Image directe, image réciproque

1.1 Ce que tu sais déjà (Seconde)

• Une fonction $f$ associe à chaque réel $x$ de son ensemble de définition $D_f$ un unique réel $f(x)$, appelé image de $x$. Si $f(x) = y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$. Un réel peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
• La courbe $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $x \in D_f$ et $y = f(x)$.
• Lecture graphique. L'image de $a$ est l'ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$. Les antécédents de $k$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$.

Exemple 1 (ensembles de définition).

• $f(x) = \sqrt{2-x}$ existe si et seulement si $2 - x \geq 0$, soit $x \leq 2$ : $D_f = \left]-\infty\,;2\right]$.
• $g(x) = \dfrac{x+1}{x^2-4}$ existe si et seulement si $x^2 - 4 \neq 0$ : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}$.

1.2 Image directe d'un ensemble

Définition. Soit $A$ une partie de $D_f$. L'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images des éléments de $A$. On la note $f(A)$ : $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}.$

Lecture graphique. On repère la partie de $\mathcal{C}_f$ formée des points d'abscisse dans $A$, puis on la projette sur l'axe des ordonnées : on obtient $f(A)$.

Exemple 2. Soit $f(x) = x^2$ et $A = [-1\,;2]$.

Quand $x$ parcourt $[-1\,;2]$, la courbe descend du point $(-1\,;1)$ au point $(0\,;0)$, puis monte jusqu'au point $(2\,;4)$. Sa projection sur l'axe des ordonnées est le segment de $0$ à $4$ : $f\big([-1\,;2]\big) = [0\,;4].$ Piège à éviter. Ce n'est pas $[f(-1)\,;f(2)] = [1\,;4]$ : la valeur $0 = f(0)$ est atteinte entre les deux bornes.

Méthode. Pour trouver $f(A)$ quand $A$ est un intervalle, on lit sur la courbe (ou sur le tableau de variation) la plus petite et la plus grande valeur prises par $f$ sur $A$. En particulier, si la courbe est tracée sans lever le crayon sur $[a\,;b]$ :

• si $f$ est croissante sur $[a\,;b]$, alors $f\big([a\,;b]\big) = [f(a)\,;f(b)]$ ;
• si $f$ est décroissante sur $[a\,;b]$, alors $f\big([a\,;b]\big) = [f(b)\,;f(a)]$.

La condition « sans lever le crayon » sera précisée au chapitre 2 : c'est la continuité.

Exemple 3. La fonction inverse $g(x) = \dfrac1x$ est décroissante sur $[1\,;4]$, et sa courbe y est tracée sans lever le crayon. Donc $g\big([1\,;4]\big) = \left[g(4)\,;g(1)\right] = \left[\dfrac14\,;1\right]$.

1.3 Image réciproque d'un ensemble

Définition. Soit $B$ une partie de $\mathbb{R}$. L'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des réels de $D_f$ dont l'image appartient à $B$. On la note $f^{-1}(B)$ : $f^{-1}(B) = \{x \in D_f \mid f(x) \in B\}.$

Lecture graphique. On trace la bande horizontale formée des points dont l'ordonnée est dans $B$. On repère les points de $\mathcal{C}_f$ situés dans cette bande, puis on les projette sur l'axe des abscisses : on obtient $f^{-1}(B)$.

Attention à la notation. $f^{-1}(B)$ a un sens pour toute fonction $f$, même si $f$ n'a pas de fonction réciproque. Ce n'est pas « $f$ puissance moins un ».

Exemple 4. Avec $f(x) = x^2$ :

• $f^{-1}\big([1\,;4]\big) = [-2\,;-1] \cup [1\,;2]$, car $1 \leq x^2 \leq 4$ si et seulement si $1 \leq |x| \leq 2$ ;
• $f^{-1}\big(\{9\}\big) = \{-3\,;3\}$ : ce sont les antécédents de $9$ ;
• $f^{-1}\big([-3\,;-1]\big) = \varnothing$, car un carré n'est jamais négatif.

Exemple 5. Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$. On remarque que $f(x) = (x-1)^2 - 4$.

Image directe. Sur $[0\,;3]$, $f$ décroît de $f(0) = -3$ à $f(1) = -4$, puis croît jusqu'à $f(3) = 0$. Donc $f\big([0\,;3]\big) = [-4\,;0]$.

Image réciproque. La bande $-3 \leq y \leq 0$ coupe la courbe en deux arcs, au-dessus de $[-1\,;0]$ et de $[2\,;3]$. Par le calcul : $-3 \leq (x-1)^2 - 4 \leq 0 \iff 1 \leq (x-1)^2 \leq 4 \iff 1 \leq |x-1| \leq 2.$ Donc $f^{-1}\big([-3\,;0]\big) = [-1\,;0] \cup [2\,;3]$.

Lien avec les inéquations. Chercher $f^{-1}(B)$, c'est résoudre « $f(x) \in B$ ». Par exemple, $f^{-1}\big(\left]-\infty\,;0\right]\big)$ est l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leq 0$.