Isométries du plan, rappels et compléments

5.1 Définition et exemples

Une isométrie est une application $f$ du plan dans lui-même qui conserve les distances : pour tous points $M$ et $N$, $f(M)f(N) = MN$.

Exemples vus en Première : les translations, les rotations (dont les symétries centrales, rotations d'angle $\pi$) et les réflexions. La composée de deux isométries est une isométrie.

5.2 Une isométrie est une application affine

Théorème 8. Toute isométrie est une application affine. En particulier, elle conserve le barycentre, le milieu, l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité ; c'est une transformation (une bijection) du plan.

Démonstration. Soit $f$ une isométrie et $(O\,;\vec i, \vec j)$ un repère orthonormé, avec $\vec i = \overrightarrow{OI}$ et $\vec j = \overrightarrow{OJ}$. On note $O'$, $I'$, $J'$, $M'$, $N'$ les images de $O$, $I$, $J$, $M$, $N$.

1. $f$ conserve le produit scalaire. $\overrightarrow{O'M'} \cdot \overrightarrow{O'N'} = \dfrac{1}{2}\left(O'M'^2 + O'N'^2 - M'N'^2\right) = \dfrac{1}{2}\left(OM^2 + ON^2 - MN^2\right) = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$.
2. Donc les vecteurs $\vec{i}\,{}' = \overrightarrow{O'I'}$ et $\vec{j}\,{}' = \overrightarrow{O'J'}$ sont de norme $1$ et orthogonaux : $(O'\,;\vec{i}\,{}', \vec{j}\,{}')$ est un repère orthonormé.
3. Pour $M(x\,;y)$, on a $\overrightarrow{O'M'} \cdot \vec{i}\,{}' = \overrightarrow{OM} \cdot \vec i = x$ et $\overrightarrow{O'M'} \cdot \vec{j}\,{}' = \overrightarrow{OM} \cdot \vec j = y$. Les coordonnées de $M'$ dans le repère $(O'\,;\vec{i}\,{}', \vec{j}\,{}')$ sont donc $(x\,;y)$ : $\overrightarrow{O'M'} = x\,\vec{i}\,{}' + y\,\vec{j}\,{}'.$ En coordonnées dans le repère de départ, $x'$ et $y'$ s'écrivent $ax + by + p$ et $cx + dy + q$ : $f$ est affine. Elle est bijective, puisqu'un point $M'$ a un seul antécédent : celui qui a les mêmes coordonnées dans l'autre repère.

5.3 Déplacements et antidéplacements (rappels de Première)

Les isométries se partagent en deux classes :

• les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations ;
• les antidéplacements changent un angle orienté en son opposé : ce sont les réflexions et les symétries glissées (paragraphe 5.6).

Dans la démonstration du théorème 8, $f$ est un déplacement si le repère $(O'\,;\vec{i}\,{}', \vec{j}\,{}')$ est direct, un antidéplacement s'il est indirect. Pour les composées : déplacement $\circ$ déplacement et antidéplacement $\circ$ antidéplacement donnent un déplacement ; un déplacement composé avec un antidéplacement donne un antidéplacement.

5.4 Composée de deux réflexions

Théorème 9 (rappel de Première). Soit $D$ et $D'$ deux droites.

• Si $D$ et $D'$ sont parallèles, $s_{D'} \circ s_D$ est la translation de vecteur $2\,\overrightarrow{HH'}$, où $H \in D$, $H' \in D'$ et $(HH') \perp D$.
• Si $D$ et $D'$ sont sécantes en $\Omega$, $s_{D'} \circ s_D$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $2\big(\vec u, \vec{u}\,{}'\big)$, où $\vec u$ et $\vec{u}\,{}'$ dirigent $D$ et $D'$.

Réciproquement, une translation de vecteur $\vec w$ s'écrit $s_{D'} \circ s_D$ pour toute droite $D$ perpendiculaire à $\vec w$, avec $D' = t_{\frac12\vec w}(D)$ ; une rotation $r(\Omega, \theta)$ s'écrit $s_{D'} \circ s_D$ pour toute droite $D$ passant par $\Omega$, avec $D'$ passant par $\Omega$ et $\big(\vec u, \vec{u}\,{}'\big) = \frac{\theta}{2}\ [\pi]$. On choisit librement l'une des deux droites.

Exemple 13. $D : x = 1$ et $D' : x = 4$. Les expressions analytiques sont $s_D : (x\,;y) \mapsto (2 - x\,;y)$ et $s_{D'} : (x\,;y) \mapsto (8 - x\,;y)$, donc $s_{D'} \circ s_D : (x\,;y) \mapsto \big(8 - (2 - x)\,;y\big) = (x + 6\,;y)$ : c'est la translation de vecteur $(6\,;0)$, soit deux fois le vecteur $(3\,;0)$ qui va de $D$ à $D'$.

Exemple 14. $D : y = 0$ et $D' : y = x$, sécantes en $O$, avec $\big(\vec i, \vec i + \vec j\big) = \frac{\pi}{4}$. $s_D : (x\,;y) \mapsto (x\,;-y)$ et $s_{D'} : (x\,;y) \mapsto (y\,;x)$, donc $s_{D'} \circ s_D : (x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$ : c'est la rotation de centre $O$ et d'angle $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

5.5 Composée de deux rotations

Propriété. Soit $r_1 = r(A, \theta_1)$ et $r_2 = r(B, \theta_2)$, avec $A \neq B$. La composée $r_2 \circ r_1$ est :

• une rotation d'angle $\theta_1 + \theta_2$ si $\theta_1 + \theta_2 \neq 0\ [2\pi]$ ;
• une translation si $\theta_1 + \theta_2 = 0\ [2\pi]$.

Démonstration. Soit $\Delta = (AB)$. On décompose $r_1 = s_\Delta \circ s_{D_1}$, avec $D_1$ passant par $A$ et $(D_1, \Delta) = \frac{\theta_1}{2}$, et $r_2 = s_{D_2} \circ s_\Delta$, avec $D_2$ passant par $B$ et $(\Delta, D_2) = \frac{\theta_2}{2}$ : on a choisi $\Delta$ comme droite commune. Comme $s_\Delta \circ s_\Delta$ est l'identité, $r_2 \circ r_1 = s_{D_2} \circ s_{D_1}$, et l'angle de $D_1$ à $D_2$ vaut $\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$. Si $\theta_1 + \theta_2 \neq 0\ [2\pi]$, $D_1$ et $D_2$ se coupent en un point $C$ et on obtient la rotation de centre $C$ et d'angle $\theta_1 + \theta_2$ ; sinon, elles sont parallèles et on obtient une translation.

Exemple 15. $A(0\,;0)$, $B(2\,;0)$, $r_1 = r\left(A, \frac{\pi}{2}\right)$, $r_2 = r\left(B, \frac{\pi}{2}\right)$. Ici $D_1 : y = -x$ et $D_2 : y = x - 2$ se coupent en $C(1\,;-1)$ : $r_2 \circ r_1$ est la rotation de centre $C$ et d'angle $\pi$, c'est-à-dire la symétrie de centre $C(1\,;-1)$. Contrôle en complexes : $r_1 : z \mapsto iz$, $r_2 : z \mapsto i(z - 2) + 2$, donc $r_2 \circ r_1 : z \mapsto -z + 2 - 2i$, de centre $\dfrac{2 - 2i}{2} = 1 - i$.

5.6 Points invariants et classification

Théorème 10. Soit $f$ une isométrie.

Démonstration (trois premières lignes).

• Si $f$ fixe $A$ et $B$ distincts, elle fixe tout point $M = \mathrm{bar}\{(A, 1 - t), (B, t)\}$ de la droite $(AB)$, car elle conserve le barycentre. Si elle fixe en plus $C \notin (AB)$, elle fixe tout point du plan, qui est barycentre de $A$, $B$, $C$.
• Si les points fixes sont exactement ceux de $(AB)$ : pour $M \notin (AB)$, $M' \neq M$, $AM' = AM$ et $BM' = BM$. Les points $A$ et $B$ sont sur la médiatrice de $[MM']$, qui est donc $(AB)$ : $M' = s_{(AB)}(M)$.
• Si $\Omega$ est le seul point fixe : soit $A \neq \Omega$ et $A' = f(A)$. Comme $\Omega A' = \Omega A$, il existe une rotation $r$ de centre $\Omega$ telle que $r(A) = A'$. L'isométrie $g = r^{-1} \circ f$ fixe $\Omega$ et $A$ : c'est l'identité ou $s_{(\Omega A)}$. Dans le second cas, $f = r \circ s_{(\Omega A)}$ serait une réflexion (théorème 9), qui a toute une droite de points fixes : impossible. Donc $g$ est l'identité et $f = r$.

La dernière ligne est admise.

5.7 Symétrie glissée

Soit $D$ une droite et $\vec u$ un vecteur non nul qui dirige $D$. La composée $t_{\vec u} \circ s_D$ est la symétrie glissée d'axe $D$ et de vecteur $\vec u$.

• $t_{\vec u} \circ s_D = s_D \circ t_{\vec u}$ (l'ordre ne compte pas, car $\vec u$ est parallèle à $D$) ;
• elle n'a aucun point invariant, et sa composée avec elle-même est la translation $t_{2\vec u}$ ;
• pour tout point $M$, le milieu de $[MM']$ est sur l'axe $D$ ;
• c'est un antidéplacement (une réflexion suivie d'un déplacement).

Exemple 16. $f : (x\,;y) \mapsto (x + 2\,;-y + 4)$ est la réflexion d'axe $(O\,;\vec i)$ suivie de la translation de vecteur $(2\,;4)$. On décompose $(2\,;4) = (2\,;0) + (0\,;4)$ : la réflexion $(x\,;y) \mapsto (x\,;4 - y)$ a pour axe la droite $y = 2$, et $f : (x\,;y) \mapsto (x\,;4 - y) \mapsto (x + 2\,;4 - y).$ $f$ est la symétrie glissée d'axe $y = 2$ et de vecteur $(2\,;0)$. Elle n'a pas de point invariant, car $x + 2 = x$ est impossible.