Systèmes de numération

8.1 La base dix

Notre écriture des nombres est positionnelle : la valeur d'un chiffre dépend de sa place. Par exemple $2\,026 = 2 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 6 \times 10^0.$ Les chiffres sont $0$, $1$, …, $9$ : il y en a dix, autant que la base.

8.2 Écriture en base $b$

Théorème (admis). Soit $b$ un entier, $b \geq 2$. Tout entier naturel non nul $n$ s'écrit de façon unique $n = a_k\,b^k + a_{k-1}\,b^{k-1} + \dots + a_1\,b + a_0,$ où les chiffres $a_0$, $a_1$, …, $a_k$ sont des entiers tels que $0 \leq a_i \leq b - 1$, avec $a_k \neq 0$. On note $n = \overline{a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0}^{\,b}$.

On rencontre aussi la notation $(a_k \dots a_0)_b$. Sans indication, un nombre est écrit en base dix.

8.3 Passer de la base $b$ à la base dix

On développe avec les puissances de $b$.

Exemple 37.

• $\overline{10110}^{\,2} = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2 + 0 = 16 + 4 + 2 = 22$ ;
• $\overline{3412}^{\,5} = 3 \times 5^3 + 4 \times 5^2 + 1 \times 5 + 2 = 375 + 100 + 5 + 2 = 482$ ;
• $\overline{7\mathrm{EA}}^{\,16} = 7 \times 16^2 + 14 \times 16 + 10 = 1\,792 + 224 + 10 = 2\,026$.

8.4 Passer de la base dix à la base $b$ : les divisions successives

$n = a_k\,b^k + \dots + a_1\,b + a_0 = b\,(a_k\,b^{k-1} + \dots + a_1) + a_0$ avec $0 \leq a_0 < b$ : le dernier chiffre $a_0$ est le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$. On recommence avec le quotient, qui donne $a_1$, et ainsi de suite jusqu'à un quotient nul.

Méthode. On divise $n$ par $b$, puis le quotient par $b$, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul. On lit les restes du dernier au premier.

Exemple 38. $45$ en base deux.

Division	Reste
$45 = 2 \times 22 + 1$	$1$
$22 = 2 \times 11 + 0$	$0$
$11 = 2 \times 5 + 1$	$1$
$5 = 2 \times 2 + 1$	$1$
$2 = 2 \times 1 + 0$	$0$
$1 = 2 \times 0 + 1$	$1$

En lisant les restes de bas en haut : $45 = \overline{101101}^{\,2}$. Vérification : $32 + 8 + 4 + 1 = 45$.

Exemple 39. $2\,026$ en base seize : $2\,026 = 16 \times 126 + 10$, $126 = 16 \times 7 + 14$, $7 = 16 \times 0 + 7$. Les restes, lus de bas en haut, sont $7$, $14$, $10$ : $2\,026 = \overline{7\mathrm{EA}}^{\,16}$.

En base cinq : $2\,026 = \overline{31101}^{\,5}$ ; en base deux : $2\,026 = \overline{11111101010}^{\,2}$.

8.5 De la base deux à la base seize

Comme $16 = 2^4$, chaque chiffre hexadécimal correspond à un paquet de quatre chiffres binaires. On groupe les chiffres binaires par quatre à partir de la droite, et on traduit chaque paquet.

Exemple 40. $\overline{11111101010}^{\,2}$ : on groupe $\underbrace{0111}_{7}\ \underbrace{1110}_{\mathrm{E}}\ \underbrace{1010}_{\mathrm{A}}$ (on complète à gauche par un $0$). On retrouve $\overline{7\mathrm{EA}}^{\,16}$.

En informatique. Un ordinateur travaille en binaire : un bit vaut $0$ ou $1$, et un octet est une suite de $8$ bits. Un octet s'écrit avec deux chiffres hexadécimaux ; sa plus grande valeur est $\overline{11111111}^{\,2} = \overline{\mathrm{FF}}^{\,16} = 255$. L'hexadécimal sert ainsi à écrire de façon courte de longues suites de bits.

8.6 Numération et congruences

L'écriture en base $b$ se combine avec les congruences.

• Modulo $b$, un entier est congru à son dernier chiffre : $n \equiv a_0 \;[b]$. Ainsi un entier écrit en base deux est pair si, et seulement si, son dernier chiffre est $0$.
• En base cinq, $5 \equiv 1 \;[4]$ : un entier est congru modulo $4$ à la somme de ses chiffres en base cinq. Par exemple, $\overline{3412}^{\,5}$ a pour somme des chiffres $10 \equiv 2 \;[4]$, et en effet $482 = 4 \times 120 + 2$.