La méthode du pivot de Gauss

3.1 Le principe

La méthode du pivot de Gauss (du nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss) organise la méthode des combinaisons pour rendre triangulaire un système de trois équations à trois inconnues.

1. Premier pivot. On choisit une ligne où le coefficient de $x$ n'est pas nul, et on la place en $L_1$ (au besoin par un échange de lignes). Ce coefficient est le pivot. On choisit de préférence un pivot égal à $1$ ou $-1$.
2. Élimination de $x$. Avec $L_1$, on fait disparaître $x$ de $L_2$ et de $L_3$ : si le pivot vaut $a$ et si $x$ a pour coefficient $a'$ dans $L_2$, on fait $L_2 \leftarrow L_2 - \frac{a'}{a}\,L_1$, ou $L_2 \leftarrow a\,L_2 - a'\,L_1$ pour éviter les fractions. De même pour $L_3$.
3. Deuxième pivot. $L_2$ et $L_3$ ne contiennent plus que $y$ et $z$. On recommence avec elles : un pivot en $y$ dans $L_2$, puis on élimine $y$ de $L_3$. On ne touche plus à $L_1$.
4. Remontée. Le système est triangulaire : on calcule $z$, puis $y$, puis $x$.
5. Contrôle. On vérifie la solution dans les trois équations du système de départ.

3.2 Un exemple complet

Exemple 9. Résolvons $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \quad (L_1) \\ 2x - y + z & = & 3 \quad (L_2) \\ x + 2y - z & = & 2 \quad (L_3) \end{array}\right.$

Étape 1. Le pivot est le coefficient $1$ de $x$ dans $L_1$. Les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donnent $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ -3y - z & = & -9 \\ y - 2z & = & -4 \end{array}\right.$ Étape 2. Le pivot est le coefficient $-3$ de $y$ dans $L_2$. L'opération $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ élimine $y$ : $(3y - 6z) + (-3y - z) = -12 - 9$, soit $-7z = -21$. $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ -3y - z & = & -9 \\ -7z & = & -21 \end{array}\right.$ Étape 3. On remonte : $z = 3$ ; puis $-3y = -9 + 3 = -6$, donc $y = 2$ ; puis $x = 6 - 2 - 3 = 1$.

Contrôle. $1 + 2 + 3 = 6$ ; $2 - 2 + 3 = 3$ ; $1 + 4 - 3 = 2$. Le système a l'unique solution $(1\,;2\,;3)$.

Remarque. À l'étape 2, on aurait aussi pu échanger $L_2$ et $L_3$ pour prendre le pivot $1$ ; on arrive au même résultat.

3.3 Pivot nul : on échange deux lignes

Si le coefficient de $x$ est nul dans $L_1$, on échange $L_1$ avec une ligne où il ne l'est pas. De même à l'étape 2 pour $y$.

Exemple 10. $\left\{\begin{array}{rcl} 2y - z & = & 1 \\ x + y + z & = & 4 \\ 2x - y + 3z & = & 7 \end{array}\right.$ La première ligne ne contient pas $x$ : on fait $L_1 \leftrightarrow L_2$. Puis $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donne $-3y + z = -1$, et le système devient $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 4 \\ 2y - z & = & 1 \\ -3y + z & = & -1 \end{array}\right.$ L'opération $L_3 \leftarrow 2L_3 + 3L_2$ donne $-z = 1$, donc $z = -1$ ; puis $2y = 1 + z = 0$, donc $y = 0$ ; puis $x = 4 - 0 + 1 = 5$. Contrôle dans la troisième équation de départ : $10 - 0 - 3 = 7$. La solution est $(5\,;0\,;-1)$.

3.4 Conseils

• Écris à chaque étape l'opération faite, à droite de la ligne modifiée.
• Garde les lignes alignées : les $x$ sous les $x$, les $y$ sous les $y$, les $z$ sous les $z$.
• Préfère les combinaisons sans fraction, comme $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$.
• Vérifie toujours la solution dans le système de départ : une erreur de calcul dans une étape intermédiaire ne se voit pas autrement.