Barycentres et réduction d'une somme de vecteurs

1.1 Rappels sur le barycentre

Soit $(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)$ des points pondérés, avec $\alpha = \alpha_1 + \dots + \alpha_n \neq 0$. Il existe un unique point $G$ tel que $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i} = \vec 0.$ C'est le barycentre des points pondérés ; on écrit $G = \mathrm{bar}\{(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$.

• Position. Pour tout point $O$ : $\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{\alpha}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$. En coordonnées : $x_G = \dfrac{\sum \alpha_i x_i}{\alpha}$ et $y_G = \dfrac{\sum \alpha_i y_i}{\alpha}$.
• Homogénéité. On ne change pas le barycentre en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul.
• Associativité (barycentres partiels). Si $\alpha_1 + \alpha_2 \neq 0$ et $H = \mathrm{bar}\{(A_1, \alpha_1), (A_2, \alpha_2)\}$, alors $G = \mathrm{bar}\{(H, \alpha_1 + \alpha_2), (A_3, \alpha_3), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$.
• Quand tous les coefficients sont égaux, $G$ est l'isobarycentre ; pour trois points, c'est le centre de gravité du triangle.

1.2 Réduction de $\sum \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$

À tout point $M$ du plan, on associe le vecteur $\vec f(M) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}.$

Théorème 1.

• Si $\alpha = \sum \alpha_i \neq 0$ et si $G$ est le barycentre des $(A_i, \alpha_i)$, alors, pour tout point $M$ : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i} = \alpha\,\overrightarrow{MG}$.
• Si $\alpha = 0$, le vecteur $\vec f(M)$ ne dépend pas de $M$ : pour tout point $O$, $\vec f(M) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$.

Démonstration. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{MA_i} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA_i}$ pour tout point $O$, donc $\vec f(M) = \Big(\sum \alpha_i\Big)\overrightarrow{MO} + \sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i} = \alpha\,\overrightarrow{MO} + \sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}.$ Si $\alpha = 0$, il reste $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{OA_i}$, qui ne dépend pas de $M$. Si $\alpha \neq 0$, on prend $O = G$ : $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i} = \vec 0$, donc $\vec f(M) = \alpha\,\overrightarrow{MG}$.

L'écriture $\alpha\,\overrightarrow{MG}$ est la forme réduite : une somme de $n$ vecteurs qui dépendent de $M$ devient un seul vecteur.

1.3 Utiliser la forme réduite

Exemple 1 (un ensemble de points). Dans un repère orthonormé, $A(-2\,;0)$, $B(4\,;0)$ et $C(1\,;6)$. On cherche l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que $\big\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\big\| = 8$.

• La somme des coefficients vaut $1 + 1 + 2 = 4 \neq 0$. Le barycentre $G$ de $(A, 1)$, $(B, 1)$, $(C, 2)$ a pour coordonnées $x_G = \dfrac{-2 + 4 + 2}{4} = 1$ et $y_G = \dfrac{0 + 0 + 12}{4} = 3$ : $G(1\,;3)$.
• Par le théorème 1, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = 4\,\overrightarrow{MG}$, donc la condition s'écrit $4MG = 8$, soit $MG = 2$.

$\Gamma$ est le cercle de centre $G(1\,;3)$ et de rayon $2$.

Exemple 2 (un vecteur constant). Avec les mêmes points, la somme des coefficients de $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}$ est nulle. En prenant $O = C$ : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\,\overrightarrow{CI},$ où $I$ est le milieu de $[AB]$. Ici $I(1\,;0)$ et $2\,\overrightarrow{CI}$ a pour coordonnées $(0\,;-12)$, quel que soit $M$.

Exemple 3 (un cercle de diamètre donné). Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$. L'ensemble des points $M$ tels que $\big\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\big\| = \big\|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\big\|$ :

• $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}$ (coefficients $1$ et $1$) ;
• $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}$ (coefficients $1$ et $-1$, de somme nulle).

La condition s'écrit $2MI = AB$, soit $MI = \dfrac{AB}{2}$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$.

Exemple 4 (alignement par associativité). Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ et $G = \mathrm{bar}\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$. Comme $I = \mathrm{bar}\{(B, 1), (C, 1)\}$, l'associativité donne $G = \mathrm{bar}\{(A, 2), (I, 2)\}$ : $G$ est le milieu de $[AI]$. En particulier, $A$, $G$ et $I$ sont alignés.