Devoir sur 20 : Généralités sur les fonctions

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4 (il ne porte que sur le socle commun). Calculatrice autorisée. Les tracés se font dans un repère orthonormé d'unité 1 cm. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (9 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x - 3$ , et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

Écrire $f(x)$ sous forme canonique. (1 point)
En déduire que $\mathcal{C}_f$ est l'image de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$ par une translation dont on donnera le vecteur. Préciser le sommet de $\mathcal{C}_f$ . (1 point)
Démontrer, à l'aide d'une formule du cours, que la droite d'équation $x = -1$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ . (1,5 point)
Tracer $\mathcal{C}_f$ en plaçant au moins cinq points. (1 point)
Déterminer graphiquement, puis par le calcul, $f\big([-2\,;1]\big)$ et $f^{-1}\big([-3\,;0]\big)$ . (2 points)
Construire, à partir de $\mathcal{C}_f$ , la courbe de la fonction $g : x \mapsto |f(x)|$ . En déduire le nombre de solutions de l'équation $|f(x)| = 3$ , puis résoudre cette équation. (1,5 point)
Soit $h : x \mapsto f(|x|)$ . Justifier que $h$ est paire, puis expliquer comment construire sa courbe à partir de $\mathcal{C}_f$ . (1 point)

Exercice 2 (7 points)

Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$ .

Donner l'ensemble de définition $D_g$ . (0,5 point)
Montrer que, pour tout $x$ de $D_g$ , $g(x) = 2 - \dfrac{1}{x + 1}$ . (1 point)
En déduire que la courbe de $g$ est l'image de la courbe $\mathcal{H}$ d'équation $y = -\dfrac1x$ par une translation dont on donnera le vecteur. (1 point)
Démontrer, à l'aide de la formule $g(2a - x) + g(x) = 2b$ , que le point $\Omega(-1\,;2)$ est un centre de symétrie de la courbe de $g$ . (1,5 point)
Donner les asymptotes de la courbe de $g$ . (1 point)
Tracer la courbe de $g$ et ses asymptotes. (1 point)
On admet que $g$ est croissante sur $]-1\,;+\infty[$ et que sa courbe y est tracée sans lever le crayon. Déterminer $g\big([0\,;3]\big)$ . (1 point)

Exercice 3 (4 points)

Étudier la parité des fonctions $f_1(x) = x^3 - 5x$ , $f_2(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$ et $f_3(x) = x^2 - 3x$ . (1,5 point)
Soit $u(x) = 1 - x^2$ et $v(x) = \sqrt x$ . Exprimer $(v \circ u)(x)$ , donner son ensemble de définition, et montrer que $v \circ u$ est paire. (1,5 point)
Montrer que la fonction $k : x \mapsto \cos(2x)$ est périodique de période $\pi$ . (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $f(x) = (x + 1)^2 - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4$ .

2. (1 pt) $f(x) = (x - (-1))^2 + (-4)$ : $\mathcal{C}_f$ est l'image de $\mathcal{P}$ par la translation de vecteur $\vec u(-1\,;-4)$ (0,5 pt). Son sommet est $S(-1\,;-4)$ , image du sommet $O$ de $\mathcal{P}$ (0,5 pt).

3. (1,5 pt) Pour tout réel $x$ , $-2 - x \in \mathbb{R}$ (0,5 pt), et (1 pt) $f(-2 - x) = (-2 - x)^2 + 2(-2 - x) - 3 = 4 + 4x + x^2 - 4 - 2x - 3 = x^2 + 2x - 3 = f(x).$ On peut aussi poser $x = X - 1$ : $Y = X^2 - 4$ , fonction paire de $X$ .

4. (1 pt) Points par exemple : $(-3\,;0)$ , $(-2\,;-3)$ , $(-1\,;-4)$ , $(0\,;-3)$ , $(1\,;0)$ , $(2\,;5)$ . Parabole tournée vers le haut, symétrique par rapport à la droite $x = -1$ .

5. (2 pts)

(1 pt) Sur $[-2\,;1]$ : $f(-2) = -3$ , $f$ descend à $f(-1) = -4$ , puis remonte à $f(1) = 0$ . Donc $f\big([-2\,;1]\big) = [-4\,;0]$ .
(1 pt) $-3 \leq (x + 1)^2 - 4 \leq 0 \iff 1 \leq (x + 1)^2 \leq 4 \iff 1 \leq |x + 1| \leq 2$ . Donc $f^{-1}\big([-3\,;0]\big) = [-3\,;-2] \cup [0\,;1]$ .

6. (1,5 pt)

(0,5 pt) On garde les parties de $\mathcal{C}_f$ au-dessus de l'axe des abscisses ( $x \leq -3$ et $x \geq 1$ ) et on retourne l'arc situé entre $-3$ et $1$ : le sommet $(-1\,;-4)$ devient $(-1\,;4)$ .
(0,5 pt) Comme $0 < 3 < 4$ , la droite $y = 3$ coupe la courbe de $g$ en quatre points.
(0,5 pt) $f(x) = 3 \iff (x + 1)^2 = 7 \iff x = -1 \pm \sqrt7$ ; $f(x) = -3 \iff (x + 1)^2 = 1 \iff x = 0$ ou $x = -2$ . Solutions : $-1 - \sqrt7$ , $-2$ , $0$ , $-1 + \sqrt7$ .

7. (1 pt) $h(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = h(x)$ : $h$ est paire (0,5 pt). Pour $x \geq 0$ , $h(x) = f(x)$ : on garde la partie de $\mathcal{C}_f$ située à droite de l'axe des ordonnées, et on la complète par symétrie par rapport à cet axe (0,5 pt).

Exercice 2

1. (0,5 pt) $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .

2. (1 pt) $2 - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1) - 1}{x + 1} = \dfrac{2x + 1}{x + 1} = g(x)$ .

3. (1 pt) Avec $k(x) = -\dfrac1x$ : $g(x) = k(x + 1) + 2 = k\big(x - (-1)\big) + 2$ . La courbe de $g$ est l'image de $\mathcal{H}$ par la translation de vecteur $\vec u(-1\,;2)$ .

4. (1,5 pt) Si $x \neq -1$ , alors $-2 - x \neq -1$ : $-2 - x \in D_g$ (0,5 pt). Puis (1 pt) $g(-2 - x) = \frac{2(-2 - x) + 1}{-2 - x + 1} = \frac{-2x - 3}{-x - 1} = \frac{2x + 3}{x + 1}, \qquad g(-2 - x) + g(x) = \frac{4x + 4}{x + 1} = 4 = 2 \times 2.$

5. (1 pt) Les asymptotes de $\mathcal{H}$ sont les axes ; leurs images par la translation sont les droites d'équations $x = -1$ et $y = 2$ .

6. (1 pt) Hyperbole de centre $\Omega(-1\,;2)$ , dont les branches sont en haut à gauche et en bas à droite des asymptotes (comme $\mathcal{H}$ ) ; par exemple $g(0) = 1$ , $g(1) = \dfrac32$ , $g(-2) = 3$ , $g(-3) = \dfrac52$ .

7. (1 pt) $g$ est croissante sur $[0\,;3]$ : $g\big([0\,;3]\big) = [g(0)\,;g(3)] = \left[1\,;\dfrac74\right]$ .

Exercice 3

1. (1,5 pt) $f_1(-x) = -x^3 + 5x = -f_1(x)$ sur $\mathbb{R}$ : $f_1$ est impaire (0,5 pt). $D_{f_2} = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}$ est symétrique par rapport à $0$ et $f_2(-x) = f_2(x)$ : $f_2$ est paire (0,5 pt). $f_3(1) = -2$ et $f_3(-1) = 4$ : $f_3$ n'est ni paire ni impaire (0,5 pt).

2. (1,5 pt) $(v \circ u)(x) = \sqrt{1 - x^2}$ (0,5 pt), définie si $1 - x^2 \geq 0$ , soit sur $[-1\,;1]$ (0,5 pt). Cet intervalle est symétrique par rapport à $0$ et $\sqrt{1 - (-x)^2} = \sqrt{1 - x^2}$ : $v \circ u$ est paire (0,5 pt).

3. (1 pt) $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ , et pour tout réel $x$ , $k(x + \pi) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = k(x)$ .

Total : 9 + 7 + 4 = 20 points.