Angles orientés, lignes de niveau et cocyclicité

4.1 Rappels

• Relation de Chasles : $\big(\vec u, \vec v\big) + \big(\vec v, \vec w\big) = \big(\vec u, \vec w\big)\ [2\pi]$ ; $\big(\vec v, \vec u\big) = -\big(\vec u, \vec v\big)\ [2\pi]$ ; $\big(-\vec u, \vec v\big) = \big(\vec u, \vec v\big) + \pi\ [2\pi]$.
• Théorème de l'angle inscrit (forme orientée, admis). Soit $\Gamma$ un cercle de centre $\Omega$, et $A$, $B$ deux points distincts de $\Gamma$. Pour tout point $M$ de $\Gamma$ distinct de $A$ et de $B$ : $2\,\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}\big)\ [2\pi].$ Conséquence : quand $M$ parcourt $\Gamma$ privé de $A$ et $B$, l'angle $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big)$ est constant à $\pi$ près.

4.2 La ligne de niveau $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [2\pi]$

Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $\alpha$ un réel. On cherche l'ensemble $E_\alpha$ des points $M$, distincts de $A$ et de $B$, tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [2\pi]$.

Théorème 5 (arc capable, vu en Première).

• Si $\alpha = 0\ [2\pi]$ : $E_\alpha$ est la droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$ ($\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ ont le même sens).
• Si $\alpha = \pi\ [2\pi]$ : $E_\alpha$ est le segment $[AB]$ privé de $A$ et de $B$.
• Sinon : $E_\alpha$ est un arc de cercle d'extrémités $A$ et $B$, privé de $A$ et de $B$. Son cercle $\Gamma$ a pour centre le point $\Omega$ de la médiatrice de $[AB]$ tel que $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}\big) = 2\alpha\ [2\pi]$. Sur l'autre arc de $\Gamma$, l'angle vaut $\alpha + \pi$.

En pratique, pour savoir lequel des deux arcs convient, on teste un point de l'un d'eux.

Exemple 10. $A(-1\,;0)$, $B(1\,;0)$ et $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$. Le point $M_0\big(0\,;\sqrt3\big)$ convient : $ABM_0$ est équilatéral et, avec $\overrightarrow{M_0A}\big(-1\,;-\sqrt3\big)$ et $\overrightarrow{M_0B}\big(1\,;-\sqrt3\big)$, on passe du premier au second en tournant de $\frac{\pi}{3}$ dans le sens direct. Le centre $\Omega$ est sur l'axe des ordonnées, avec $\big(\overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}\big) = \frac{2\pi}{3}$ : $\Omega\left(0\,;\frac{\sqrt3}{3}\right)$, et le rayon vaut $\Omega A = \frac{2\sqrt3}{3}$. $E_{\pi/3}$ est l'arc de ce cercle situé au-dessus de l'axe des abscisses ; sur l'arc du dessous, l'angle vaut $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$, soit $-\frac{2\pi}{3}$.

4.3 La ligne de niveau $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [\pi]$

Théorème 6. L'ensemble des points $M$, distincts de $A$ et de $B$, tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [\pi]$ est :

• la droite $(AB)$ privée de $A$ et de $B$, si $\alpha = 0\ [\pi]$ ;
• sinon, le cercle $\Gamma$ du théorème 5, privé de $A$ et de $B$.

Démonstration. La condition « $= \alpha\ [\pi]$ » signifie « $= \alpha\ [2\pi]$ ou $= \alpha + \pi\ [2\pi]$ ». Les deux arcs correspondants ont le même centre, puisque $2(\alpha + \pi) = 2\alpha\ [2\pi]$ : leur réunion est le cercle $\Gamma$ privé de $A$ et $B$. Si $\alpha = 0\ [\pi]$, on réunit la droite $(AB)$ privée de $[AB]$ et le segment ouvert.

Cas particulier très utile. $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$, privé de $A$ et de $B$.

4.4 Démontrer que quatre points sont cocycliques

Des points sont cocycliques s'ils sont sur un même cercle.

Théorème 7. Soit $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points distincts, tels que $A$, $B$, $C$ ne soient pas alignés. Les quatre points sont cocycliques si et seulement si $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \big(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}\big)\ [\pi].$

Démonstration. Posons $\alpha = \big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big)$ ; comme $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, $\alpha \neq 0\ [\pi]$. D'après le théorème 6, l'ensemble des points $M \neq A, B$ tels que $\big(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\big) = \alpha\ [\pi]$ est le cercle passant par $A$, $B$ et $C$, privé de $A$ et $B$. Le point $D$ est sur ce cercle si et seulement si il vérifie l'égalité.

Remarque. Avec l'égalité à $2\pi$ près, $C$ et $D$ sont sur le même arc ; avec un écart de $\pi$, ils sont sur les deux arcs différents. Au chapitre 7, ce critère a été traduit avec les nombres complexes : $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \arg\dfrac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\ [2\pi]$.

Exemple 11 (pieds des hauteurs). Soit $ABC$ un triangle non rectangle, $A'$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $B'$ celui de la hauteur issue de $B$. Alors $\big(\overrightarrow{A'A}, \overrightarrow{A'B}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ et $\big(\overrightarrow{B'A}, \overrightarrow{B'B}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$. D'après le cas particulier du théorème 6, $A'$ et $B'$ sont sur le cercle de diamètre $[AB]$ : $A$, $B$, $A'$, $B'$ sont cocycliques.

Exemple 12 (en coordonnées). $A(0\,;0)$, $B(6\,;0)$, $C(2\,;4)$, $D(4\,;-2)$. Avec les nombres complexes : $\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C} = \frac{4 - 4i}{-2 - 4i} = \frac{2 + 6i}{5} \qquad \text{et} \qquad \frac{z_B - z_D}{z_A - z_D} = \frac{2 + 2i}{-4 + 2i} = \frac{-1 - 3i}{5}.$ Le quotient du premier par le second vaut $-2$, un réel négatif : les deux angles diffèrent de $\pi$. Donc $\big(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\big) = \big(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}\big)\ [\pi]$ et, $A$, $B$, $C$ n'étant pas alignés, les quatre points sont cocycliques, $C$ et $D$ étant sur des arcs différents. Le cercle a pour centre $\Omega(3\,;1)$ et pour rayon $\sqrt{10}$ : on vérifie $\Omega A^2 = \Omega B^2 = \Omega C^2 = \Omega D^2 = 10$.