QCM · Chapitre 10

Arithmétique

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

Programme de S1 Questions des séries S1, S3 et S1A.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20Lequel de ces nombres divise $84$ ?
$8$ $9$ $12$ $15$

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Réponse C. $84 = 12 \times 7$ . En revanche $84 = 8 \times 10 + 4$ , $84 = 9 \times 9 + 3$ et $84 = 15 \times 5 + 9$ : les restes ne sont pas nuls.
Question 2 sur 20Dans la division euclidienne de $-23$ par $5$ , le quotient $q$ et le reste $r$ sont
$q = -4$ et $r = -3$ $q = -5$ et $r = 2$ $q = -4$ et $r = 3$ $q = 4$ et $r = 3$

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Réponse B. $-23 = 5 \times (-5) + 2$ avec $0 \leq 2 < 5$ . L'écriture $5 \times (-4) - 3$ est juste, mais $-3$ n'est pas un reste : un reste n'est jamais négatif.
Question 3 sur 20Le reste de la division euclidienne de $2\,026$ par $9$ est
$0$ $1$ $2$ $6$

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Réponse B. Un entier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres : $2 + 0 + 2 + 6 = 10 \equiv 1 \;[9]$ . En effet, $2\,026 = 9 \times 225 + 1$ .
Question 4 sur 20Laquelle de ces congruences est vraie ?
$15 \equiv 3 \;[7]$ $20 \equiv 2 \;[7]$ $-3 \equiv 4 \;[7]$ $-1 \equiv 1 \;[7]$

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Réponse C. $-3 - 4 = -7$ est un multiple de $7$ . Les autres différences, $12$ , $18$ et $-2$ , ne sont pas des multiples de $7$ .
Question 5 sur 20Le reste de la division euclidienne de $2^{30}$ par $7$ est
$2$ $4$ $0$ $1$

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Réponse D. $2^3 = 8 \equiv 1 \;[7]$ , donc $2^{30} = (2^3)^{10} \equiv 1 \;[7]$ . Le reste ne peut pas être $0$ , car $7$ ne divise aucune puissance de $2$ .
Question 6 sur 20Aujourd'hui est un lundi. Dans $100$ jours, nous serons un
mardi mercredi jeudi lundi

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Réponse B. $100 = 7 \times 14 + 2$ , donc $100 \equiv 2 \;[7]$ : on avance de deux jours à partir du lundi.
Question 7 sur 20 $\mathrm{PGCD}(84\,;126) =$
$6$ $14$ $42$ $252$

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Réponse C. Algorithme d'Euclide : $126 = 84 \times 1 + 42$ , puis $84 = 42 \times 2 + 0$ . Le nombre $252$ est le PPCM, pas le PGCD.
Question 8 sur 20Si $a = 5b + 12$ , avec $a$ et $b$ entiers naturels non nuls, alors $\mathrm{PGCD}(a\,;b)$ est toujours égal à
$\mathrm{PGCD}(b\,;12)$ $12$ $5$ $\mathrm{PGCD}(5\,;12)$

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Réponse A. C'est le lemme d'Euclide : $a$ et $b$ ont les mêmes diviseurs communs que $b$ et $12 = a - 5b$ . Les autres réponses sont des nombres fixes : pour $b = 1$ et $a = 17$ , le PGCD vaut $1$ ; pour $b = 12$ et $a = 72$ , il vaut $12$ .
Question 9 sur 20La fraction irréductible égale à $\dfrac{924}{360}$ est
$\dfrac{154}{60}$ $\dfrac{77}{30}$ $\dfrac{231}{90}$ $\dfrac{462}{180}$

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Réponse B. $\mathrm{PGCD}(924\,;360) = 12$ , et $924 = 12 \times 77$ , $360 = 12 \times 30$ . Les autres fractions sont égales, mais pas irréductibles.
Question 10 sur 20Lequel de ces couples $(u\,;v)$ vérifie $7u + 5v = 1$ ?
$(2\,;-2)$ $(1\,;-1)$ $(-3\,;4)$ $(3\,;-4)$

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Réponse D. $7 \times 3 + 5 \times (-4) = 21 - 20 = 1$ . Le couple $(-3\,;4)$ donne $-1$ .
Question 11 sur 20On sait que $9$ divise $4n$ , où $n$ est un entier. Alors
$9$ divise $n$ $3$ divise $4$ $36$ divise $n$ $9$ divise $4$

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Réponse A. $9$ et $4$ sont premiers entre eux : c'est le théorème de Gauss. Avec $n = 9$ , on voit que $36$ ne divise pas forcément $n$ .
Question 12 sur 20Quelle affirmation est vraie pour tout entier $n$ ?
si $6 \mid n$ et $4 \mid n$ , alors $24 \mid n$ si $3 \mid n$ et $4 \mid n$ , alors $12 \mid n$ si $2 \mid n$ et $6 \mid n$ , alors $12 \mid n$ si $4 \mid n^2$ , alors $4 \mid n$

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Réponse B. $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Contre-exemples pour les autres : $n = 12$ , $n = 6$ et $n = 2$ .
Question 13 sur 20L'équation $12x + 18y = c$ a des solutions dans $\mathbb{Z}^2$ pour
$c = 3$ $c = 4$ $c = 30$ $c = 9$

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Réponse C. Il faut que $\mathrm{PGCD}(12\,;18) = 6$ divise $c$ . Seul $30$ est un multiple de $6$ ; par exemple $12 \times 1 + 18 \times 1 = 30$ .
Question 14 sur 20Les solutions dans $\mathbb{Z}^2$ de $3x + 5y = 1$ sont les couples
$(2 + 3k\,;-1 - 5k)$ , $k \in \mathbb{Z}$ $(5k\,;3k)$ , $k \in \mathbb{Z}$ $(2 + 5k\,;-1 - 3k)$ , $k \in \mathbb{Z}$ $(2 + 5k\,;-1 + 3k)$ , $k \in \mathbb{Z}$

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Réponse C. $(2\,;-1)$ est une solution particulière, et $3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) = 1$ . Le coefficient de $k$ dans $x$ est le coefficient de $y$ dans l'équation, et inversement, avec un signe moins.
Question 15 sur 20Les solutions dans $\mathbb{Z}$ de $3x \equiv 1 \;[7]$ sont les entiers $x$ tels que
$x \equiv 5 \;[7]$ $x \equiv 3 \;[7]$ $x \equiv 4 \;[7]$ $x \equiv 2 \;[7]$

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Réponse A. $3 \times 5 = 15 = 7 \times 2 + 1$ . Les autres valeurs donnent $3 \times 3 \equiv 2$ , $3 \times 4 \equiv 5$ et $3 \times 2 \equiv 6$ modulo $7$ .
Question 16 sur 20La décomposition de $360$ en produit de facteurs premiers est
$2^2 \times 3^2 \times 10$ $2^3 \times 3^2 \times 5$ $2^3 \times 45$ $6^2 \times 10$

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Réponse B. Les autres produits valent bien $360$ , mais ils contiennent des facteurs qui ne sont pas premiers : $10$ , $45$ , $6$ .
Question 17 sur 20 $\mathrm{PPCM}(12\,;18) =$
$6$ $72$ $216$ $36$

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Réponse D. $12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$ : $\mathrm{PPCM} = 2^2 \times 3^2 = 36$ . On vérifie que $\mathrm{PGCD} \times \mathrm{PPCM} = 6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$ .
Question 18 sur 20D'après le petit théorème de Fermat, le reste de $4^{12}$ dans la division par $13$ est
$1$ $4$ $12$ $0$

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Réponse A. $13$ est premier et ne divise pas $4$ , donc $4^{13 - 1} = 4^{12} \equiv 1 \;[13]$ .
Question 19 sur 20Le nombre $\overline{1101}^{\,2}$ est égal à
$11$ $1\,101$ $13$ $26$

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Réponse C. $\overline{1101}^{\,2} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$ .
Question 20 sur 20Le nombre $\overline{2\mathrm{F}}^{\,16}$ est égal à
$45$ $47$ $32$ $215$

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Réponse B. $\mathrm{F} = 15$ , donc $\overline{2\mathrm{F}}^{\,16} = 2 \times 16 + 15 = 47$ .