Fonctions composées

6.1 Définition (rappel de Seconde)

Définition. Soit $u$ une fonction définie sur $D_u$ et $v$ une fonction définie sur $D_v$. La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ ») définie par $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big).$ Elle est définie pour les réels $x$ tels que $x \in D_u$ et $u(x) \in D_v$ : $D_{v \circ u} = \{x \in D_u \mid u(x) \in D_v\} = u^{-1}(D_v).$

Ordre des calculs. Dans $v \circ u$, on applique d'abord $u$, puis $v$ : $x \longmapsto u(x) \longmapsto v\big(u(x)\big)$.

Exemple 24. Soit $u(x) = x - 1$ et $v(x) = \sqrt x$.

• $(v \circ u)(x) = \sqrt{x - 1}$, définie si $x - 1 \geq 0$ : $D_{v \circ u} = [1\,;+\infty[$.
• $(u \circ v)(x) = \sqrt x - 1$, définie sur $[0\,;+\infty[$.

Pour $x = 5$ : $(v \circ u)(5) = \sqrt4 = 2$, mais $(u \circ v)(5) = \sqrt5 - 1 \approx 1{,}24$. En général, $v \circ u \neq u \circ v$ : l'ordre compte.

Exemple 25. Soit $u(x) = 4 - x^2$ et $v(x) = \sqrt x$. La composée $(v \circ u)(x) = \sqrt{4 - x^2}$ est définie si $4 - x^2 \geq 0$, soit $x^2 \leq 4$ : $D_{v \circ u} = [-2\,;2]$.

Exemple 26. Soit $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = \dfrac1x$. Comme $x^2 + 1 \neq 0$ pour tout $x$, $(v \circ u)(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ est définie sur $\mathbb{R}$. En revanche, $(u \circ v)(x) = \dfrac{1}{x^2} + 1$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

6.2 Décomposer une fonction

Décomposer une fonction $h$, c'est trouver deux fonctions $u$ et $v$ telles que $h = v \circ u$. On cherche le calcul fait en premier (c'est $u$), puis celui fait ensuite (c'est $v$).

Exemple 27.

• $h_1(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $u(x) = x^2 + 1$ et $v(t) = \sqrt t$.
• $h_2(x) = (3x - 1)^5$ : $u(x) = 3x - 1$ et $v(t) = t^5$.
• $h_3(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$ : $u(x) = x^2 - 4$ et $v(t) = \dfrac1t$.
• $h_4(x) = \cos(2x + 1)$ : $u(x) = 2x + 1$ et $v(t) = \cos t$.

6.3 Les fonctions associées sont des composées

Les fonctions des leçons 4 et 5 sont des composées de $f$ avec des fonctions très simples :

• $f(x - a) = (f \circ \tau)(x)$ avec $\tau(x) = x - a$ ;
• $f(x) + b = (\sigma \circ f)(x)$ avec $\sigma(t) = t + b$ ;
• $|f(x)| = (v \circ f)(x)$ et $f(|x|) = (f \circ v)(x)$, avec $v(t) = |t|$.

On voit encore que l'ordre compte : $|f(x)|$ et $f(|x|)$ sont deux fonctions différentes.