QCM · Chapitre 11

Géométrie plane

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

Programme de S1 Questions des séries S1, S3 et S1A.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20 $G$ est le barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 3)$ . Alors
$\overrightarrow{AG} = \frac34\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AG} = \frac14\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AG} = 3\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AG} = \frac43\overrightarrow{AB}$

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Réponse A. $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{1 + 3}\overrightarrow{AB}$ : $G$ est plus près de $B$ , qui a le plus gros coefficient. La réponse B inverse les rôles de $A$ et $B$ .
Question 2 sur 20 $I$ est le milieu de $[AB]$ . Pour tout point $M$ , le vecteur $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}$ est égal à
$2\,\overrightarrow{CI}$ $2\,\overrightarrow{MI}$ $\vec 0$ $2\,\overrightarrow{IC}$

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Réponse A. La somme des coefficients est nulle : le vecteur est constant. Avec $M = C$ , il vaut $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\,\overrightarrow{CI}$ . La réponse D a le mauvais sens.
Question 3 sur 20 $AB = 6$ et $I$ est le milieu de $[AB]$ . L'ensemble des points $M$ tels que $\big\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\big\| = 6$ est
le cercle de centre $I$ et de rayon $3$ le cercle de centre $I$ et de rayon $6$ le cercle de centre $A$ et de rayon $6$ la médiatrice de $[AB]$

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Réponse A. $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}$ , donc $2MI = 6$ et $MI = 3$ . La réponse B oublie le facteur $2$ .
Question 4 sur 20 $AB = 4$ et $I$ est le milieu de $[AB]$ . Pour tout point $M$ , $MA^2 + MB^2$ est égal à
$2MI^2 + 8$ $2MI^2 + 16$ $MI^2 + 8$ $2MI^2 - 8$

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Réponse A. Théorème 2 avec $G = I$ : $2MI^2 + IA^2 + IB^2 = 2MI^2 + 4 + 4$ . La réponse B utilise $AB^2$ au lieu de $IA^2 + IB^2$ .
Question 5 sur 20L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 - MB^2 = 0$ est
la médiatrice de $[AB]$ le cercle de diamètre $[AB]$ la droite $(AB)$ le milieu de $[AB]$

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Réponse A. $MA^2 = MB^2$ signifie $MA = MB$ . Avec le théorème 3 : $2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ , la droite perpendiculaire à $(AB)$ en $I$ .
Question 6 sur 20 $AB = 4$ et $I$ est le milieu de $[AB]$ . L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 = 8$ est
le point $I$ l'ensemble vide le cercle de centre $I$ et de rayon $2$ le cercle de diamètre $[AB]$

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Réponse A. $2MI^2 + 8 = 8$ donne $MI = 0$ . Les réponses C et D correspondent à $MA^2 + MB^2 = 16$ .
Question 7 sur 20Laquelle de ces applications n'est pas affine ?
$(x\,;y) \mapsto (x^2\,;y)$ $(x\,;y) \mapsto (2x - y + 1\,;x + 3)$ $(x\,;y) \mapsto (y\,;x)$ $(x\,;y) \mapsto (x\,;0)$

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Réponse A. Elle ne conserve pas le milieu : $(0\,;0)$ et $(2\,;0)$ ont pour images $(0\,;0)$ et $(4\,;0)$ , mais leur milieu $(1\,;0)$ reste en $(1\,;0)$ . La projection D est affine, même si ce n'est pas une transformation.
Question 8 sur 20 $f$ est une application affine et $I$ est le milieu de $[AB]$ . Alors $f(I)$
est le milieu de $[f(A)f(B)]$ est égal à $f(A)$ est le milieu de $[f(A)f(B)]$ seulement si $f$ est une isométrie peut être n'importe quel point de la droite $(f(A)f(B))$

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Réponse A. Toute application affine conserve le barycentre (théorème 4), donc le milieu, même si elle ne conserve pas les distances.
Question 9 sur 20L'application $f$ est définie par $x' = 2x - y + 1$ et $y' = x + y - 2$ . L'image du point $(1\,;1)$ est
$(2\,;0)$ $(3\,;1)$ $(0\,;2)$ $(2\,;-1)$

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Réponse A. $x' = 2 - 1 + 1 = 2$ et $y' = 1 + 1 - 2 = 0$ .
Question 10 sur 20L'ensemble des points $M$ , distincts de $A$ et $B$ , tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \frac{\pi}{2}\ [\pi]$ est
le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ un demi-cercle de diamètre $[AB]$ la médiatrice de $[AB]$ la droite $(AB)$

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Réponse A. À $\pi$ près, on réunit les deux arcs : le cercle entier. Avec « $[2\pi]$ », on n'aurait qu'un demi-cercle (réponse B).
Question 11 sur 20L'ensemble des points $M$ , distincts de $A$ et $B$ , tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \pi\ [2\pi]$ est
le segment $[AB]$ privé de $A$ et $B$ la droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$ un cercle passant par $A$ et $B$ l'ensemble vide

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Réponse A. Les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont de sens contraires : $M$ est entre $A$ et $B$ . La réponse B correspond à l'angle $0$ .
Question 12 sur 20 $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, et $D$ est un point distinct de $A$ , $B$ , $C$ tel que $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \big(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}\big)\ [\pi]$ . Alors
$D$ est sur le cercle circonscrit au triangle $ABC$ $D$ est sur la droite $(AB)$ $ABCD$ est un parallélogramme $D$ est le centre du cercle circonscrit

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Réponse A. C'est le critère de cocyclicité (théorème 7).
Question 13 sur 20 $D$ et $D'$ sont deux droites parallèles distantes de $3$ . La composée $s_{D'} \circ s_D$ est
une translation de vecteur de norme $6$ , perpendiculaire à $D$ une translation de vecteur de norme $3$ une rotation d'angle $\pi$ une réflexion

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Réponse A. Théorème 9 : le vecteur est $2\,\overrightarrow{HH'}$ , de norme $2 \times 3 = 6$ .
Question 14 sur 20 $D$ et $D'$ sont sécantes en $O$ , et l'angle de $D$ à $D'$ vaut $\frac{\pi}{6}$ . La composée $s_{D'} \circ s_D$ est
la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{12}$ la symétrie de centre $O$

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Réponse A. L'angle de la rotation est le double de l'angle des axes.
Question 15 sur 20Une isométrie qui a exactement un point invariant $\Omega$ est
une rotation de centre $\Omega$ , d'angle non nul une réflexion une translation une symétrie glissée

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Réponse A. Théorème 10. Une réflexion a toute une droite de points invariants ; une translation non nulle et une symétrie glissée n'en ont aucun.
Question 16 sur 20Une similitude directe transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$ , avec $AB = 2$ , $A'B' = 6$ et $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'}\big) = \frac{\pi}{3}$ . Son rapport et son angle sont
$3$ et $\frac{\pi}{3}$ $\frac13$ et $\frac{\pi}{3}$ $3$ et $-\frac{\pi}{3}$ $4$ et $\frac{\pi}{3}$

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Réponse A. Rapport $\frac{A'B'}{AB} = 3$ ; l'angle se lit sur un vecteur et son image.
Question 17 sur 20 $s_1$ a pour rapport $2$ et pour angle $\frac{\pi}{3}$ ; $s_2$ a pour rapport $\frac12$ et pour angle $\frac{2\pi}{3}$ . La composée $s_2 \circ s_1$ est
une symétrie centrale une translation l'identité une similitude de rapport $\frac52$ et d'angle $\pi$

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Réponse A. Rapport $2 \times \frac12 = 1$ , angle $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$ : le coefficient vaut $-1 \neq 1$ , c'est une rotation d'angle $\pi$ , donc une symétrie centrale. Les rapports se multiplient, ils ne s'additionnent pas (réponse D).
Question 18 sur 20La similitude directe de centre $\Omega$ , de rapport $2$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ est égale à
$h(\Omega, 2) \circ r\left(\Omega, \frac{\pi}{2}\right)$ $h(\Omega, 2) \circ r(\Omega, \pi)$ $r\left(\Omega, \frac{\pi}{2}\right) \circ h\left(\Omega, \frac12\right)$ $h\left(\Omega, \frac{\pi}{2}\right) \circ r(\Omega, 2)$

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Réponse A. C'est la forme réduite : homothétie et rotation de même centre, dans un ordre ou dans l'autre.
Question 19 sur 20Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ vérifient $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}\big)\ [2\pi]$ , $A'B' = 2AB$ et $A'C' = 2AC$ . Ils sont
directement semblables semblables, mais pas directement isométriques on ne peut rien conclure

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Réponse A. Critère 2 du théorème 12 : un angle orienté égal, compris entre des côtés proportionnels.
Question 20 sur 20 $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 3$ et $AC = 4$ . La hauteur $AH$ mesure
$2{,}4$ $2{,}5$ $1{,}8$ $3{,}5$

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Réponse A. $BC = 5$ et, avec l'aire, $AB \times AC = BC \times AH$ , donc $AH = \frac{12}{5}$ . La réponse C est $BH = \frac{AB^2}{BC}$ , la réponse B est la moitié de l'hypoténuse.