Triangles semblables

7.1 Triangles directement semblables

Deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ (non aplatis) sont directement semblables s'il existe une similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$, $s(B) = B'$ et $s(C) = C'$. L'ordre des sommets compte.

Théorème 12 (critères). Les propriétés suivantes sont équivalentes.

1. $ABC$ et $A'B'C'$ sont directement semblables.
2. Un angle orienté égal, compris entre des côtés proportionnels : $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}\big)\ [2\pi]$ et $\dfrac{A'C'}{A'B'} = \dfrac{AC}{AB}$.
3. Deux angles orientés égaux : $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}\big)$ et $\big(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}\big) = \big(\overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'A'}\big)\ [2\pi]$.
4. En complexes : $\dfrac{z_{C'} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}} = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.

Démonstration. Soit $s$ l'unique similitude directe telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$, et $C'' = s(C)$. Elle conserve les quotients : $\frac{z_{C''} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.

• (1) équivaut à $C'' = C'$, c'est-à-dire à (4) ; (4) équivaut à (2), qui dit que les deux quotients ont même module et même argument.
• (1) entraîne (3), car $s$ conserve les angles orientés. Si (3) est vraie, $C''$ et $C'$ sont tous deux sur la demi-droite d'origine $A'$ qui fait l'angle $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big)$ avec $\overrightarrow{A'B'}$, et sur la demi-droite d'origine $B'$ qui fait l'angle $\big(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}\big)$ avec $\overrightarrow{B'A'}$. Ces deux demi-droites ne sont pas portées par une même droite, donc elles ont au plus un point commun : $C'' = C'$.

7.2 Triangles semblables

Deux triangles sont semblables (« de même forme ») si leurs angles géométriques sont égaux deux à deux : $\widehat{A} = \widehat{A'}$, $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$. On admet les critères suivants, connus depuis le collège : deux triangles sont semblables si et seulement si

• ils ont deux angles égaux deux à deux ; ou
• leurs trois côtés sont proportionnels : $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'A'}{CA}$ ; ou
• ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels.

Deux triangles semblables sont soit directement semblables, soit images l'un de l'autre par une réflexion suivie d'une similitude directe (ils ont alors des angles orientés opposés).

7.3 Utiliser des triangles semblables

Exemple 19 (triangle rectangle et hauteur). $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ et $AC = 8$, donc $BC = 10$. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.

• Les triangles $HBA$ et $ABC$ ont l'angle $\widehat{B}$ en commun et un angle droit (en $H$ et en $A$) : ils sont semblables, et $\dfrac{BH}{BA} = \dfrac{BA}{BC}$, d'où $AB^2 = BH \times BC$ et $BH = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$. De même $AC^2 = CH \times CB$, d'où $CH = 6{,}4$.
• Les triangles $HBA$ et $HAC$ sont semblables (même raisonnement), d'où $AH^2 = HB \times HC = 3{,}6 \times 6{,}4 = 23{,}04$ et $AH = 4{,}8$.
• Orientation. Dans le repère $A(0\,;0)$, $B(6\,;0)$, $C(0\,;8)$, on trouve $H\left(\frac{96}{25}\,;\frac{72}{25}\right)$ et $\dfrac{z_A - z_H}{z_B - z_H} = \dfrac{z_C - z_H}{z_A - z_H} = -\dfrac{4}{3}i$ : $HBA$ et $HAC$ sont directement semblables, par la similitude de centre $H$, de rapport $\frac43$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$. En revanche $ABC$ et $HBA$ sont semblables, mais pas directement.

Exemple 20 (deux cordes qui se coupent). Deux cordes $[AB]$ et $[CD]$ d'un cercle se coupent en un point $P$ intérieur au cercle. Les angles $\widehat{APC}$ et $\widehat{DPB}$ sont opposés par le sommet, et les angles inscrits $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BDC}$ interceptent le même arc : les triangles $PAC$ et $PDB$ sont semblables, d'où $\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}$, soit $PA \times PB = PC \times PD.$ Si $PA = 2$, $PB = 6$ et $PC = 3$, alors $PD = 4$.

Exemple 21 (un lieu géométrique). Dans le plan complexe, $B(1)$ et $C(1 + i)$. Un point $M$ décrit le cercle $\Gamma$ de centre $I(3)$ et de rayon $1$, et $N$ est le point tel que $OMN$ soit directement semblable à $OBC$. Alors $N = s(M)$, où $s$ est la similitude de centre $O$, de rapport $\frac{OC}{OB} = \sqrt2$ et d'angle $\big(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\big) = \frac{\pi}{4}$, soit $s : z \mapsto (1 + i)z$. Le point $N$ décrit l'image de $\Gamma$ : le cercle de centre $s(I) = 3 + 3i$ et de rayon $\sqrt2$.