a deux solutions distinctes. Alors il a

    A exactement deux solutions B une infinité de solutions C exactement trois solutions D une seule solution

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    Réponse B. Un système linéaire a aucune, une seule ou une infinité de solutions : avec deux solutions, tous les points de la droite qui les joint sont aussi solutions.

13. Question 13 sur 20L'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $x - 2y + 3z = 4$ est

    A une droite de vecteur directeur $(1\,;-2\,;3)$ B un plan de vecteur normal $(1\,;-2\,;3)$ C un plan de vecteur normal $(-2\,;3\,;4)$ D une sphère

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    Réponse B. Une équation $ax + by + cz = d$ , avec $(a\,;b\,;c) \neq (0\,;0\,;0)$ , est celle d'un plan de vecteur normal $(a\,;b\,;c)$ .

14. Question 14 sur 20Les plans d'équations $x + y + z = 1$ et $3x + 3y + 3z = 2$ sont

    A sécants B confondus C parallèles et distincts D perpendiculaires

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    Réponse C. Les vecteurs normaux sont colinéaires, et $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ donne $0 = -1$ : aucun point commun.

15. Question 15 sur 20Trois plans ont des vecteurs normaux tels que $[\vec n_1, \vec n_2, \vec n_3] = 4$ . Ces trois plans

    A ont un unique point commun B sont parallèles C contiennent une même droite D n'ont aucun point commun

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    Réponse A. Un produit mixte non nul signifie que les vecteurs normaux ne sont pas coplanaires : les trois plans se coupent en un seul point.

16. Question 16 sur 20Le déterminant du système formé par $x + y = 1$ , $y + z = 2$ et $x + z = 3$ est

    A $0$ B $1$ C $-2$ D $2$

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    Réponse D. $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1\,;1\,;0) \wedge (0\,;1\,;1) = (1\,;-1\,;1)$ , et $(1\,;-1\,;1) \cdot (1\,;0\,;1) = 2$ .

17. Question 17 sur 20Le système formé par $x + y + z = 1$ , $x + 2y + z = 0$ et $x + y + mz = 2$ a une unique solution si, et seulement si

    A $m \neq 1$ B $m = 1$ C $m \neq 0$ D $m \neq 2$

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    Réponse A. $\vec n_1 \wedge \vec n_2 = (-1\,;0\,;1)$ , donc $\Delta = -1 + m = m - 1$ , non nul si, et seulement si, $m \neq 1$ .

18. Question 18 sur 20Dans un système de trois équations à trois inconnues, les coefficients de la troisième ligne sont la somme de ceux des deux premières. Le déterminant du système

    A dépend des seconds membres B est nul C vaut $1$ D vaut $3$

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    Réponse B. On a $\vec n_3 = \vec n_1 + \vec n_2$ : les trois vecteurs sont coplanaires et leur produit mixte est nul. Le déterminant ne dépend que des coefficients, pas des seconds membres.

19. Question 19 sur 20Dans une classe de $40$ élèves, il y a $6$ filles de plus que de garçons. Avec $f$ filles et $g$ garçons, on a

    A $f + g = 40$ et $g - f = 6$ B $f + g = 46$ et $f = 6g$ C $f + g = 40$ et $f - g = 6$ D $f - g = 40$ et $f + g = 6$

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    Réponse C. Le nombre total donne $f + g = 40$ , et « $6$ filles de plus » donne $f = g + 6$ . On trouve $f = 23$ et $g = 17$ .

20. Question 20 sur 20La courbe de $x \mapsto ax^2 + bx + c$ passe par $(0\,;1)$ , $(1\,;2)$ et $(-1\,;4)$ . Alors $a =$

    A $1$ B $3$ C $-1$ D $2$

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    Réponse D. $c = 1$ , puis $a + b = 1$ et $a - b = 3$ : en ajoutant, $2a = 4$ , donc $a = 2$ et $b = -1$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.