Cours : Géométrie plane, Terminale S1

Ce chapitre rassemble la géométrie plane de Terminale S1 : les calculs barycentriques, les applications affines, la cocyclicité, les isométries et les similitudes directes. On utilise librement ce qui a été vu avant :

en Seconde : barycentre de deux ou trois points, angle inscrit et angle au centre, quadrilatères inscriptibles, homothéties et rotations ;
en Première S1 : barycentre de plus de trois points, produit scalaire, lignes de niveau de $MA^2 + MB^2$ ou $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ , angles orientés et arc capable, isométries, déplacements et antidéplacements, décomposition d'une translation ou d'une rotation en deux réflexions ;
au chapitre 7 : l'écriture complexe $z' = az + b$ d'une similitude directe, son centre $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$ , son rapport $|a|$ et son angle $\arg a$ .

Notations. Le plan est orienté. Quand on calcule, on le munit d'un repère orthonormé direct $(O\,;\vec i, \vec j)$ , ou du plan complexe. Un angle orienté de vecteurs est noté $\big(\vec u, \vec v\big)$ et ses mesures sont données en radians : « $= \alpha\ [2\pi]$ » signifie « égal à $\alpha$ à un multiple de $2\pi$ près ». On note $t_{\vec u}$ la translation de vecteur $\vec u$ , $r(\Omega, \theta)$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ , $h(\Omega, k)$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ , $s_D$ la réflexion (symétrie orthogonale) d'axe $D$ . La composée $g \circ f$ consiste à appliquer $f$ , puis $g$ .

Leçon 1 : Barycentres et réduction d'une somme de vecteurs

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Rappels sur le barycentre

Soit $(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)$ des points pondérés, avec $\alpha = \alpha_1 + \dots + \alpha_n \neq 0$ . Il existe un unique point $G$ tel que $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i} = \vec 0.$ C'est le barycentre des points pondérés ; on écrit $G = \mathrm{bar}\{(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$ .

Position. Pour tout point $O$ : $\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{\alpha}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$ . En coordonnées : $x_G = \dfrac{\sum \alpha_i x_i}{\alpha}$ et $y_G = \dfrac{\sum \alpha_i y_i}{\alpha}$ .
Homogénéité. On ne change pas le barycentre en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul.
Associativité (barycentres partiels). Si $\alpha_1 + \alpha_2 \neq 0$ et $H = \mathrm{bar}\{(A_1, \alpha_1), (A_2, \alpha_2)\}$ , alors $G = \mathrm{bar}\{(H, \alpha_1 + \alpha_2), (A_3, \alpha_3), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$ .
Quand tous les coefficients sont égaux, $G$ est l'isobarycentre ; pour trois points, c'est le centre de gravité du triangle.

1.2 Réduction de $\sum \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$

À tout point $M$ du plan, on associe le vecteur $\vec f(M) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}.$

Théorème 1.

Si $\alpha = \sum \alpha_i \neq 0$ et si $G$ est le barycentre des $(A_i, \alpha_i)$ , alors, pour tout point $M$ : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i} = \alpha\,\overrightarrow{MG}$ .
Si $\alpha = 0$ , le vecteur $\vec f(M)$ ne dépend pas de $M$ : pour tout point $O$ , $\vec f(M) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$ .

Démonstration. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{MA_i} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA_i}$ pour tout point $O$ , donc $\vec f(M) = \Big(\sum \alpha_i\Big)\overrightarrow{MO} + \sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i} = \alpha\,\overrightarrow{MO} + \sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}.$ Si $\alpha = 0$ , il reste $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$ , qui ne dépend pas de $M$ . Si $\alpha \neq 0$ , on prend $O = G$ : $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i} = \vec 0$ , donc $\vec f(M) = \alpha\,\overrightarrow{MG}$ .

L'écriture $\alpha\,\overrightarrow{MG}$ est la forme réduite : une somme de $n$ vecteurs qui dépendent de $M$ devient un seul vecteur.

1.3 Utiliser la forme réduite

Exemple 1 (un ensemble de points). Dans un repère orthonormé, $A(-2\,;0)$ , $B(4\,;0)$ et $C(1\,;6)$ . On cherche l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que $\big\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\big\| = 8$ .

La somme des coefficients vaut $1 + 1 + 2 = 4 \neq 0$ . Le barycentre $G$ de $(A, 1)$ , $(B, 1)$ , $(C, 2)$ a pour coordonnées $x_G = \dfrac{-2 + 4 + 2}{4} = 1$ et $y_G = \dfrac{0 + 0 + 12}{4} = 3$ : $G(1\,;3)$ .

Par le théorème 1, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = 4\,\overrightarrow{MG}$ , donc la condition s'écrit $4MG = 8$ , soit $MG = 2$ .

$\Gamma$ est le cercle de centre $G(1\,;3)$ et de rayon $2$ .

Exemple 2 (un vecteur constant). Avec les mêmes points, la somme des coefficients de $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}$ est nulle. En prenant $O = C$ : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\,\overrightarrow{CI},$ où $I$ est le milieu de $[AB]$ . Ici $I(1\,;0)$ et $2\,\overrightarrow{CI}$ a pour coordonnées $(0\,;-12)$ , quel que soit $M$ .

Exemple 3 (un cercle de diamètre donné). Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$ . L'ensemble des points $M$ tels que $\big\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\big\| = \big\|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\big\|$ :

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}$ (coefficients $1$ et $1$ ) ;

$\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}$ (coefficients $1$ et $-1$ , de somme nulle).

La condition s'écrit $2MI = AB$ , soit $MI = \dfrac{AB}{2}$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$ .

Exemple 4 (alignement par associativité). Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ et $G = \mathrm{bar}\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$ . Comme $I = \mathrm{bar}\{(B, 1), (C, 1)\}$ , l'associativité donne $G = \mathrm{bar}\{(A, 2), (I, 2)\}$ : $G$ est le milieu de $[AI]$ . En particulier, $A$ , $G$ et $I$ sont alignés.

Leçon 2 : Sommes de carrés de distances et lignes de niveau

Voir la vidéo de la leçon 2

On associe maintenant à tout point $M$ le nombre réel $f(M) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,MA_i^2.$ L'outil est le produit scalaire : $MA_i^2 = \overrightarrow{MA_i}^{\,2} = \overrightarrow{MA_i} \cdot \overrightarrow{MA_i}$ .

2.1 Cas où $\sum \alpha_i \neq 0$

Théorème 2. Si $\alpha = \sum \alpha_i \neq 0$ et si $G$ est le barycentre des $(A_i, \alpha_i)$ , alors, pour tout point $M$ : $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,MA_i^2 = \alpha\,MG^2 + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,GA_i^2.$

Démonstration. $MA_i^2 = \big(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA_i}\big)^2 = MG^2 + 2\,\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GA_i} + GA_i^2$ . En multipliant par $\alpha_i$ et en additionnant : $f(M) = \alpha\,MG^2 + 2\,\overrightarrow{MG} \cdot \Big(\sum \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i}\Big) + \sum \alpha_i\,GA_i^2,$ et le terme du milieu est nul, car $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i} = \vec 0$ .

Le nombre $\sum \alpha_i\,GA_i^2$ est une constante : $f(M)$ ne dépend que de la distance $MG$ .

Exemple 5 (deux points, coefficients égaux). $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $I(2\,;0)$ milieu de $[AB]$ . Avec $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$ , $G = I$ et $IA^2 + IB^2 = 4 + 4 = 8$ : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 8.$ L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 = 26$ vérifie $2MI^2 = 18$ , soit $MI = 3$ : c'est le cercle de centre $I$ et de rayon $3$ . Contrôle en coordonnées : $x^2 + y^2 + (x - 4)^2 + y^2 = 26$ équivaut à $(x - 2)^2 + y^2 = 9$ .

Exemple 6 (coefficients de signes contraires). $A(0\,;0)$ , $B(3\,;0)$ . Pour $2MA^2 - MB^2$ , la somme des coefficients vaut $1$ . Le barycentre $G$ de $(A, 2)$ et $(B, -1)$ a pour abscisse $\dfrac{2 \times 0 - 1 \times 3}{1} = -3$ : $G(-3\,;0)$ . Alors $GA = 3$ , $GB = 6$ et $2MA^2 - MB^2 = MG^2 + 2 \times 9 - 36 = MG^2 - 18.$ L'ensemble des points $M$ tels que $2MA^2 - MB^2 = 7$ est le cercle de centre $G(-3\,;0)$ et de rayon $5$ ( $MG^2 = 25$ ). Le point $M(2\,;0)$ en fait partie : $2 \times 4 - 1 = 7$ et $MG = 5$ .

2.2 Cas où $\sum \alpha_i = 0$

Théorème 3. Si $\sum \alpha_i = 0$ , le vecteur $\vec u = \sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$ ne dépend pas du point $O$ (théorème 1) et, pour tout point $M$ : $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,MA_i^2 = 2\,\overrightarrow{MO} \cdot \vec u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,OA_i^2.$

Démonstration. $MA_i^2 = \big(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA_i}\big)^2 = MO^2 + 2\,\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OA_i} + OA_i^2$ . En multipliant par $\alpha_i$ et en additionnant, le terme $\big(\sum \alpha_i\big)MO^2$ est nul.

Cas de deux points. Pour $MA^2 - MB^2$ , avec $I$ milieu de $[AB]$ : $MA^2 - MB^2 = \big(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\big) \cdot \big(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\big) = \overrightarrow{BA} \cdot 2\,\overrightarrow{MI} = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}.$

Exemple 7. $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $I(2\,;0)$ . L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 - MB^2 = 12$ vérifie $2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 12$ . Si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$ , $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} = 6$ : $H$ est sur $[IB)$ et $IH = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ . C'est la droite perpendiculaire à $(AB)$ au point $H(3{,}5\,;0)$ . Contrôle : $x^2 + y^2 - (x - 4)^2 - y^2 = 8x - 16 = 12$ équivaut à $x = 3{,}5$ .

2.3 Lignes de niveau

La ligne de niveau $k$ de $f$ est l'ensemble des points $M$ tels que $f(M) = k$ .

Cas	Égalité	Ligne de niveau $k$
$\alpha = \sum \alpha_i \neq 0$	$MG^2 = \dfrac{k - \sum \alpha_i GA_i^2}{\alpha} = c$	si $c > 0$ : cercle de centre $G$ et de rayon $\sqrt c$ ; si $c = 0$ : le point $G$ ; si $c < 0$ : ensemble vide
$\alpha = 0$ et $\vec u \neq \vec 0$	$2\,\overrightarrow{MO} \cdot \vec u = k - \sum \alpha_i OA_i^2$	une droite perpendiculaire à $\vec u$
$\alpha = 0$ et $\vec u = \vec 0$	$f$ est constante	le plan entier ou l'ensemble vide

Méthode. Calculer la somme des coefficients ; si elle n'est pas nulle, introduire le barycentre et réduire avec le théorème 2 ; sinon, réduire avec le théorème 3 (pour deux points : $MA^2 - MB^2 = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}$ ).

Leçon 3 : Applications affines

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Définition

Le plan est muni d'un repère $(O\,;\vec i, \vec j)$ . Une application $f$ du plan dans lui-même est affine si elle s'écrit, pour tout point $M(x\,;y)$ d'image $M'(x'\,;y')$ : $\begin{cases} x' = ax + by + p \\ y' = cx + dy + q \end{cases} \qquad (a, b, c, d, p, q \text{ réels}).$

Application linéaire associée. Si $M(x\,;y)$ et $N(x + X\,;y + Y)$ , on calcule $\overrightarrow{M'N'}\,(aX + bY\,;cX + dY)$ : le vecteur $\overrightarrow{M'N'}$ ne dépend que du vecteur $\overrightarrow{MN}$ . L'application $\varphi : \vec w(X\,;Y) \longmapsto \vec w'(aX + bY\,;cX + dY)$ est l'application linéaire associée à $f$ : $\overrightarrow{M'N'} = \varphi\big(\overrightarrow{MN}\big)$ . Elle vérifie $\varphi(\vec u + \vec v) = \varphi(\vec u) + \varphi(\vec v)$ et $\varphi(\lambda\vec u) = \lambda\,\varphi(\vec u)$ . On n'en dira pas plus, comme le demande le programme.

Exemples. Les transformations vues en Seconde et en Première sont affines :

la translation de vecteur $\vec w(p\,;q)$ : $x' = x + p$ , $y' = y + q$ ;
l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $x' = kx$ , $y' = ky$ ;
la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ (repère orthonormé direct) : $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ , $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$ ;
la réflexion d'axe $(O\,;\vec i)$ : $x' = x$ , $y' = -y$ .

D'autres applications affines ne sont ni des isométries ni des similitudes : la projection sur l'axe des abscisses ( $x' = x$ , $y' = 0$ ), ou l'application $x' = x$ , $y' = 2y$ , qui étire le plan verticalement.

Bijection. Pour trouver l'antécédent d'un point $M'(x'\,;y')$ , on résout le système $ax + by = x' - p$ , $cx + dy = y' - q$ . Il a une solution unique, quel que soit $M'$ , si et seulement si $ad - bc \neq 0$ : $f$ est alors une transformation (une bijection du plan).

3.2 Conservation du barycentre

Théorème 4. Une application $f$ du plan dans lui-même est affine si et seulement si elle conserve le barycentre : pour tous points pondérés $(A_i, \alpha_i)$ de somme $\alpha \neq 0$ , l'image de leur barycentre $G$ est le barycentre des points $(f(A_i), \alpha_i)$ .

Démonstration.

Si $f$ est affine. Notons $A_i(x_i\,;y_i)$ et $A_i'$ son image. Alors $x_G = \dfrac{\sum \alpha_i x_i}{\alpha}$ et $y_G = \dfrac{\sum \alpha_i y_i}{\alpha}$ , et $x_{G'} = a\,x_G + b\,y_G + p = \frac{\sum \alpha_i\,(a x_i + b y_i + p)}{\alpha} = \frac{\sum \alpha_i\,x_i'}{\alpha},$ car $\dfrac{\sum \alpha_i\,p}{\alpha} = p$ . De même pour $y_{G'}$ : $G'$ est le barycentre des $(A_i', \alpha_i)$ .
Si $f$ conserve le barycentre. Soit $I(1\,;0)$ et $J(0\,;1)$ . Tout point $M(x\,;y)$ est le barycentre de $(O, 1 - x - y)$ , $(I, x)$ , $(J, y)$ , car $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$ . Son image est donc le barycentre de $(O', 1 - x - y)$ , $(I', x)$ , $(J', y)$ : $\overrightarrow{O'M'} = x\,\overrightarrow{O'I'} + y\,\overrightarrow{O'J'}.$ En coordonnées, $x'$ et $y'$ sont de la forme $ax + by + p$ et $cx + dy + q$ : $f$ est affine.

Conséquences. Soit $f$ une application affine.

L'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$ ; l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.
Si $\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{A'C'} = t\,\overrightarrow{A'B'}$ : $f$ conserve l'alignement et les rapports de longueurs sur une même droite.
L'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$ si $A' \neq B'$ , le point $A'$ sinon. L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ .
Deux droites parallèles ont des images parallèles (ou réduites à des points).
L'image d'un parallélogramme est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Justification de 2 et 3. $\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB}$ signifie $C = \mathrm{bar}\{(A, 1 - t), (B, t)\}$ , donc $C' = \mathrm{bar}\{(A', 1 - t), (B', t)\}$ . Quand $t$ décrit $\mathbb{R}$ , $C$ décrit la droite $(AB)$ ; quand $t$ décrit $[0\,;1]$ , il décrit le segment $[AB]$ .

3.3 Une application qui ne conserve pas le barycentre

Le programme demande des contre-exemples. Soit $g$ l'application qui transforme $M(x\,;y)$ en $M'(x^2\,;y)$ . Avec $A(0\,;0)$ , $B(2\,;0)$ et leur milieu $I(1\,;0)$ : $A'(0\,;0)$ , $B'(4\,;0)$ , $I'(1\,;0)$ , alors que le milieu de $[A'B']$ est $(2\,;0)$ . L'application $g$ ne conserve pas le milieu : elle n'est pas affine.

3.4 Images d'ensembles de points

Exemple 8. Soit $f$ l'application définie par $x' = 2x - y + 1$ , $y' = x + y - 2$ .

$f$ est affine ; son application linéaire associée est $\varphi(X\,;Y) = (2X - Y\,;X + Y)$ , et $ad - bc = 2 \times 1 - (-1) \times 1 = 3 \neq 0$ : $f$ est une transformation.

Images : $A(0\,;0) \mapsto A'(1\,;-2)$ , $B(2\,;0) \mapsto B'(5\,;0)$ , $C(0\,;3) \mapsto C'(-2\,;1)$ .

Le milieu $(1\,;0)$ de $[AB]$ a pour image $(3\,;-1)$ , qui est bien le milieu de $[A'B']$ . Le centre de gravité $\left(\frac23\,;1\right)$ de $ABC$ a pour image $\left(\frac43\,;-\frac13\right)$ , qui est bien celui de $A'B'C'$ .

Image de la droite $D : y = x$ . Ses points s'écrivent $M(t\,;t)$ , d'images $M'(t + 1\,;2t - 2)$ . En éliminant $t = x' - 1$ , on obtient $y' = 2x' - 4$ : l'image de $D$ est la droite d'équation $y = 2x - 4$ .

Attention. Une application affine ne transforme pas toujours un cercle en cercle. Par $x' = x$ , $y' = 2y$ , le point $(1\,;0)$ du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ reste à la distance $1$ de $O$ , tandis que le point $(0\,;1)$ a pour image $(0\,;2)$ , à la distance $2$ : l'image n'est pas un cercle (c'est une ellipse, étudiée au chapitre sur les coniques).

3.5 Démontrer avec une application affine

Exemple 9. L'image d'un parallélogramme par une application affine $f$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$ . Par conservation du milieu, $f(K)$ est le milieu de $[A'C']$ et de $[B'D']$ : $A'B'C'D'$ est un parallélogramme.

Leçon 4 : Angles orientés, lignes de niveau et cocyclicité

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Rappels

Relation de Chasles : $\big(\vec u, \vec v\big) + \big(\vec v, \vec w\big) = \big(\vec u, \vec w\big)\ [2\pi]$ ; $\big(\vec v, \vec u\big) = -\big(\vec u, \vec v\big)\ [2\pi]$ ; $\big(-\vec u, \vec v\big) = \big(\vec u, \vec v\big) + \pi\ [2\pi]$ .
Théorème de l'angle inscrit (forme orientée, admis). Soit $\Gamma$ un cercle de centre $\Omega$ , et $A$ , $B$ deux points distincts de $\Gamma$ . Pour tout point $M$ de $\Gamma$ distinct de $A$ et de $B$ : $2\,\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}\big)\ [2\pi].$ Conséquence : quand $M$ parcourt $\Gamma$ privé de $A$ et $B$ , l'angle $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big)$ est constant à $\pi$ près.

4.2 La ligne de niveau $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [2\pi]$

Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $\alpha$ un réel. On cherche l'ensemble $E_\alpha$ des points $M$ , distincts de $A$ et de $B$ , tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [2\pi]$ .

Théorème 5 (arc capable, vu en Première).

Si $\alpha = 0\ [2\pi]$ : $E_\alpha$ est la droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$ ( $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ ont le même sens).
Si $\alpha = \pi\ [2\pi]$ : $E_\alpha$ est le segment $[AB]$ privé de $A$ et de $B$ .
Sinon : $E_\alpha$ est un arc de cercle d'extrémités $A$ et $B$ , privé de $A$ et de $B$ . Son cercle $\Gamma$ a pour centre le point $\Omega$ de la médiatrice de $[AB]$ tel que $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}\big) = 2\alpha\ [2\pi]$ . Sur l'autre arc de $\Gamma$ , l'angle vaut $\alpha + \pi$ .

En pratique, pour savoir lequel des deux arcs convient, on teste un point de l'un d'eux.

Exemple 10. $A(-1\,;0)$ , $B(1\,;0)$ et $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ . Le point $M_0\big(0\,;\sqrt3\big)$ convient : $ABM_0$ est équilatéral et, avec $\overrightarrow{M_0A}\big(-1\,;-\sqrt3\big)$ et $\overrightarrow{M_0B}\big(1\,;-\sqrt3\big)$ , on passe du premier au second en tournant de $\frac{\pi}{3}$ dans le sens direct. Le centre $\Omega$ est sur l'axe des ordonnées, avec $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}\big) = \frac{2\pi}{3}$ : $\Omega\left(0\,;\frac{\sqrt3}{3}\right)$ , et le rayon vaut $\Omega A = \frac{2\sqrt3}{3}$ . $E_{\pi/3}$ est l'arc de ce cercle situé au-dessus de l'axe des abscisses ; sur l'arc du dessous, l'angle vaut $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$ , soit $-\frac{2\pi}{3}$ .

4.3 La ligne de niveau $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [\pi]$

Théorème 6. L'ensemble des points $M$ , distincts de $A$ et de $B$ , tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [\pi]$ est :

la droite $(AB)$ privée de $A$ et de $B$ , si $\alpha = 0\ [\pi]$ ;
sinon, le cercle $\Gamma$ du théorème 5, privé de $A$ et de $B$ .

Démonstration. La condition « $= \alpha\ [\pi]$ » signifie « $= \alpha\ [2\pi]$ ou $= \alpha + \pi\ [2\pi]$ ». Les deux arcs correspondants ont le même centre, puisque $2(\alpha + \pi) = 2\alpha\ [2\pi]$ : leur réunion est le cercle $\Gamma$ privé de $A$ et $B$ . Si $\alpha = 0\ [\pi]$ , on réunit la droite $(AB)$ privée de $[AB]$ et le segment ouvert.

Cas particulier très utile. $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$ , privé de $A$ et de $B$ .

4.4 Démontrer que quatre points sont cocycliques

Des points sont cocycliques s'ils sont sur un même cercle.

Théorème 7. Soit $A$ , $B$ , $C$ , $D$ quatre points distincts, tels que $A$ , $B$ , $C$ ne soient pas alignés. Les quatre points sont cocycliques si et seulement si $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \big(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}\big)\ [\pi].$

Démonstration. Posons $\alpha = \big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big)$ ; comme $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, $\alpha \neq 0\ [\pi]$ . D'après le théorème 6, l'ensemble des points $M \neq A, B$ tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [\pi]$ est le cercle passant par $A$ , $B$ et $C$ , privé de $A$ et $B$ . Le point $D$ est sur ce cercle si et seulement si il vérifie l'égalité.

Remarque. Avec l'égalité à $2\pi$ près, $C$ et $D$ sont sur le même arc ; avec un écart de $\pi$ , ils sont sur les deux arcs différents. Au chapitre 7, ce critère a été traduit avec les nombres complexes : $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \arg\dfrac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\ [2\pi]$ .

Exemple 11 (pieds des hauteurs). Soit $ABC$ un triangle non rectangle, $A'$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $B'$ celui de la hauteur issue de $B$ . Alors $\big(\overrightarrow{A'A}, \overrightarrow{A'B}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ et $\big(\overrightarrow{B'A}, \overrightarrow{B'B}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ . D'après le cas particulier du théorème 6, $A'$ et $B'$ sont sur le cercle de diamètre $[AB]$ : $A$ , $B$ , $A'$ , $B'$ sont cocycliques.

Exemple 12 (en coordonnées). $A(0\,;0)$ , $B(6\,;0)$ , $C(2\,;4)$ , $D(4\,;-2)$ . Avec les nombres complexes : $\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C} = \frac{4 - 4i}{-2 - 4i} = \frac{2 + 6i}{5} \qquad \text{et} \qquad \frac{z_B - z_D}{z_A - z_D} = \frac{2 + 2i}{-4 + 2i} = \frac{-1 - 3i}{5}.$ Le quotient du premier par le second vaut $-2$ , un réel négatif : les deux angles diffèrent de $\pi$ . Donc $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \big(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}\big)\ [\pi]$ et, $A$ , $B$ , $C$ n'étant pas alignés, les quatre points sont cocycliques, $C$ et $D$ étant sur des arcs différents. Le cercle a pour centre $\Omega(3\,;1)$ et pour rayon $\sqrt{10}$ : on vérifie $\Omega A^2 = \Omega B^2 = \Omega C^2 = \Omega D^2 = 10$ .

Leçon 5 : Isométries du plan, rappels et compléments

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Définition et exemples

Une isométrie est une application $f$ du plan dans lui-même qui conserve les distances : pour tous points $M$ et $N$ , $f(M)f(N) = MN$ .

Exemples vus en Première : les translations, les rotations (dont les symétries centrales, rotations d'angle $\pi$ ) et les réflexions. La composée de deux isométries est une isométrie.

5.2 Une isométrie est une application affine

Théorème 8. Toute isométrie est une application affine. En particulier, elle conserve le barycentre, le milieu, l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité ; c'est une transformation (une bijection) du plan.

Démonstration. Soit $f$ une isométrie et $(O\,;\vec i, \vec j)$ un repère orthonormé, avec $\vec i = \overrightarrow{OI}$ et $\vec j = \overrightarrow{OJ}$ . On note $O'$ , $I'$ , $J'$ , $M'$ , $N'$ les images de $O$ , $I$ , $J$ , $M$ , $N$ .

$f$ conserve le produit scalaire. $\overrightarrow{O'M'} \cdot \overrightarrow{O'N'} = \dfrac{1}{2}\left(O'M'^2 + O'N'^2 - M'N'^2\right) = \dfrac{1}{2}\left(OM^2 + ON^2 - MN^2\right) = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ .
Donc les vecteurs $\vec{i}\,{}' = \overrightarrow{O'I'}$ et $\vec{j}\,{}' = \overrightarrow{O'J'}$ sont de norme $1$ et orthogonaux : $(O'\,;\vec{i}\,{}', \vec{j}\,{}')$ est un repère orthonormé.
Pour $M(x\,;y)$ , on a $\overrightarrow{O'M'} \cdot \vec{i}\,{}' = \overrightarrow{OM} \cdot \vec i = x$ et $\overrightarrow{O'M'} \cdot \vec{j}\,{}' = \overrightarrow{OM} \cdot \vec j = y$ . Les coordonnées de $M'$ dans le repère $(O'\,;\vec{i}\,{}', \vec{j}\,{}')$ sont donc $(x\,;y)$ : $\overrightarrow{O'M'} = x\,\vec{i}\,{}' + y\,\vec{j}\,{}'.$ En coordonnées dans le repère de départ, $x'$ et $y'$ s'écrivent $ax + by + p$ et $cx + dy + q$ : $f$ est affine. Elle est bijective, puisqu'un point $M'$ a un seul antécédent : celui qui a les mêmes coordonnées dans l'autre repère.

5.3 Déplacements et antidéplacements (rappels de Première)

Les isométries se partagent en deux classes :

les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations ;
les antidéplacements changent un angle orienté en son opposé : ce sont les réflexions et les symétries glissées (paragraphe 5.6).

Dans la démonstration du théorème 8, $f$ est un déplacement si le repère $(O'\,;\vec{i}\,{}', \vec{j}\,{}')$ est direct, un antidéplacement s'il est indirect. Pour les composées : déplacement $\circ$ déplacement et antidéplacement $\circ$ antidéplacement donnent un déplacement ; un déplacement composé avec un antidéplacement donne un antidéplacement.

5.4 Composée de deux réflexions

Théorème 9 (rappel de Première). Soit $D$ et $D'$ deux droites.

Si $D$ et $D'$ sont parallèles, $s_{D'} \circ s_D$ est la translation de vecteur $2\,\overrightarrow{HH'}$ , où $H \in D$ , $H' \in D'$ et $(HH') \perp D$ .
Si $D$ et $D'$ sont sécantes en $\Omega$ , $s_{D'} \circ s_D$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $2\big(\vec u, \vec{u}\,{}'\big)$ , où $\vec u$ et $\vec{u}\,{}'$ dirigent $D$ et $D'$ .

Réciproquement, une translation de vecteur $\vec w$ s'écrit $s_{D'} \circ s_D$ pour toute droite $D$ perpendiculaire à $\vec w$ , avec $D' = t_{\frac12\vec w}(D)$ ; une rotation $r(\Omega, \theta)$ s'écrit $s_{D'} \circ s_D$ pour toute droite $D$ passant par $\Omega$ , avec $D'$ passant par $\Omega$ et $\big(\vec u, \vec{u}\,{}'\big) = \frac{\theta}{2}\ [\pi]$ . On choisit librement l'une des deux droites.

Exemple 13. $D : x = 1$ et $D' : x = 4$ . Les expressions analytiques sont $s_D : (x\,;y) \mapsto (2 - x\,;y)$ et $s_{D'} : (x\,;y) \mapsto (8 - x\,;y)$ , donc $s_{D'} \circ s_D : (x\,;y) \mapsto \big(8 - (2 - x)\,;y\big) = (x + 6\,;y)$ : c'est la translation de vecteur $(6\,;0)$ , soit deux fois le vecteur $(3\,;0)$ qui va de $D$ à $D'$ .

Exemple 14. $D : y = 0$ et $D' : y = x$ , sécantes en $O$ , avec $\big(\vec i, \vec i + \vec j\big) = \frac{\pi}{4}$ . $s_D : (x\,;y) \mapsto (x\,;-y)$ et $s_{D'} : (x\,;y) \mapsto (y\,;x)$ , donc $s_{D'} \circ s_D : (x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$ : c'est la rotation de centre $O$ et d'angle $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ .

5.5 Composée de deux rotations

Propriété. Soit $r_1 = r(A, \theta_1)$ et $r_2 = r(B, \theta_2)$ , avec $A \neq B$ . La composée $r_2 \circ r_1$ est :

une rotation d'angle $\theta_1 + \theta_2$ si $\theta_1 + \theta_2 \neq 0\ [2\pi]$ ;
une translation si $\theta_1 + \theta_2 = 0\ [2\pi]$ .

Démonstration. Soit $\Delta = (AB)$ . On décompose $r_1 = s_\Delta \circ s_{D_1}$ , avec $D_1$ passant par $A$ et $(D_1, \Delta) = \frac{\theta_1}{2}$ , et $r_2 = s_{D_2} \circ s_\Delta$ , avec $D_2$ passant par $B$ et $(\Delta, D_2) = \frac{\theta_2}{2}$ : on a choisi $\Delta$ comme droite commune. Comme $s_\Delta \circ s_\Delta$ est l'identité, $r_2 \circ r_1 = s_{D_2} \circ s_{D_1}$ , et l'angle de $D_1$ à $D_2$ vaut $\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$ . Si $\theta_1 + \theta_2 \neq 0\ [2\pi]$ , $D_1$ et $D_2$ se coupent en un point $C$ et on obtient la rotation de centre $C$ et d'angle $\theta_1 + \theta_2$ ; sinon, elles sont parallèles et on obtient une translation.

Exemple 15. $A(0\,;0)$ , $B(2\,;0)$ , $r_1 = r\left(A, \frac{\pi}{2}\right)$ , $r_2 = r\left(B, \frac{\pi}{2}\right)$ . Ici $D_1 : y = -x$ et $D_2 : y = x - 2$ se coupent en $C(1\,;-1)$ : $r_2 \circ r_1$ est la rotation de centre $C$ et d'angle $\pi$ , c'est-à-dire la symétrie de centre $C(1\,;-1)$ . Contrôle en complexes : $r_1 : z \mapsto iz$ , $r_2 : z \mapsto i(z - 2) + 2$ , donc $r_2 \circ r_1 : z \mapsto -z + 2 - 2i$ , de centre $\dfrac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ .

5.6 Points invariants et classification

Théorème 10. Soit $f$ une isométrie.

Points invariants de $f$	$f$ est
trois points non alignés (donc tous les points)	l'identité
exactement les points d'une droite $D$	la réflexion $s_D$
exactement un point $\Omega$	une rotation de centre $\Omega$ et d'angle non nul
aucun point	une translation de vecteur non nul (déplacement) ou une symétrie glissée (antidéplacement)

Démonstration (trois premières lignes).

Si $f$ fixe $A$ et $B$ distincts, elle fixe tout point $M = \mathrm{bar}\{(A, 1 - t), (B, t)\}$ de la droite $(AB)$ , car elle conserve le barycentre. Si elle fixe en plus $C \notin (AB)$ , elle fixe tout point du plan, qui est barycentre de $A$ , $B$ , $C$ .
Si les points fixes sont exactement ceux de $(AB)$ : pour $M \notin (AB)$ , $M' \neq M$ , $AM' = AM$ et $BM' = BM$ . Les points $A$ et $B$ sont sur la médiatrice de $[MM']$ , qui est donc $(AB)$ : $M' = s_{(AB)}(M)$ .
Si $\Omega$ est le seul point fixe : soit $A \neq \Omega$ et $A' = f(A)$ . Comme $\Omega A' = \Omega A$ , il existe une rotation $r$ de centre $\Omega$ telle que $r(A) = A'$ . L'isométrie $g = r^{-1} \circ f$ fixe $\Omega$ et $A$ : c'est l'identité ou $s_{(\Omega A)}$ . Dans le second cas, $f = r \circ s_{(\Omega A)}$ serait une réflexion (théorème 9), qui a toute une droite de points fixes : impossible. Donc $g$ est l'identité et $f = r$ .

La dernière ligne est admise.

5.7 Symétrie glissée

Soit $D$ une droite et $\vec u$ un vecteur non nul qui dirige $D$ . La composée $t_{\vec u} \circ s_D$ est la symétrie glissée d'axe $D$ et de vecteur $\vec u$ .

$t_{\vec u} \circ s_D = s_D \circ t_{\vec u}$ (l'ordre ne compte pas, car $\vec u$ est parallèle à $D$ ) ;
elle n'a aucun point invariant, et sa composée avec elle-même est la translation $t_{2\vec u}$ ;
pour tout point $M$ , le milieu de $[MM']$ est sur l'axe $D$ ;
c'est un antidéplacement (une réflexion suivie d'un déplacement).

Exemple 16. $f : (x\,;y) \mapsto (x + 2\,;-y + 4)$ est la réflexion d'axe $(O\,;\vec i)$ suivie de la translation de vecteur $(2\,;4)$ . On décompose $(2\,;4) = (2\,;0) + (0\,;4)$ : la réflexion $(x\,;y) \mapsto (x\,;4 - y)$ a pour axe la droite $y = 2$ , et $f : (x\,;y) \mapsto (x\,;4 - y) \mapsto (x + 2\,;4 - y).$ $f$ est la symétrie glissée d'axe $y = 2$ et de vecteur $(2\,;0)$ . Elle n'a pas de point invariant, car $x + 2 = x$ est impossible.

Leçon 6 : Similitudes directes

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Définition géométrique

Soit $k$ un réel strictement positif. Une similitude directe de rapport $k$ est une transformation $s$ du plan qui

multiplie les distances par $k$ : pour tous points $M$ , $N$ d'images $M'$ , $N'$ , on a $M'N' = k\,MN$ ;
conserve les angles orientés : $\big(\overrightarrow{M'N'}, \overrightarrow{P'Q'}\big) = \big(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}\big)\ [2\pi]$ pour $M \neq N$ et $P \neq Q$ .

Exemples. Les déplacements (rapport $1$ ) ; l'homothétie de rapport $\lambda \neq 0$ (rapport $|\lambda|$ ) ; les composées de ces transformations.

6.2 Le lien avec l'écriture complexe

Théorème 11. Une transformation $s$ est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est de la forme $z' = az + b$ , avec $a \neq 0$ . Son rapport est alors $k = |a|$ .

Démonstration. Le chapitre 7 (leçon 7) a montré qu'une application $z' = az + b$ multiplie les distances par $|a|$ et conserve les quotients $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ , donc les angles orientés. Réciproquement, soit $s$ une similitude directe de rapport $k$ , $A \neq B$ deux points, $A' = s(A)$ et $B' = s(B)$ . Pour tout point $M \neq A$ d'image $M'$ :

$\dfrac{A'M'}{A'B'} = \dfrac{k\,AM}{k\,AB} = \dfrac{AM}{AB}$ : les quotients $\dfrac{z_{M'} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}}$ et $\dfrac{z_M - z_A}{z_B - z_A}$ ont le même module ;
$\big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'M'}\big) = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM}\big)$ : ils ont le même argument.

Ils sont donc égaux, et $z_{M'} = z_{A'} + a\,(z_M - z_A)$ avec $a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A}$ : c'est une écriture $z' = az + b$ , qui reste vraie pour $M = A$ .

On retrouve tout le chapitre 7 : si $a = 1$ , $s$ est une translation ; sinon, $s$ a un unique point invariant, son centre $\Omega$ , et $z' - \omega = a\,(z - \omega), \qquad a = k\,e^{i\theta}.$

6.3 Éléments caractéristiques

Une similitude directe $s$ , qui n'est pas une translation, est déterminée par son centre $\Omega$ , son rapport $k > 0$ et son angle $\theta$ . On la note $s(\Omega, k, \theta)$ .

Pour tout point $M \neq \Omega$ : $\Omega M' = k\,\Omega M$ et $\big(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}\big) = \theta\ [2\pi]$ .
Pour tous points $A \neq B$ : $k = \dfrac{A'B'}{AB}$ et $\theta = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big)\ [2\pi]$ . L'angle se lit sur n'importe quel vecteur et son image.
Une similitude directe de rapport $1$ est un déplacement ; une similitude directe d'angle $0$ ou $\pi$ est une homothétie ou une translation.

6.4 Décomposer une similitude directe

Propriété (forme réduite). Si $s = s(\Omega, k, \theta)$ , alors $s = h(\Omega, k) \circ r(\Omega, \theta) = r(\Omega, \theta) \circ h(\Omega, k).$ L'homothétie et la rotation ont le même centre, et l'ordre ne compte pas.

Démonstration. En écriture complexe, $r(\Omega, \theta)$ est $z \mapsto \omega + e^{i\theta}(z - \omega)$ et $h(\Omega, k)$ est $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ ; dans un ordre comme dans l'autre, la composée est $z \mapsto \omega + k\,e^{i\theta}(z - \omega)$ .

D'autres décompositions.

La rotation se décompose à son tour en deux réflexions d'axes passant par $\Omega$ (théorème 9) : $s = h(\Omega, k) \circ s_{D'} \circ s_D$ , avec $\big(D, D'\big) = \frac{\theta}{2}$ .
Pour tout point $P$ , $s = h(P, k) \circ d$ , où $d = h\left(P, \frac{1}{k}\right) \circ s$ est une similitude directe de rapport $1$ , donc un déplacement : une similitude directe est la composée d'un déplacement et d'une homothétie.

6.5 Composée et réciproque

Propriété. Si $s_1$ a pour rapport $k_1$ et pour angle $\theta_1$ , et $s_2$ pour rapport $k_2$ et pour angle $\theta_2$ :

$s_2 \circ s_1$ est une similitude directe de rapport $k_1k_2$ et d'angle $\theta_1 + \theta_2$ ;
la réciproque $s_1^{-1}$ est une similitude directe de rapport $\dfrac{1}{k_1}$ et d'angle $-\theta_1$ (et de même centre).

Démonstration. Si $s_1 : z \mapsto a_1z + b_1$ et $s_2 : z \mapsto a_2z + b_2$ , alors $s_2 \circ s_1 : z \mapsto a_2a_1z + a_2b_1 + b_2$ , et $a_2a_1 = k_1k_2\,e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ . La réciproque est $z \mapsto \frac{1}{a_1}z - \frac{b_1}{a_1}$ .

6.6 Image d'une figure simple

Une similitude directe $s$ de rapport $k$ transforme :

un segment $[MN]$ en un segment $[M'N']$ de longueur $k\,MN$ ; une droite en une droite ;
le cercle de centre $I$ et de rayon $R$ en le cercle de centre $s(I)$ et de rayon $kR$ ;
un triangle en un triangle de mêmes angles orientés, dont l'aire est multipliée par $k^2$ .

Elle conserve l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les milieux et les barycentres (c'est une application affine).

6.7 Déterminer une similitude directe

Par le centre, un point et son image. La similitude de centre $\Omega$ qui transforme $A$ en $A'$ ( $A \neq \Omega$ ) a pour rapport $\dfrac{\Omega A'}{\Omega A}$ et pour angle $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega A'}\big)$ .

Exemple 17 (dans un carré). $ABCD$ est un carré de sens direct, de centre $O$ . Soit $s$ la similitude directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $O$ .

Rapport : $\dfrac{AO}{AB} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (la demi-diagonale vaut $\frac{\sqrt2}{2}AB$ ). Angle : $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}\big) = \dfrac{\pi}{4}$ .

Image de $C$ : $AC = \sqrt2\,AB$ , donc $As(C) = \frac{\sqrt2}{2} \times \sqrt2\,AB = AB = AD$ , et $\big(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{As(C)}\big) = \frac{\pi}{4}$ , alors que $\big(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big) = \frac{\pi}{4}$ . Donc $s(C) = D$ .

Contrôle en complexes, avec $A(0)$ , $B(1)$ , $C(1 + i)$ , $D(i)$ : $s : z \mapsto \frac{1 + i}{2}z$ et $\frac{1 + i}{2}(1 + i) = i$ .

Par deux points et leurs images. Si $A \neq B$ , il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$ (chapitre 7) : son rapport est $\dfrac{A'B'}{AB}$ et son angle $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big)$ .

Construire le centre. Supposons que $s$ n'est pas une translation et que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ se coupent en un point $P$ (c'est le cas si $\theta \neq 0\ [\pi]$ ). Alors le centre $\Omega$ est le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $PAA'$ et $PBB'$ .

Justification. $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega A'}\big) = \theta\ [2\pi]$ . Par ailleurs $\overrightarrow{PA}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{PA'}$ à $\overrightarrow{A'B'}$ , donc $\big(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PA'}\big) = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big) = \theta\ [\pi]$ . D'après le théorème 7, $\Omega$ est sur le cercle passant par $P$ , $A$ , $A'$ . De même, il est sur le cercle passant par $P$ , $B$ , $B'$ .

Exemple 18. $A(0\,;-1)$ , $B(2\,;0)$ , $A'(5\,;-1)$ , $B'(3\,;3)$ .

$\overrightarrow{AB}(2\,;1)$ et $\overrightarrow{A'B'}(-2\,;4)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'B'} = 0$ , $A'B' = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ et $AB = \sqrt5$ . Le rapport vaut $2$ ; en tournant $\overrightarrow{AB}(2\,;1)$ d'un quart de tour direct, on obtient $(-1\,;2)$ , et $\overrightarrow{A'B'} = 2\,(-1\,;2)$ : l'angle vaut $\dfrac{\pi}{2}$ .

$(AB) : y = \dfrac{x}{2} - 1$ et $(A'B') : y = -2x + 9$ se coupent en $P(4\,;1)$ .

Comme $\theta = \frac{\pi}{2}$ , les cercles $PAA'$ et $PBB'$ sont les cercles de diamètres $[AA']$ et $[BB']$ : centres $(2{,}5\,;-1)$ et $(2{,}5\,;1{,}5)$ , rayons $2{,}5$ et $\sqrt{2{,}5}$ . Leurs points communs sont $P(4\,;1)$ et $\Omega(1\,;1)$ .

Contrôle en complexes : $a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A} = \dfrac{-2 + 4i}{2 + i} = 2i$ , et $\omega + 2i(z_A - \omega) = 1 + i + 2i(-1 - 2i) = 5 - i = z_{A'}$ avec $\omega = 1 + i$ .

Leçon 7 : Triangles semblables

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Triangles directement semblables

Deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ (non aplatis) sont directement semblables s'il existe une similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ , $s(B) = B'$ et $s(C) = C'$ . L'ordre des sommets compte.

Théorème 12 (critères). Les propriétés suivantes sont équivalentes.

$ABC$ et $A'B'C'$ sont directement semblables.
Un angle orienté égal, compris entre des côtés proportionnels : $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}\big)\ [2\pi]$ et $\dfrac{A'C'}{A'B'} = \dfrac{AC}{AB}$ .
Deux angles orientés égaux : $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}\big)$ et $\big(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}\big) = \big(\overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'A'}\big)\ [2\pi]$ .
En complexes : $\dfrac{z_{C'} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}} = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .

Démonstration. Soit $s$ l'unique similitude directe telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$ , et $C'' = s(C)$ . Elle conserve les quotients : $\frac{z_{C''} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .

(1) équivaut à $C'' = C'$ , c'est-à-dire à (4) ; (4) équivaut à (2), qui dit que les deux quotients ont même module et même argument.
(1) entraîne (3), car $s$ conserve les angles orientés. Si (3) est vraie, $C''$ et $C'$ sont tous deux sur la demi-droite d'origine $A'$ qui fait l'angle $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big)$ avec $\overrightarrow{A'B'}$ , et sur la demi-droite d'origine $B'$ qui fait l'angle $\big(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}\big)$ avec $\overrightarrow{B'A'}$ . Ces deux demi-droites ne sont pas portées par une même droite, donc elles ont au plus un point commun : $C'' = C'$ .

7.2 Triangles semblables

Deux triangles sont semblables (« de même forme ») si leurs angles géométriques sont égaux deux à deux : $\widehat{A} = \widehat{A'}$ , $\widehat{B} = \widehat{B'}$ , $\widehat{C} = \widehat{C'}$ . On admet les critères suivants, connus depuis le collège : deux triangles sont semblables si et seulement si

ils ont deux angles égaux deux à deux ; ou
leurs trois côtés sont proportionnels : $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'A'}{CA}$ ; ou
ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels.

Deux triangles semblables sont soit directement semblables, soit images l'un de l'autre par une réflexion suivie d'une similitude directe (ils ont alors des angles orientés opposés).

7.3 Utiliser des triangles semblables

Exemple 19 (triangle rectangle et hauteur). $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ et $AC = 8$ , donc $BC = 10$ . Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ .

Les triangles $HBA$ et $ABC$ ont l'angle $\widehat{B}$ en commun et un angle droit (en $H$ et en $A$ ) : ils sont semblables, et $\dfrac{BH}{BA} = \dfrac{BA}{BC}$ , d'où $AB^2 = BH \times BC$ et $BH = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$ . De même $AC^2 = CH \times CB$ , d'où $CH = 6{,}4$ .

Les triangles $HBA$ et $HAC$ sont semblables (même raisonnement), d'où $AH^2 = HB \times HC = 3{,}6 \times 6{,}4 = 23{,}04$ et $AH = 4{,}8$ .

Orientation. Dans le repère $A(0\,;0)$ , $B(6\,;0)$ , $C(0\,;8)$ , on trouve $H\left(\frac{96}{25}\,;\frac{72}{25}\right)$ et $\dfrac{z_A - z_H}{z_B - z_H} = \dfrac{z_C - z_H}{z_A - z_H} = -\dfrac{4}{3}i$ : $HBA$ et $HAC$ sont directement semblables, par la similitude de centre $H$ , de rapport $\frac43$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ . En revanche $ABC$ et $HBA$ sont semblables, mais pas directement.

Exemple 20 (deux cordes qui se coupent). Deux cordes $[AB]$ et $[CD]$ d'un cercle se coupent en un point $P$ intérieur au cercle. Les angles $\widehat{APC}$ et $\widehat{DPB}$ sont opposés par le sommet, et les angles inscrits $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BDC}$ interceptent le même arc : les triangles $PAC$ et $PDB$ sont semblables, d'où $\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}$ , soit $PA \times PB = PC \times PD.$ Si $PA = 2$ , $PB = 6$ et $PC = 3$ , alors $PD = 4$ .

Exemple 21 (un lieu géométrique). Dans le plan complexe, $B(1)$ et $C(1 + i)$ . Un point $M$ décrit le cercle $\Gamma$ de centre $I(3)$ et de rayon $1$ , et $N$ est le point tel que $OMN$ soit directement semblable à $OBC$ . Alors $N = s(M)$ , où $s$ est la similitude de centre $O$ , de rapport $\frac{OC}{OB} = \sqrt2$ et d'angle $\big(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\big) = \frac{\pi}{4}$ , soit $s : z \mapsto (1 + i)z$ . Le point $N$ décrit l'image de $\Gamma$ : le cercle de centre $s(I) = 3 + 3i$ et de rayon $\sqrt2$ .

Ce qu'il faut retenir du chapitre

Si $\sum \alpha_i \neq 0$ : $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i} = \Big(\sum \alpha_i\Big)\overrightarrow{MG}$ et $\sum \alpha_i\,MA_i^2 = \Big(\sum \alpha_i\Big)MG^2 + \sum \alpha_i\,GA_i^2$ , où $G$ est le barycentre.
Si $\sum \alpha_i = 0$ : $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}$ est un vecteur constant $\vec u$ , et $\sum \alpha_i\,MA_i^2 = 2\,\overrightarrow{MO} \cdot \vec u + \text{constante}$ ; en particulier $MA^2 - MB^2 = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}$ .
Lignes de niveau de $\sum \alpha_i MA_i^2$ : cercle, point ou vide si $\sum \alpha_i \neq 0$ ; droite si $\sum \alpha_i = 0$ et $\vec u \neq \vec 0$ .
Application affine : $x' = ax + by + p$ , $y' = cx + dy + q$ . Elle conserve le barycentre (et c'est une caractérisation), donc le milieu, l'alignement et le parallélisme ; transformation si $ad - bc \neq 0$ .
$\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [2\pi]$ : un arc de cercle d'extrémités $A$ et $B$ (si $\alpha \neq 0\ [\pi]$ ) ; $= \alpha\ [\pi]$ : le cercle entier, privé de $A$ et $B$ .
$A$ , $B$ , $C$ non alignés et $D$ distinct : cocycliques si et seulement si $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \big(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}\big)\ [\pi]$ .
Une isométrie est affine. $s_{D'} \circ s_D$ : translation de vecteur $2\,\overrightarrow{HH'}$ si $D \parallel D'$ , rotation d'angle $2(D, D')$ si elles sont sécantes. Points invariants : tous (identité), une droite (réflexion), un point (rotation), aucun (translation ou symétrie glissée).
Similitude directe de rapport $k$ : multiplie les distances par $k$ et conserve les angles orientés ; écriture $z' = az + b$ , $k = |a|$ , angle $\theta = \arg a = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big)$ . Forme réduite : $h(\Omega, k) \circ r(\Omega, \theta)$ . Composée : rapports multipliés, angles additionnés.
Centre : second point commun des cercles $PAA'$ et $PBB'$ , où $P = (AB) \cap (A'B')$ .
Triangles directement semblables : un angle orienté égal entre côtés proportionnels, ou deux angles orientés égaux, ou $\frac{z_{C'} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .