Asymptote par la division ; fonctions avec valeur absolue

8.1 Déterminer une asymptote oblique par la division

Le programme S1-S3 demande de déterminer l'asymptote oblique d'une fonction rationnelle, et précise : « Pour déterminer l'asymptote, on pourra effectuer la division de $p(x)$ par $q(x)$ ». Si $p$ est de degré $2$ et $q$ de degré $1$, la division euclidienne (Seconde) donne $p(x) = q(x) \times (ax + b) + r$, avec un reste $r$ constant, donc $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = ax + b + \frac{r}{q(x)}, \qquad \text{avec} \qquad \lim_{x \to \pm\infty} \frac{r}{q(x)} = 0.$ La droite $y = ax + b$ (le quotient) est asymptote, et le signe de $\dfrac{r}{q(x)}$ donne la position.

Exemple 17. Soit $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 3}{x - 1}$. On divise $2x^2 - 3x + 3$ par $x - 1$ :

• $2x^2$ divisé par $x$ donne $2x$ ; $2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$ ; il reste $-x + 3$ ;
• $-x$ divisé par $x$ donne $-1$ ; $-1 \times (x - 1) = -x + 1$ ; il reste $2$.

Donc $2x^2 - 3x + 3 = (x - 1)(2x - 1) + 2$ et $f(x) = 2x - 1 + \dfrac{2}{x - 1}$. La droite $y = 2x - 1$ est asymptote oblique en $\pm\infty$ ; la courbe est au-dessus pour $x > 1$ et en dessous pour $x < 1$. Avec l'asymptote verticale $x = 1$, elle se coupe en $\Omega(1\,;1)$, centre de symétrie.

Exemple 18. Soit $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x}$. On divise par $2x$ : $x^2 + 1 = 2x \times \dfrac{x}{2} + 1$, donc $g(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2x}$. La droite $y = \dfrac{x}{2}$ est asymptote oblique.

8.2 Sens de variation de $\lvert f\rvert$ et de $x \mapsto f(\lvert x\rvert)$

Le programme S1-S3 demande d'étudier ces sens de variation à partir de la courbe de $f$ (chapitre 1 pour les constructions).

• $\lvert f\rvert$ : là où $f \geq 0$, $\lvert f\rvert = f$ a les mêmes variations que $f$ ; là où $f \leq 0$, $\lvert f\rvert = -f$ a les variations contraires. La partie de la courbe sous l'axe des abscisses est retournée vers le haut.
• $x \mapsto f(\lvert x\rvert)$ : cette fonction est paire. Sur $[0\,;+\infty[$, elle est égale à $f$ ; sur $\left]-\infty\,;0\right]$, ses variations sont celles du symétrique, donc contraires.

En un réel $x_0$ où $f(x_0) = 0$ et $f'(x_0) \neq 0$, la courbe de $\lvert f\rvert$ a un point anguleux (chapitre 3, leçon 9) : ses demi-tangentes ont pour coefficients directeurs $-\lvert f'(x_0)\rvert$ à gauche et $\lvert f'(x_0)\rvert$ à droite.

8.3 Un exemple complet

Exemple 19. Soit $f(x) = \lvert x^2 - 2x - 3\rvert$. On pose $u(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$.

1. Sans valeur absolue. $u(x) \leq 0$ sur $[-1\,;3]$ et $u(x) \geq 0$ ailleurs. Donc $f(x) = x^2 - 2x - 3$ sur $\left]-\infty\,;-1\right] \cup [3\,;+\infty[$, et $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ sur $[-1\,;3]$ (la fonction de l'exemple 1).

2. Variations. $u$ décroît sur $\left]-\infty\,;1\right]$ et croît sur $[1\,;+\infty[$, avec $u(1) = -4$. D'où, pour $f$ : décroissante sur $\left]-\infty\,;-1\right]$ (là $f = u$), croissante sur $[-1\,;1]$ et décroissante sur $[1\,;3]$ (là $f = -u$), croissante sur $[3\,;+\infty[$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
variations de $f$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

3. Points anguleux. $u'(x) = 2x - 2$. En $-1$ : $u(-1) = 0$ et $u'(-1) = -4 \neq 0$, donc $f'_g(-1) = -4$ et $f'_d(-1) = 4$. En $3$ : $u'(3) = 4$, donc $f'_g(3) = -4$ et $f'_d(3) = 4$. Les points $A(-1\,;0)$ et $B(3\,;0)$ sont des points anguleux. En $1$, $f$ est dérivable et $f'(1) = 0$ : maximum local $4$, tangente horizontale.

4. Tracé. On trace la parabole $y = u(x)$ en pointillés, on retourne vers le haut l'arc situé sous l'axe des abscisses, et l'on dessine les demi-tangentes en $A$ et $B$.

Exemple 20. Soit $g(x) = x^2 - 4\lvert x\rvert + 3$. On a $g(x) = h(\lvert x\rvert)$ avec $h(x) = x^2 - 4x + 3$, et $g$ est paire. Sur $[0\,;+\infty[$, $g = h$ décroît sur $[0\,;2]$ puis croît, avec $h(2) = -1$ ; par symétrie, $g$ décroît sur $\left]-\infty\,;-2\right]$ et croît sur $[-2\,;0]$. En $0$ : $g'_d(0) = h'(0) = -4$ et, par symétrie, $g'_g(0) = 4$ : le point $(0\,;3)$ est un point anguleux, où $g$ a un maximum local.