Généralités sur les fonctions

Leçon 1 : Image directe, image réciproque

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Ce que tu sais déjà (Seconde)

• Une fonction $f$ associe à chaque réel $x$ de son ensemble de définition $D_f$ un unique réel $f(x)$, appelé image de $x$. Si $f(x) = y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$. Un réel peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
• La courbe $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $x \in D_f$ et $y = f(x)$.
• Lecture graphique. L'image de $a$ est l'ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$. Les antécédents de $k$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$.

Exemple 1 (ensembles de définition).

• $f(x) = \sqrt{2-x}$ existe si et seulement si $2 - x \geq 0$, soit $x \leq 2$ : $D_f = \left]-\infty\,;2\right]$.
• $g(x) = \dfrac{x+1}{x^2-4}$ existe si et seulement si $x^2 - 4 \neq 0$ : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}$.

1.2 Image directe d'un ensemble

Définition. Soit $A$ une partie de $D_f$. L'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images des éléments de $A$. On la note $f(A)$ : $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}.$

Lecture graphique. On repère la partie de $\mathcal{C}_f$ formée des points d'abscisse dans $A$, puis on la projette sur l'axe des ordonnées : on obtient $f(A)$.

Exemple 2. Soit $f(x) = x^2$ et $A = [-1\,;2]$.

Quand $x$ parcourt $[-1\,;2]$, la courbe descend du point $(-1\,;1)$ au point $(0\,;0)$, puis monte jusqu'au point $(2\,;4)$. Sa projection sur l'axe des ordonnées est le segment de $0$ à $4$ : $f\big([-1\,;2]\big) = [0\,;4].$ Piège à éviter. Ce n'est pas $[f(-1)\,;f(2)] = [1\,;4]$ : la valeur $0 = f(0)$ est atteinte entre les deux bornes.

Méthode. Pour trouver $f(A)$ quand $A$ est un intervalle, on lit sur la courbe (ou sur le tableau de variation) la plus petite et la plus grande valeur prises par $f$ sur $A$. En particulier, si la courbe est tracée sans lever le crayon sur $[a\,;b]$ :

• si $f$ est croissante sur $[a\,;b]$, alors $f\big([a\,;b]\big) = [f(a)\,;f(b)]$ ;
• si $f$ est décroissante sur $[a\,;b]$, alors $f\big([a\,;b]\big) = [f(b)\,;f(a)]$.

La condition « sans lever le crayon » sera précisée au chapitre 2 : c'est la continuité.

Exemple 3. La fonction inverse $g(x) = \dfrac1x$ est décroissante sur $[1\,;4]$, et sa courbe y est tracée sans lever le crayon. Donc $g\big([1\,;4]\big) = \left[g(4)\,;g(1)\right] = \left[\dfrac14\,;1\right]$.

1.3 Image réciproque d'un ensemble

Définition. Soit $B$ une partie de $\mathbb{R}$. L'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des réels de $D_f$ dont l'image appartient à $B$. On la note $f^{-1}(B)$ : $f^{-1}(B) = \{x \in D_f \mid f(x) \in B\}.$

Lecture graphique. On trace la bande horizontale formée des points dont l'ordonnée est dans $B$. On repère les points de $\mathcal{C}_f$ situés dans cette bande, puis on les projette sur l'axe des abscisses : on obtient $f^{-1}(B)$.

Attention à la notation. $f^{-1}(B)$ a un sens pour toute fonction $f$, même si $f$ n'a pas de fonction réciproque. Ce n'est pas « $f$ puissance moins un ».

Exemple 4. Avec $f(x) = x^2$ :

• $f^{-1}\big([1\,;4]\big) = [-2\,;-1] \cup [1\,;2]$, car $1 \leq x^2 \leq 4$ si et seulement si $1 \leq |x| \leq 2$ ;
• $f^{-1}\big(\{9\}\big) = \{-3\,;3\}$ : ce sont les antécédents de $9$ ;
• $f^{-1}\big([-3\,;-1]\big) = \varnothing$, car un carré n'est jamais négatif.

Exemple 5. Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$. On remarque que $f(x) = (x-1)^2 - 4$.

Image directe. Sur $[0\,;3]$, $f$ décroît de $f(0) = -3$ à $f(1) = -4$, puis croît jusqu'à $f(3) = 0$. Donc $f\big([0\,;3]\big) = [-4\,;0]$.

Image réciproque. La bande $-3 \leq y \leq 0$ coupe la courbe en deux arcs, au-dessus de $[-1\,;0]$ et de $[2\,;3]$. Par le calcul : $-3 \leq (x-1)^2 - 4 \leq 0 \iff 1 \leq (x-1)^2 \leq 4 \iff 1 \leq |x-1| \leq 2.$ Donc $f^{-1}\big([-3\,;0]\big) = [-1\,;0] \cup [2\,;3]$.

Lien avec les inéquations. Chercher $f^{-1}(B)$, c'est résoudre « $f(x) \in B$ ». Par exemple, $f^{-1}\big(\left]-\infty\,;0\right]\big)$ est l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leq 0$.

Leçon 2 : Parité, périodicité, ensemble d'étude

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Fonctions paires, fonctions impaires

On dit que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ si, pour tout $x$ de $D_f$, le réel $-x$ est aussi dans $D_f$. Par exemple $\mathbb{R}$, $[-3\,;3]$ et $\mathbb{R} \setminus \{-1\,;1\}$ le sont, mais pas $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Définitions. Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition $D_f$ est symétrique par rapport à $0$.

• $f$ est paire si, pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = f(x)$.
• $f$ est impaire si, pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = -f(x)$.

Propriété (interprétation graphique).

• Dans un repère orthogonal, $f$ est paire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Dans un repère quelconque, $f$ est impaire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$.

Démonstration. Soit $M(x\,;f(x))$ un point de $\mathcal{C}_f$. Le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées (repère orthogonal) est $M'(-x\,;f(x))$. Il est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. Le symétrique de $M$ par rapport à $O$ est $M''(-x\,;-f(x))$ : il est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(-x) = -f(x)$.

Méthode.

1. On vérifie que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$. Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.
2. On calcule $f(-x)$ et on le compare à $f(x)$ et à $-f(x)$.
3. Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire (ou pas impaire), un seul contre-exemple suffit.

Exemple 6.

• $f(x) = x^4 - 2x^2$ : $D_f = \mathbb{R}$ et $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$. La fonction $f$ est paire.
• $g(x) = x^3 - 3x$ : $g(-x) = -x^3 + 3x = -g(x)$. La fonction $g$ est impaire.
• $h(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ : $D_h = \mathbb{R}$ et $h(-x) = \dfrac{-x}{x^2+1} = -h(x)$. La fonction $h$ est impaire.
• $k(x) = x^2 + x$ : $k(1) = 2$ et $k(-1) = 0$. Comme $k(-1) \neq k(1)$, $k$ n'est pas paire ; comme $k(-1) \neq -k(1)$, elle n'est pas impaire.
• $\ell(x) = \sqrt{x+1}$ : $D_\ell = [-1\,;+\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ ($2 \in D_\ell$ mais $-2 \notin D_\ell$). La fonction $\ell$ n'est ni paire ni impaire.

Fonctions de référence. Les fonctions $x \mapsto x^2$, $x \mapsto |x|$ et cosinus sont paires. Les fonctions $x \mapsto x^3$, $x \mapsto \dfrac1x$ et sinus sont impaires. La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire.

Remarque. Si $f$ est impaire et si $0 \in D_f$, alors $f(0) = -f(0)$, donc $f(0) = 0$ : la courbe passe par l'origine.

2.2 Fonctions périodiques

Définition. Soit $T$ un réel strictement positif. La fonction $f$ est périodique de période $T$ si, pour tout $x \in D_f$, les réels $x + T$ et $x - T$ sont dans $D_f$ et $f(x + T) = f(x).$

Interprétation graphique. La courbe d'une fonction de période $T$ est inchangée par la translation de vecteur $T\vec i$ : le motif tracé sur un intervalle de longueur $T$ se répète.

Remarque. Si $T$ est une période, $2T$, $3T$, … en sont aussi. Quand on parle de « la période », il s'agit en général de la plus petite période strictement positive.

Exemple 7.

• Cosinus et sinus sont de période $2\pi$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ (Seconde, cercle trigonométrique).
• Soit $f(x) = x - E(x)$, où $E(x)$ est la partie entière de $x$. Comme $E(x + 1) = E(x) + 1$, on a $f(x + 1) = x + 1 - E(x) - 1 = f(x)$ : $f$ est de période $1$. Sur $[0\,;1[$, $E(x) = 0$, donc $f(x) = x$.
• Soit $g(x) = \cos(3x)$. Pour tout réel $x$, $g\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = g(x)$ : $g$ est de période $\dfrac{2\pi}{3}$.

Méthode. Pour $x \mapsto \cos(ax)$ ou $x \mapsto \sin(ax)$, avec $a > 0$, on cherche $T$ tel que $aT = 2\pi$ : on trouve $T = \dfrac{2\pi}{a}$.

2.3 Ensemble d'étude

La parité et la périodicité permettent de réduire l'intervalle d'étude :

• si $f$ est paire ou impaire, on l'étudie sur $D_f \cap [0\,;+\infty[$, puis on complète la courbe par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) ou par rapport à $O$ (fonction impaire) ;
• si $f$ est de période $T$, on l'étudie sur un intervalle de longueur $T$, puis on complète la courbe par les translations de vecteurs $T\vec i$, $-T\vec i$, $2T\vec i$, … ;
• si $f$ est paire (ou impaire) et de période $T$, il suffit de l'étudier sur $\left[0\,;\dfrac{T}{2}\right]$ : la symétrie donne la courbe sur $\left[-\dfrac{T}{2}\,;\dfrac{T}{2}\right]$, intervalle de longueur $T$, puis les translations donnent le reste.

Exemple 8. La fonction $f(x) = x^4 - 2x^2$ est paire : on trace sa courbe pour $x \geq 0$ (elle descend de $(0\,;0)$ à $(1\,;-1)$, puis remonte), et on obtient le reste par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe a la forme d'un « W ».

Exemple 9. La fonction $f(x) = x - E(x)$ est de période $1$. Sur $[0\,;1[$, sa courbe est le segment de la droite $y = x$, du point $(0\,;0)$ inclus au point $(1\,;1)$ exclu. Les translations de vecteurs $\vec i$, $2\vec i$, $-\vec i$… donnent une courbe « en dents de scie ».

Exemple 10. Cosinus est paire et de période $2\pi$ : on l'étudie sur $[0\,;\pi]$, on complète sur $[-\pi\,;\pi]$ par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puis sur $\mathbb{R}$ par translations.

Leçon 3 : Éléments de symétrie d'une courbe

Voir la vidéo de la leçon 3

La parité traite les symétries par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine. On généralise à une droite verticale quelconque et à un point quelconque.

3.1 Axe de symétrie

Propriété. Dans un repère orthogonal, la droite $\Delta$ d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ : $2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = f(x).$ Forme équivalente : pour tout réel $h$ tel que $a + h \in D_f$, on a $a - h \in D_f$ et $f(a - h) = f(a + h)$.

Démonstration. Dans un repère orthogonal, le symétrique de $M(x\,;y)$ par rapport à $\Delta$ est $M'(2a - x\,;y)$ : les deux points ont la même ordonnée, et le milieu de $[MM']$, d'abscisse $\dfrac{x + 2a - x}{2} = a$, est sur $\Delta$. Pour $M(x\,;f(x))$ sur $\mathcal{C}_f$, le point $M'(2a - x\,;f(x))$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) = f(x)$. La forme équivalente s'obtient en posant $x = a + h$.

Exemple 11. Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$, définie sur $\mathbb{R}$. Montrons que la droite d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$.

Pour tout réel $x$, $4 - x \in \mathbb{R}$ et $f(4 - x) = (4-x)^2 - 4(4-x) + 1 = 16 - 8x + x^2 - 16 + 4x + 1 = x^2 - 4x + 1 = f(x).$

Exemple 12. Soit $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x + 2}$. Comme $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 > 0$, $D_g = \mathbb{R}$. Avec la forme équivalente et $a = 1$ : $g(1 + h) = \frac{1}{h^2 + 1} = g(1 - h).$ La droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_g$.

3.2 Centre de symétrie

Propriété. Le point $\Omega(a\,;b)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ : $2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) + f(x) = 2b.$ Forme équivalente : pour tout réel $h$ tel que $a + h \in D_f$, on a $a - h \in D_f$ et $f(a + h) + f(a - h) = 2b$.

Démonstration. Les points $M(x\,;f(x))$ et $M'(2a - x\,;f(2a-x))$ ont pour milieu le point de coordonnées $\left(a\,;\dfrac{f(x) + f(2a-x)}{2}\right)$. Ce milieu est $\Omega$ si et seulement si $f(x) + f(2a - x) = 2b$. Le symétrique de $M$ par rapport à $\Omega$ est donc sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si la relation est vraie.

Ce résultat est vrai dans n'importe quel repère.

Exemple 13. Soit $g(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Montrons que $\Omega(1\,;2)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_g$.

Ensemble de définition. Si $x \neq 1$, alors $2 - x \neq 1$ : $2 - x$ est bien dans $D_g$.

Calcul. $g(2 - x) = \dfrac{2(2-x) - 1}{(2 - x) - 1} = \dfrac{3 - 2x}{1 - x} = \dfrac{2x - 3}{x - 1}$, donc $g(2 - x) + g(x) = \frac{2x - 3 + 2x - 1}{x - 1} = \frac{4(x - 1)}{x - 1} = 4 = 2 \times 2.$

3.3 Méthode du changement de repère

On note $\Omega(a\,;b)$ et on se place dans le repère $(\Omega\,;\vec i, \vec j)$. Un point $M$ a pour coordonnées $(x\,;y)$ dans l'ancien repère et $(X\,;Y)$ dans le nouveau, avec $x = X + a \qquad \text{et} \qquad y = Y + b.$ Dans le nouveau repère, l'équation $y = f(x)$ devient $Y = f(X + a) - b$. On pose $\varphi(X) = f(X + a) - b$.

• $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à $\Omega$ si et seulement si $\varphi$ est impaire.
• La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie (repère orthogonal) si et seulement si $\varphi$ est paire.

Exemple 14. Soit $k(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ et $\Omega(1\,;0)$. On pose $x = X + 1$ et $y = Y$ : $Y = (X+1)^3 - 3(X+1)^2 + 2 = X^3 + 3X^2 + 3X + 1 - 3X^2 - 6X - 3 + 2 = X^3 - 3X.$ La fonction $X \mapsto X^3 - 3X$ est impaire : $\Omega(1\,;0)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_k$.

Remarque. On ne te demandera pas de chercher tous les éléments de symétrie d'une courbe : le point ou la droite sont donnés dans l'énoncé, ou suggérés par l'écriture de la fonction (leçon 4).

Leçon 4 : Fonctions associées par translation

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Les trois translations

Propriété. Soit $a$ et $b$ deux réels, et $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$.

1. La courbe de $x \mapsto f(x) + b$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $b\,\vec j$ : on monte de $b$ (on descend si $b < 0$).
2. La courbe de $x \mapsto f(x - a)$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $a\,\vec i$ : on va vers la droite de $a$ (vers la gauche si $a < 0$).
3. La courbe de $x \mapsto f(x - a) + b$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\vec u = a\,\vec i + b\,\vec j$, de coordonnées $(a\,;b)$.

Démonstration (cas 3, qui contient les deux autres). Soit $g(x) = f(x - a) + b$. Un point $M(x\,;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y = f(x)$, c'est-à-dire $y + b = f\big((x + a) - a\big) + b = g(x + a)$, c'est-à-dire si et seulement si $M'(x + a\,;y + b)$ est sur $\mathcal{C}_g$. Or $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec u(a\,;b)$.

Attention au signe. Dans $f(x - 2)$, on décale de $2$ vers la droite ; dans $f(x + 2) = f\big(x - (-2)\big)$, on décale de $2$ vers la gauche.

Ensemble de définition. $x \mapsto f(x - a)$ est définie pour les $x$ tels que $x - a \in D_f$ : l'ensemble de définition est lui aussi décalé de $a$.

Exemple 15. Soit $g(x) = \sqrt{x - 2} + 1$. On a $g(x) = f(x - 2) + 1$ avec $f(x) = \sqrt x$. La courbe de $g$ est l'image de celle de la racine carrée par la translation de vecteur $\vec u(2\,;1)$ : elle part du point $(2\,;1)$, image de $O$, et $D_g = [2\,;+\infty[$.

4.2 Application aux fonctions polynômes du second degré

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. On sait l'écrire sous forme canonique (Seconde) : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad \text{avec } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).$

Conséquence. La courbe de $f$ est l'image de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = ax^2$ par la translation de vecteur $\vec u(\alpha\,;\beta)$. C'est une parabole de sommet $S(\alpha\,;\beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ (image de l'axe des ordonnées, axe de $\mathcal{P}$).

Exemple 16. $f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$. La courbe est l'image de la parabole $y = x^2$ par la translation de vecteur $\vec u(2\,;-3)$. Son sommet est $S(2\,;-3)$ et son axe est la droite $x = 2$ : on retrouve l'exemple 11.

Exemple 17. $g(x) = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\big[(x-1)^2 - 1\big] + 1 = -2(x-1)^2 + 3$. La courbe est l'image de la parabole $y = -2x^2$ par la translation de vecteur $\vec u(1\,;3)$. Elle est tournée vers le bas, de sommet $S(1\,;3)$.

4.3 Application aux fonctions homographiques

Une fonction homographique s'écrit $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$ (sinon $f$ est constante là où elle est définie). Elle est définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.

Propriété. On peut toujours écrire $f(x) = \beta + \frac{k}{x - \alpha}, \qquad \text{avec } \alpha = -\frac{d}{c},\ \beta = \frac{a}{c},\ k = \frac{bc - ad}{c^2}.$ La courbe de $f$ est l'image de l'hyperbole $\mathcal{H}$ d'équation $y = \dfrac{k}{x}$ par la translation de vecteur $\vec u(\alpha\,;\beta)$. C'est une hyperbole de centre de symétrie $\Omega(\alpha\,;\beta)$, image de $O$. Ses asymptotes sont les droites d'équations $x = \alpha$ et $y = \beta$ (images des axes, vues en Seconde de façon intuitive).

En pratique, on ne retient pas les formules : on transforme l'écriture, comme dans les exemples.

Exemple 18. $g(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1) + 1}{x - 1} = 2 + \dfrac{1}{x - 1}$.

La courbe de $g$ est l'image de l'hyperbole $y = \dfrac1x$ par la translation de vecteur $\vec u(1\,;2)$. Son centre de symétrie est $\Omega(1\,;2)$ (on retrouve l'exemple 13), et ses asymptotes sont les droites $x = 1$ et $y = 2$.

Exemple 19. $h(x) = \dfrac{-x + 3}{x + 1} = \dfrac{-(x + 1) + 4}{x + 1} = -1 + \dfrac{4}{x + 1}$.

La courbe de $h$ est l'image de l'hyperbole $y = \dfrac4x$ par la translation de vecteur $\vec u(-1\,;-1)$. Centre $\Omega(-1\,;-1)$, asymptotes $x = -1$ et $y = -1$.

Leçon 5 : Les fonctions $x \mapsto |f(x)|$ et $x \mapsto f(|x|)$

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 La fonction $x \mapsto |f(x)|$

Soit $g(x) = |f(x)|$. Elle a le même ensemble de définition que $f$, et $g(x) = f(x) \text{ si } f(x) \geq 0, \qquad g(x) = -f(x) \text{ si } f(x) < 0.$

Construction. La courbe de $-f$ est la symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses. Donc :

• on garde les parties de $\mathcal{C}_f$ situées au-dessus de l'axe des abscisses ;
• on remplace les parties situées au-dessous par leurs symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

La courbe de $|f|$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (ou dessus).

Exemple 20. Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$. Elle s'annule en $-1$ et en $3$, et elle est négative entre ces deux nombres. La courbe de $g = |f|$ s'obtient en retournant vers le haut l'arc situé entre $-1$ et $3$ : le sommet $(1\,;-4)$ devient le point $(1\,;4)$. Sur $[-1\,;3]$, $g(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Variations lues sur la courbe. $g$ est décroissante sur $]-\infty\,;-1]$, croissante sur $[-1\,;1]$, décroissante sur $[1\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$.

5.2 La fonction $x \mapsto f(|x|)$

Soit $h(x) = f(|x|)$. Elle est définie pour les réels $x$ tels que $|x| \in D_f$, et :

• $h$ est paire, car $|-x| = |x|$ ;
• pour $x \geq 0$, $|x| = x$, donc $h(x) = f(x)$.

Construction. On garde la partie de $\mathcal{C}_f$ située à droite de l'axe des ordonnées ($x \geq 0$), on efface l'autre, et on complète par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple 21. Avec $f(x) = x^2 - 2x - 3$ : $h(x) = f(|x|) = x^2 - 2|x| - 3$ (car $|x|^2 = x^2$). Pour $x \geq 0$, la courbe de $h$ est celle de $f$ : elle descend de $(0\,;-3)$ à $(1\,;-4)$, puis remonte en passant par $(3\,;0)$. Par symétrie, la courbe complète a la forme d'un « W », de minimum $-4$ atteint en $-1$ et en $1$.

Exemple 22. Avec $f(x) = \sqrt{x - 1}$ : $f(|x|) = \sqrt{|x| - 1}$ est définie si $|x| \geq 1$, soit sur $]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[$.

Ne pas confondre. Avec $f(x) = x^2 - 2x - 3$ : $|f(-2)| = |5| = 5$, alors que $f(|-2|) = f(2) = -3$.

5.3 Application : nombre de solutions d'une équation

Les solutions de l'équation $|f(x)| = m$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de $|f|$ avec la droite d'équation $y = m$.

Exemple 23. Nombre de solutions de $|x^2 - 2x - 3| = m$, selon le réel $m$ (courbe de l'exemple 20) :

Valeur de $m$	$m < 0$	$m = 0$	$0 < m < 4$	$m = 4$	$m > 4$
Nombre de solutions	$0$	$2$	$4$	$3$	$2$

Pour $m = 4$ : $x^2 - 2x - 3 = -4$ donne $x = 1$, et $x^2 - 2x - 3 = 4$ donne $x = 1 - 2\sqrt2$ ou $x = 1 + 2\sqrt2$.

Leçon 6 : Fonctions composées

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6.1 Définition (rappel de Seconde)

Définition. Soit $u$ une fonction définie sur $D_u$ et $v$ une fonction définie sur $D_v$. La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ ») définie par $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big).$ Elle est définie pour les réels $x$ tels que $x \in D_u$ et $u(x) \in D_v$ : $D_{v \circ u} = \{x \in D_u \mid u(x) \in D_v\} = u^{-1}(D_v).$

Ordre des calculs. Dans $v \circ u$, on applique d'abord $u$, puis $v$ : $x \longmapsto u(x) \longmapsto v\big(u(x)\big)$.

Exemple 24. Soit $u(x) = x - 1$ et $v(x) = \sqrt x$.

• $(v \circ u)(x) = \sqrt{x - 1}$, définie si $x - 1 \geq 0$ : $D_{v \circ u} = [1\,;+\infty[$.
• $(u \circ v)(x) = \sqrt x - 1$, définie sur $[0\,;+\infty[$.

Pour $x = 5$ : $(v \circ u)(5) = \sqrt4 = 2$, mais $(u \circ v)(5) = \sqrt5 - 1 \approx 1{,}24$. En général, $v \circ u \neq u \circ v$ : l'ordre compte.

Exemple 25. Soit $u(x) = 4 - x^2$ et $v(x) = \sqrt x$. La composée $(v \circ u)(x) = \sqrt{4 - x^2}$ est définie si $4 - x^2 \geq 0$, soit $x^2 \leq 4$ : $D_{v \circ u} = [-2\,;2]$.

Exemple 26. Soit $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = \dfrac1x$. Comme $x^2 + 1 \neq 0$ pour tout $x$, $(v \circ u)(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ est définie sur $\mathbb{R}$. En revanche, $(u \circ v)(x) = \dfrac{1}{x^2} + 1$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

6.2 Décomposer une fonction

Décomposer une fonction $h$, c'est trouver deux fonctions $u$ et $v$ telles que $h = v \circ u$. On cherche le calcul fait en premier (c'est $u$), puis celui fait ensuite (c'est $v$).

Exemple 27.

• $h_1(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $u(x) = x^2 + 1$ et $v(t) = \sqrt t$.
• $h_2(x) = (3x - 1)^5$ : $u(x) = 3x - 1$ et $v(t) = t^5$.
• $h_3(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$ : $u(x) = x^2 - 4$ et $v(t) = \dfrac1t$.
• $h_4(x) = \cos(2x + 1)$ : $u(x) = 2x + 1$ et $v(t) = \cos t$.

6.3 Les fonctions associées sont des composées

Les fonctions des leçons 4 et 5 sont des composées de $f$ avec des fonctions très simples :

• $f(x - a) = (f \circ \tau)(x)$ avec $\tau(x) = x - a$ ;
• $f(x) + b = (\sigma \circ f)(x)$ avec $\sigma(t) = t + b$ ;
• $|f(x)| = (v \circ f)(x)$ et $f(|x|) = (f \circ v)(x)$, avec $v(t) = |t|$.

On voit encore que l'ordre compte : $|f(x)|$ et $f(|x|)$ sont deux fonctions différentes.

Leçon 8 : Fonctions bornées, comparaison, opérations, variations d'une composéeS1 · S3

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 Fonctions majorées, minorées, bornées

Définitions. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est majorée sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x \in I$, $f(x) \leq M$. Le réel $M$ est un majorant de $f$ sur $I$.
• $f$ est minorée sur $I$ s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $x \in I$, $f(x) \geq m$. Le réel $m$ est un minorant de $f$ sur $I$.
• $f$ est bornée sur $I$ si elle est à la fois majorée et minorée sur $I$.