Similitudes directes

6.1 Définition géométrique

Soit $k$ un réel strictement positif. Une similitude directe de rapport $k$ est une transformation $s$ du plan qui

• multiplie les distances par $k$ : pour tous points $M$, $N$ d'images $M'$, $N'$, on a $M'N' = k\,MN$ ;
• conserve les angles orientés : $\big(\overrightarrow{M'N'}, \overrightarrow{P'Q'}\big) = \big(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}\big)\ [2\pi]$ pour $M \neq N$ et $P \neq Q$.

Exemples. Les déplacements (rapport $1$) ; l'homothétie de rapport $\lambda \neq 0$ (rapport $|\lambda|$) ; les composées de ces transformations.

6.2 Le lien avec l'écriture complexe

Théorème 11. Une transformation $s$ est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est de la forme $z' = az + b$, avec $a \neq 0$. Son rapport est alors $k = |a|$.

Démonstration. Le chapitre 7 (leçon 7) a montré qu'une application $z' = az + b$ multiplie les distances par $|a|$ et conserve les quotients $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$, donc les angles orientés. Réciproquement, soit $s$ une similitude directe de rapport $k$, $A \neq B$ deux points, $A' = s(A)$ et $B' = s(B)$. Pour tout point $M \neq A$ d'image $M'$ :

• $\dfrac{A'M'}{A'B'} = \dfrac{k\,AM}{k\,AB} = \dfrac{AM}{AB}$ : les quotients $\dfrac{z_{M'} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}}$ et $\dfrac{z_M - z_A}{z_B - z_A}$ ont le même module ;
• $\big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'M'}\big) = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM}\big)$ : ils ont le même argument.

Ils sont donc égaux, et $z_{M'} = z_{A'} + a\,(z_M - z_A)$ avec $a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A}$ : c'est une écriture $z' = az + b$, qui reste vraie pour $M = A$.

On retrouve tout le chapitre 7 : si $a = 1$, $s$ est une translation ; sinon, $s$ a un unique point invariant, son centre $\Omega$, et $z' - \omega = a\,(z - \omega), \qquad a = k\,e^{i\theta}.$

6.3 Éléments caractéristiques

Une similitude directe $s$, qui n'est pas une translation, est déterminée par son centre $\Omega$, son rapport $k > 0$ et son angle $\theta$. On la note $s(\Omega, k, \theta)$.

• Pour tout point $M \neq \Omega$ : $\Omega M' = k\,\Omega M$ et $\big(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}\big) = \theta\ [2\pi]$.
• Pour tous points $A \neq B$ : $k = \dfrac{A'B'}{AB}$ et $\theta = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big)\ [2\pi]$. L'angle se lit sur n'importe quel vecteur et son image.
• Une similitude directe de rapport $1$ est un déplacement ; une similitude directe d'angle $0$ ou $\pi$ est une homothétie ou une translation.

6.4 Décomposer une similitude directe

Propriété (forme réduite). Si $s = s(\Omega, k, \theta)$, alors $s = h(\Omega, k) \circ r(\Omega, \theta) = r(\Omega, \theta) \circ h(\Omega, k).$ L'homothétie et la rotation ont le même centre, et l'ordre ne compte pas.

Démonstration. En écriture complexe, $r(\Omega, \theta)$ est $z \mapsto \omega + e^{i\theta}(z - \omega)$ et $h(\Omega, k)$ est $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ ; dans un ordre comme dans l'autre, la composée est $z \mapsto \omega + k\,e^{i\theta}(z - \omega)$.

D'autres décompositions.

• La rotation se décompose à son tour en deux réflexions d'axes passant par $\Omega$ (théorème 9) : $s = h(\Omega, k) \circ s_{D'} \circ s_D$, avec $\big(D, D'\big) = \frac{\theta}{2}$.
• Pour tout point $P$, $s = h(P, k) \circ d$, où $d = h\left(P, \frac{1}{k}\right) \circ s$ est une similitude directe de rapport $1$, donc un déplacement : une similitude directe est la composée d'un déplacement et d'une homothétie.

6.5 Composée et réciproque

Propriété. Si $s_1$ a pour rapport $k_1$ et pour angle $\theta_1$, et $s_2$ pour rapport $k_2$ et pour angle $\theta_2$ :

• $s_2 \circ s_1$ est une similitude directe de rapport $k_1k_2$ et d'angle $\theta_1 + \theta_2$ ;
• la réciproque $s_1^{-1}$ est une similitude directe de rapport $\dfrac{1}{k_1}$ et d'angle $-\theta_1$ (et de même centre).

Démonstration. Si $s_1 : z \mapsto a_1z + b_1$ et $s_2 : z \mapsto a_2z + b_2$, alors $s_2 \circ s_1 : z \mapsto a_2a_1z + a_2b_1 + b_2$, et $a_2a_1 = k_1k_2\,e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$. La réciproque est $z \mapsto \frac{1}{a_1}z - \frac{b_1}{a_1}$.

6.6 Image d'une figure simple

Une similitude directe $s$ de rapport $k$ transforme :

• un segment $[MN]$ en un segment $[M'N']$ de longueur $k\,MN$ ; une droite en une droite ;
• le cercle de centre $I$ et de rayon $R$ en le cercle de centre $s(I)$ et de rayon $kR$ ;
• un triangle en un triangle de mêmes angles orientés, dont l'aire est multipliée par $k^2$.

Elle conserve l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les milieux et les barycentres (c'est une application affine).

6.7 Déterminer une similitude directe

Par le centre, un point et son image. La similitude de centre $\Omega$ qui transforme $A$ en $A'$ ($A \neq \Omega$) a pour rapport $\dfrac{\Omega A'}{\Omega A}$ et pour angle $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega A'}\big)$.

Exemple 17 (dans un carré). $ABCD$ est un carré de sens direct, de centre $O$. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $O$.

• Rapport : $\dfrac{AO}{AB} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (la demi-diagonale vaut $\frac{\sqrt2}{2}AB$). Angle : $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}\big) = \dfrac{\pi}{4}$.
• Image de $C$ : $AC = \sqrt2\,AB$, donc $As(C) = \frac{\sqrt2}{2} \times \sqrt2\,AB = AB = AD$, et $\big(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{As(C)}\big) = \frac{\pi}{4}$, alors que $\big(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\big) = \frac{\pi}{4}$. Donc $s(C) = D$.
• Contrôle en complexes, avec $A(0)$, $B(1)$, $C(1 + i)$, $D(i)$ : $s : z \mapsto \frac{1 + i}{2}z$ et $\frac{1 + i}{2}(1 + i) = i$.

Par deux points et leurs images. Si $A \neq B$, il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$ (chapitre 7) : son rapport est $\dfrac{A'B'}{AB}$ et son angle $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big)$.

Construire le centre. Supposons que $s$ n'est pas une translation et que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ se coupent en un point $P$ (c'est le cas si $\theta \neq 0\ [\pi]$). Alors le centre $\Omega$ est le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $PAA'$ et $PBB'$.

Justification. $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega A'}\big) = \theta\ [2\pi]$. Par ailleurs $\overrightarrow{PA}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{PA'}$ à $\overrightarrow{A'B'}$, donc $\big(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PA'}\big) = \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big) = \theta\ [\pi]$. D'après le théorème 7, $\Omega$ est sur le cercle passant par $P$, $A$, $A'$. De même, il est sur le cercle passant par $P$, $B$, $B'$.

Exemple 18. $A(0\,;-1)$, $B(2\,;0)$, $A'(5\,;-1)$, $B'(3\,;3)$.

• $\overrightarrow{AB}(2\,;1)$ et $\overrightarrow{A'B'}(-2\,;4)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'B'} = 0$, $A'B' = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ et $AB = \sqrt5$. Le rapport vaut $2$ ; en tournant $\overrightarrow{AB}(2\,;1)$ d'un quart de tour direct, on obtient $(-1\,;2)$, et $\overrightarrow{A'B'} = 2\,(-1\,;2)$ : l'angle vaut $\dfrac{\pi}{2}$.
• $(AB) : y = \dfrac{x}{2} - 1$ et $(A'B') : y = -2x + 9$ se coupent en $P(4\,;1)$.
• Comme $\theta = \frac{\pi}{2}$, les cercles $PAA'$ et $PBB'$ sont les cercles de diamètres $[AA']$ et $[BB']$ : centres $(2{,}5\,;-1)$ et $(2{,}5\,;1{,}5)$, rayons $2{,}5$ et $\sqrt{2{,}5}$. Leurs points communs sont $P(4\,;1)$ et $\Omega(1\,;1)$.
• Contrôle en complexes : $a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A} = \dfrac{-2 + 4i}{2 + i} = 2i$, et $\omega + 2i(z_A - \omega) = 1 + i + 2i(-1 - 2i) = 5 - i = z_{A'}$ avec $\omega = 1 + i$.