Sommes de carrés de distances et lignes de niveau

On associe maintenant à tout point $M$ le nombre réel $f(M) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,MA_i^2.$ L'outil est le produit scalaire : $MA_i^2 = \overrightarrow{MA_i}^{\,2} = \overrightarrow{MA_i} \cdot \overrightarrow{MA_i}$.

2.1 Cas où $\sum \alpha_i \neq 0$

Théorème 2. Si $\alpha = \sum \alpha_i \neq 0$ et si $G$ est le barycentre des $(A_i, \alpha_i)$, alors, pour tout point $M$ : $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,MA_i^2 = \alpha\,MG^2 + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,GA_i^2.$

Démonstration. $MA_i^2 = \big(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA_i}\big)^2 = MG^2 + 2\,\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GA_i} + GA_i^2$. En multipliant par $\alpha_i$ et en additionnant : $f(M) = \alpha\,MG^2 + 2\,\overrightarrow{MG} \cdot \Big(\sum \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i}\Big) + \sum \alpha_i\,GA_i^2,$ et le terme du milieu est nul, car $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i} = \vec 0$.

Le nombre $\sum \alpha_i\,GA_i^2$ est une constante : $f(M)$ ne dépend que de la distance $MG$.

Exemple 5 (deux points, coefficients égaux). $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $I(2\,;0)$ milieu de $[AB]$. Avec $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$, $G = I$ et $IA^2 + IB^2 = 4 + 4 = 8$ : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 8.$ L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 = 26$ vérifie $2MI^2 = 18$, soit $MI = 3$ : c'est le cercle de centre $I$ et de rayon $3$. Contrôle en coordonnées : $x^2 + y^2 + (x - 4)^2 + y^2 = 26$ équivaut à $(x - 2)^2 + y^2 = 9$.

Exemple 6 (coefficients de signes contraires). $A(0\,;0)$, $B(3\,;0)$. Pour $2MA^2 - MB^2$, la somme des coefficients vaut $1$. Le barycentre $G$ de $(A, 2)$ et $(B, -1)$ a pour abscisse $\dfrac{2 \times 0 - 1 \times 3}{1} = -3$ : $G(-3\,;0)$. Alors $GA = 3$, $GB = 6$ et $2MA^2 - MB^2 = MG^2 + 2 \times 9 - 36 = MG^2 - 18.$ L'ensemble des points $M$ tels que $2MA^2 - MB^2 = 7$ est le cercle de centre $G(-3\,;0)$ et de rayon $5$ ($MG^2 = 25$). Le point $M(2\,;0)$ en fait partie : $2 \times 4 - 1 = 7$ et $MG = 5$.

2.2 Cas où $\sum \alpha_i = 0$

Théorème 3. Si $\sum \alpha_i = 0$, le vecteur $\vec u = \sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$ ne dépend pas du point $O$ (théorème 1) et, pour tout point $M$ : $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,MA_i^2 = 2\,\overrightarrow{MO} \cdot \vec u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,OA_i^2.$

Démonstration. $MA_i^2 = \big(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA_i}\big)^2 = MO^2 + 2\,\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OA_i} + OA_i^2$. En multipliant par $\alpha_i$ et en additionnant, le terme $\big(\sum \alpha_i\big)MO^2$ est nul.

Cas de deux points. Pour $MA^2 - MB^2$, avec $I$ milieu de $[AB]$ : $MA^2 - MB^2 = \big(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\big) \cdot \big(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\big) = \overrightarrow{BA} \cdot 2\,\overrightarrow{MI} = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}.$

Exemple 7. $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $I(2\,;0)$. L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 - MB^2 = 12$ vérifie $2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 12$. Si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$, $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} = 6$ : $H$ est sur $[IB)$ et $IH = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$. C'est la droite perpendiculaire à $(AB)$ au point $H(3{,}5\,;0)$. Contrôle : $x^2 + y^2 - (x - 4)^2 - y^2 = 8x - 16 = 12$ équivaut à $x = 3{,}5$.

2.3 Lignes de niveau

La ligne de niveau $k$ de $f$ est l'ensemble des points $M$ tels que $f(M) = k$.

Méthode. Calculer la somme des coefficients ; si elle n'est pas nulle, introduire le barycentre et réduire avec le théorème 2 ; sinon, réduire avec le théorème 3 (pour deux points : $MA^2 - MB^2 = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}$).