Applications affines

3.1 Définition

Le plan est muni d'un repère $(O\,;\vec i, \vec j)$. Une application $f$ du plan dans lui-même est affine si elle s'écrit, pour tout point $M(x\,;y)$ d'image $M'(x'\,;y')$ : $\begin{cases} x' = ax + by + p \\ y' = cx + dy + q \end{cases} \qquad (a, b, c, d, p, q \text{ réels}).$

Application linéaire associée. Si $M(x\,;y)$ et $N(x + X\,;y + Y)$, on calcule $\overrightarrow{M'N'}\,(aX + bY\,;cX + dY)$ : le vecteur $\overrightarrow{M'N'}$ ne dépend que du vecteur $\overrightarrow{MN}$. L'application $\varphi : \vec w(X\,;Y) \longmapsto \vec w'(aX + bY\,;cX + dY)$ est l'application linéaire associée à $f$ : $\overrightarrow{M'N'} = \varphi\big(\overrightarrow{MN}\big)$. Elle vérifie $\varphi(\vec u + \vec v) = \varphi(\vec u) + \varphi(\vec v)$ et $\varphi(\lambda\vec u) = \lambda\,\varphi(\vec u)$. On n'en dira pas plus, comme le demande le programme.

Exemples. Les transformations vues en Seconde et en Première sont affines :

• la translation de vecteur $\vec w(p\,;q)$ : $x' = x + p$, $y' = y + q$ ;
• l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $x' = kx$, $y' = ky$ ;
• la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ (repère orthonormé direct) : $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$, $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$ ;
• la réflexion d'axe $(O\,;\vec i)$ : $x' = x$, $y' = -y$.

D'autres applications affines ne sont ni des isométries ni des similitudes : la projection sur l'axe des abscisses ($x' = x$, $y' = 0$), ou l'application $x' = x$, $y' = 2y$, qui étire le plan verticalement.

Bijection. Pour trouver l'antécédent d'un point $M'(x'\,;y')$, on résout le système $ax + by = x' - p$, $cx + dy = y' - q$. Il a une solution unique, quel que soit $M'$, si et seulement si $ad - bc \neq 0$ : $f$ est alors une transformation (une bijection du plan).

3.2 Conservation du barycentre

Théorème 4. Une application $f$ du plan dans lui-même est affine si et seulement si elle conserve le barycentre : pour tous points pondérés $(A_i, \alpha_i)$ de somme $\alpha \neq 0$, l'image de leur barycentre $G$ est le barycentre des points $(f(A_i), \alpha_i)$.

Démonstration.

• Si $f$ est affine. Notons $A_i(x_i\,;y_i)$ et $A_i'$ son image. Alors $x_G = \dfrac{\sum \alpha_i x_i}{\alpha}$ et $y_G = \dfrac{\sum \alpha_i y_i}{\alpha}$, et $x_{G'} = a\,x_G + b\,y_G + p = \frac{\sum \alpha_i\,(a x_i + b y_i + p)}{\alpha} = \frac{\sum \alpha_i\,x_i'}{\alpha},$ car $\dfrac{\sum \alpha_i\,p}{\alpha} = p$. De même pour $y_{G'}$ : $G'$ est le barycentre des $(A_i', \alpha_i)$.
• Si $f$ conserve le barycentre. Soit $I(1\,;0)$ et $J(0\,;1)$. Tout point $M(x\,;y)$ est le barycentre de $(O, 1 - x - y)$, $(I, x)$, $(J, y)$, car $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$. Son image est donc le barycentre de $(O', 1 - x - y)$, $(I', x)$, $(J', y)$ : $\overrightarrow{O'M'} = x\,\overrightarrow{O'I'} + y\,\overrightarrow{O'J'}.$ En coordonnées, $x'$ et $y'$ sont de la forme $ax + by + p$ et $cx + dy + q$ : $f$ est affine.

Conséquences. Soit $f$ une application affine.

1. L'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$ ; l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.
2. Si $\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'C'} = t\,\overrightarrow{A'B'}$ : $f$ conserve l'alignement et les rapports de longueurs sur une même droite.
3. L'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$ si $A' \neq B'$, le point $A'$ sinon. L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$.
4. Deux droites parallèles ont des images parallèles (ou réduites à des points).
5. L'image d'un parallélogramme est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Justification de 2 et 3. $\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB}$ signifie $C = \mathrm{bar}\{(A, 1 - t), (B, t)\}$, donc $C' = \mathrm{bar}\{(A', 1 - t), (B', t)\}$. Quand $t$ décrit $\mathbb{R}$, $C$ décrit la droite $(AB)$ ; quand $t$ décrit $[0\,;1]$, il décrit le segment $[AB]$.

3.3 Une application qui ne conserve pas le barycentre

Le programme demande des contre-exemples. Soit $g$ l'application qui transforme $M(x\,;y)$ en $M'(x^2\,;y)$. Avec $A(0\,;0)$, $B(2\,;0)$ et leur milieu $I(1\,;0)$ : $A'(0\,;0)$, $B'(4\,;0)$, $I'(1\,;0)$, alors que le milieu de $[A'B']$ est $(2\,;0)$. L'application $g$ ne conserve pas le milieu : elle n'est pas affine.

3.4 Images d'ensembles de points

Exemple 8. Soit $f$ l'application définie par $x' = 2x - y + 1$, $y' = x + y - 2$.

• $f$ est affine ; son application linéaire associée est $\varphi(X\,;Y) = (2X - Y\,;X + Y)$, et $ad - bc = 2 \times 1 - (-1) \times 1 = 3 \neq 0$ : $f$ est une transformation.
• Images : $A(0\,;0) \mapsto A'(1\,;-2)$, $B(2\,;0) \mapsto B'(5\,;0)$, $C(0\,;3) \mapsto C'(-2\,;1)$.
• Le milieu $(1\,;0)$ de $[AB]$ a pour image $(3\,;-1)$, qui est bien le milieu de $[A'B']$. Le centre de gravité $\left(\frac23\,;1\right)$ de $ABC$ a pour image $\left(\frac43\,;-\frac13\right)$, qui est bien celui de $A'B'C'$.
• Image de la droite $D : y = x$. Ses points s'écrivent $M(t\,;t)$, d'images $M'(t + 1\,;2t - 2)$. En éliminant $t = x' - 1$, on obtient $y' = 2x' - 4$ : l'image de $D$ est la droite d'équation $y = 2x - 4$.

Attention. Une application affine ne transforme pas toujours un cercle en cercle. Par $x' = x$, $y' = 2y$, le point $(1\,;0)$ du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ reste à la distance $1$ de $O$, tandis que le point $(0\,;1)$ a pour image $(0\,;2)$, à la distance $2$ : l'image n'est pas un cercle (c'est une ellipse, étudiée au chapitre sur les coniques).

3.5 Démontrer avec une application affine

Exemple 9. L'image d'un parallélogramme par une application affine $f$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$. Par conservation du milieu, $f(K)$ est le milieu de $[A'C']$ et de $[B'D']$ : $A'B'C'D'$ est un parallélogramme.