Devoir sur 20 : Géométrie plane

Devoir d'une heure, sur 20 points, pour les séries S1, S3 et S1A. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (8 points)

On donne les points $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ et $C(2\,;4)$ .

Calculer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A, 1)$ , $(B, 1)$ , $(C, 2)$ . (1 point)
Réduire $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}$ , puis déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ tels que $\big\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\big\| = 8$ . (2 points)
Démontrer que, pour tout point $M$ , $MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = 4MG^2 + 24$ . En déduire l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = 60$ . (3 points)
Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Déterminer l'ensemble $\Gamma_3$ des points $M$ tels que $MA^2 - MB^2 = 8$ . (2 points)

Exercice 2 (12 points)

Dans le plan complexe, on donne les points $A(2 + 2i)$ , $B(4 + 2i)$ , $A'(4i)$ et $B'(2 + 6i)$ . Soit $s$ la similitude directe telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$ .

Calculer $AB$ , $A'B'$ et une mesure de l'angle $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big)$ . En déduire le rapport et l'angle de $s$ . (2 points)
Déterminer l'écriture complexe de $s$ , puis son centre. (2 points)
Les droites $(AB)$ $(A B)$ et $(A'B')$ $(A^{'} B^{'})$ se coupent en $P$ $P$ .
- a. Déterminer les coordonnées de $P$ . (1 point)
- b. Calculer $\big(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PA'}\big)$ et $\big(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OA'}\big)$ . En déduire que les points $O$ , $P$ , $A$ , $A'$ sont cocycliques, et déterminer le centre et le rayon de leur cercle. (2 points)
Déterminer l'image par $s$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon $1$ . (1,5 point)
Démontrer que les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont directement semblables. Calculer l'aire de $OAB$ , puis, sans nouveau calcul de coordonnées, celle de $OA'B'$ . (2 points)
Écrire $s$ comme composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre. (1,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $x_G = \dfrac{0 + 4 + 2 \times 2}{4} = 2$ et $y_G = \dfrac{0 + 0 + 2 \times 4}{4} = 2$ : $G(2\,;2)$ .

2. (2 pts)

(1 pt) La somme des coefficients vaut $4$ : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = 4\,\overrightarrow{MG}$ .
(1 pt) $4MG = 8$ , donc $MG = 2$ : $\Gamma_1$ est le cercle de centre $G(2\,;2)$ et de rayon $2$ .

3. (3 pts)

(2 pts) Théorème 2 : $MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = 4MG^2 + GA^2 + GB^2 + 2GC^2$ , avec $GA^2 = 8$ , $GB^2 = 4 + 4 = 8$ et $GC^2 = 0 + 4 = 4$ : la constante vaut $8 + 8 + 8 = 24$ .
(1 pt) $4MG^2 + 24 = 60$ donne $MG^2 = 9$ : $\Gamma_2$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $3$ .

4. (2 pts)

(1 pt) $MA^2 - MB^2 = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}$ , avec $I(2\,;0)$ et $\overrightarrow{AB}(4\,;0)$ : pour $M(x\,;y)$ , cela vaut $2 \times 4(x - 2) = 8x - 16$ .
(1 pt) $8x - 16 = 8$ donne $x = 3$ : $\Gamma_3$ est la droite d'équation $x = 3$ , perpendiculaire à $(AB)$ .

Exercice 2

1. (2 pts)

(1 pt) $z_B - z_A = 2$ et $z_{B'} - z_{A'} = 2 + 2i$ : $AB = 2$ et $A'B' = |2 + 2i| = 2\sqrt2$ . $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big) = \arg\dfrac{2 + 2i}{2} = \arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4}$ .
(1 pt) Rapport $\dfrac{A'B'}{AB} = \sqrt2$ , angle $\dfrac{\pi}{4}$ .

2. (2 pts)

(1 pt) $a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A} = 1 + i$ et $b = z_{A'} - a\,z_A = 4i - (1 + i)(2 + 2i) = 4i - 4i = 0$ : $z' = (1 + i)z$ .
(1 pt) Le centre a pour affixe $\dfrac{b}{1 - a} = 0$ : c'est l'origine $O$ .

3. a. (1 pt) $(AB) : y = 2$ et $(A'B') : y = x + 4$ (elle passe par $(0\,;4)$ et $(2\,;6)$ ). Donc $P(-2\,;2)$ .

3. b. (2 pts)

(1 pt) $\overrightarrow{PA}(4\,;0)$ et $\overrightarrow{PA'}(2\,;2)$ : $\big(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PA'}\big) = \dfrac{\pi}{4}$ . $\overrightarrow{OA}(2\,;2)$ et $\overrightarrow{OA'}(0\,;4)$ : $\big(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OA'}\big) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$ .
(1 pt) $A$ , $A'$ , $P$ ne sont pas alignés et les deux angles sont égaux : par le théorème 7 (avec $A$ et $A'$ comme extrémités, $P$ et $O$ comme points d'observation), $O$ , $P$ , $A$ , $A'$ sont cocycliques. Le cercle a pour centre $(0\,;2)$ et pour rayon $2$ : les quatre points sont à la distance $2$ de $(0\,;2)$ .

4. (1,5 pt) L'image de $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $s(A) = A'(4i)$ et de rayon $\sqrt2 \times 1 = \sqrt2$ .

5. (2 pts)

(1 pt) $s(O) = O$ , $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$ : $OAB$ et $OA'B'$ sont directement semblables (définition).
(1 pt) $OAB$ a pour base $AB = 2$ (sur la droite $y = 2$ ) et pour hauteur $2$ : son aire vaut $2$ . Une similitude de rapport $\sqrt2$ multiplie les aires par $\left(\sqrt2\right)^2 = 2$ : l'aire de $OA'B'$ vaut $4$ .

6. (1,5 pt) $s = h\left(O, \sqrt2\right) \circ r\left(O, \dfrac{\pi}{4}\right) = r\left(O, \dfrac{\pi}{4}\right) \circ h\left(O, \sqrt2\right)$ , car $1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ .

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 et 2	O1 Réduire $\sum \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$ et l'utiliser
Ex. 1, 3 et 4	O2 Réduire $\sum \alpha_i MA_i^2$ ; O3 Lignes de niveau
Ex. 2, 1 et 2	O11 Déterminer une similitude et ses éléments caractéristiques ; O12 Étudier une similitude donnée par son expression complexe
Ex. 2, 3	O7 Lignes de niveau angulaires ; O8 Démontrer que quatre points sont cocycliques
Ex. 2, 4	O10 Image d'une figure simple par une similitude
Ex. 2, 5	O14 Critères de similitude des triangles
Ex. 2, 6	O13 Décomposer une similitude