Éléments de symétrie d'une courbe

La parité traite les symétries par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine. On généralise à une droite verticale quelconque et à un point quelconque.

3.1 Axe de symétrie

Propriété. Dans un repère orthogonal, la droite $\Delta$ d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ : $2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = f(x).$ Forme équivalente : pour tout réel $h$ tel que $a + h \in D_f$, on a $a - h \in D_f$ et $f(a - h) = f(a + h)$.

Démonstration. Dans un repère orthogonal, le symétrique de $M(x\,;y)$ par rapport à $\Delta$ est $M'(2a - x\,;y)$ : les deux points ont la même ordonnée, et le milieu de $[MM']$, d'abscisse $\dfrac{x + 2a - x}{2} = a$, est sur $\Delta$. Pour $M(x\,;f(x))$ sur $\mathcal{C}_f$, le point $M'(2a - x\,;f(x))$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) = f(x)$. La forme équivalente s'obtient en posant $x = a + h$.

Exemple 11. Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$, définie sur $\mathbb{R}$. Montrons que la droite d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$.

Pour tout réel $x$, $4 - x \in \mathbb{R}$ et $f(4 - x) = (4-x)^2 - 4(4-x) + 1 = 16 - 8x + x^2 - 16 + 4x + 1 = x^2 - 4x + 1 = f(x).$

Exemple 12. Soit $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x + 2}$. Comme $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 > 0$, $D_g = \mathbb{R}$. Avec la forme équivalente et $a = 1$ : $g(1 + h) = \frac{1}{h^2 + 1} = g(1 - h).$ La droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_g$.

3.2 Centre de symétrie

Propriété. Le point $\Omega(a\,;b)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ : $2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) + f(x) = 2b.$ Forme équivalente : pour tout réel $h$ tel que $a + h \in D_f$, on a $a - h \in D_f$ et $f(a + h) + f(a - h) = 2b$.

Démonstration. Les points $M(x\,;f(x))$ et $M'(2a - x\,;f(2a-x))$ ont pour milieu le point de coordonnées $\left(a\,;\dfrac{f(x) + f(2a-x)}{2}\right)$. Ce milieu est $\Omega$ si et seulement si $f(x) + f(2a - x) = 2b$. Le symétrique de $M$ par rapport à $\Omega$ est donc sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si la relation est vraie.

Ce résultat est vrai dans n'importe quel repère.

Exemple 13. Soit $g(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Montrons que $\Omega(1\,;2)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_g$.

Ensemble de définition. Si $x \neq 1$, alors $2 - x \neq 1$ : $2 - x$ est bien dans $D_g$.

Calcul. $g(2 - x) = \dfrac{2(2-x) - 1}{(2 - x) - 1} = \dfrac{3 - 2x}{1 - x} = \dfrac{2x - 3}{x - 1}$, donc $g(2 - x) + g(x) = \frac{2x - 3 + 2x - 1}{x - 1} = \frac{4(x - 1)}{x - 1} = 4 = 2 \times 2.$

3.3 Méthode du changement de repère

On note $\Omega(a\,;b)$ et on se place dans le repère $(\Omega\,;\vec i, \vec j)$. Un point $M$ a pour coordonnées $(x\,;y)$ dans l'ancien repère et $(X\,;Y)$ dans le nouveau, avec $x = X + a \qquad \text{et} \qquad y = Y + b.$ Dans le nouveau repère, l'équation $y = f(x)$ devient $Y = f(X + a) - b$. On pose $\varphi(X) = f(X + a) - b$.

• $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à $\Omega$ si et seulement si $\varphi$ est impaire.
• La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie (repère orthogonal) si et seulement si $\varphi$ est paire.

Exemple 14. Soit $k(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ et $\Omega(1\,;0)$. On pose $x = X + 1$ et $y = Y$ : $Y = (X+1)^3 - 3(X+1)^2 + 2 = X^3 + 3X^2 + 3X + 1 - 3X^2 - 6X - 3 + 2 = X^3 - 3X.$ La fonction $X \mapsto X^3 - 3X$ est impaire : $\Omega(1\,;0)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_k$.

Remarque. On ne te demandera pas de chercher tous les éléments de symétrie d'une courbe : le point ou la droite sont donnés dans l'énoncé, ou suggérés par l'écriture de la fonction (leçon 4).