Étude de fonctions

Leçon 1 : Le plan d'étude ; fonctions polynômes

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1.1 Le plan d'étude d'une fonction

Pour étudier une fonction $f$ et tracer sa courbe, on suit toujours le même plan.

1. Ensemble de définition $D_f$. Si $f$ est paire, impaire, périodique, ou si sa courbe a un élément de symétrie donné, on peut réduire l'ensemble d'étude (chapitre 1).
2. Limites aux bornes de $D_f$ (et à gauche et à droite d'une valeur interdite). On en déduit les asymptotes (chapitre 2, et leçon 3 pour les asymptotes obliques).
3. Dérivée : ensemble de dérivabilité, calcul de $f'(x)$, puis factorisation (chapitre 3).
4. Signe de $f'(x)$ et tableau de variations, avec les extremums et les limites.
5. Points et droites remarquables : intersections de $\mathcal{C}_f$ avec les axes, tangentes utiles (horizontales, ou en un point demandé), centre ou axe de symétrie (donné dans l'énoncé), position de la courbe par rapport à une asymptote.
6. Tracé : d'abord les asymptotes, puis les points remarquables avec leurs tangentes, enfin la courbe, en suivant le tableau de variations de gauche à droite.

Le tableau de variations est le résumé de l'étude : la courbe doit lui obéir. Quand elle monte dans le tableau, elle monte sur le dessin ; une double barre signale une valeur interdite, où la courbe est coupée.

1.2 Polynômes du second degré

Exemple 1. Soit $f(x) = -x^2 + 2x + 3$, définie sur $\mathbb{R}$.

• Limites. Par le terme de plus haut degré, $f(x)$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
• Dérivée. $f'(x) = -2x + 2 = -2(x - 1)$ : positive pour $x < 1$, négative pour $x > 1$. Le maximum est $f(1) = 4$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$-\infty$

• Axe de symétrie. Pour tout réel $x$, $f(2 - x) = -(2 - x)^2 + 2(2 - x) + 3 = -x^2 + 2x + 3 = f(x)$ : la droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de la parabole (chapitre 1).
• Intersections avec les axes. $f(x) = 0$ équivaut à $x^2 - 2x - 3 = 0$, soit $(x + 1)(x - 3) = 0$ : la courbe coupe l'axe des abscisses en $(-1\,;0)$ et $(3\,;0)$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;3)$.

Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), la dérivée $2ax + b$ s'annule en changeant de signe en $-\dfrac{b}{2a}$ : la courbe est une parabole d'axe $x = -\dfrac{b}{2a}$, tournée vers le bas si $a < 0$, vers le haut si $a > 0$. On le savait déjà par la forme canonique (Seconde et chapitre 1).

1.3 Polynômes du troisième degré

Exemple 2 (étude complète). Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, définie sur $\mathbb{R}$. On a vu au chapitre 1 (exemple 14) que $\Omega(1\,;0)$ est un centre de symétrie de sa courbe. Étudions-la complètement.

1. Limites. Par le terme de plus haut degré, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

2. Dérivée. $f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines $0$ et $2$, négatif entre elles.

3. Tableau de variations. $f(0) = 2$ et $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$.

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ admet un maximum local $2$ en $0$ et un minimum local $-2$ en $2$ ; en ces deux points, la tangente est horizontale.

4. Centre de symétrie. Pour tout réel $x$, $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 - x)^2 + 2 = -x^3 + 3x^2 - 2 = -f(x)$, donc $f(2 - x) + f(x) = 0 = 2 \times 0$ : le point $\Omega(1\,;0)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. La tangente en $\Omega$ a pour coefficient directeur $f'(1) = -3$ ; son équation est $y = -3(x - 1)$, soit $y = -3x + 3$.

5. Intersections avec les axes. $f(0) = 2$ : la courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;2)$. Comme $f(1) = 0$, on factorise par $x - 1$ : $x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$. Le trinôme $x^2 - 2x - 2$ a pour discriminant $12$ et pour racines $1 - \sqrt3$ et $1 + \sqrt3$. La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, d'abscisses $1 - \sqrt3 \approx -0{,}73$, $1$ et $1 + \sqrt3 \approx 2{,}73$.

6. Tracé. On place les points $(0\,;2)$ et $(2\,;-2)$ avec leurs tangentes horizontales, le point $\Omega(1\,;0)$ avec sa tangente, et deux points de plus : $f(-1) = -2$ et $f(3) = 2$. Puis on trace en suivant le tableau : la courbe monte jusqu'à $(0\,;2)$, descend jusqu'à $(2\,;-2)$ en passant par $\Omega$, puis remonte.

Remarques.

• La courbe d'un polynôme de degré $3$ n'a pas d'asymptote : ses limites en $\pm\infty$ sont infinies, et elle n'a pas de valeur interdite.
• Le centre de symétrie est donné dans l'énoncé ou suggéré par une question : on ne le cherche pas au hasard.

Exemple 3 (une dérivée qui s'annule sans changer de signe). Soit $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$. On a $g'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$, qui s'annule en $1$ sans changer de signe. En développant, on vérifie que $g(x) = (x - 1)^3 + 1$ : la courbe de $g$ est celle de la fonction cube, translatée du vecteur $\vec u(1\,;1)$ (chapitre 1). La fonction cube étant strictement croissante, $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'a pas d'extremum. Au point $(1\,;1)$, la tangente est horizontale et la courbe la traverse.

Leçon 2 : Fonctions homographiques

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2.1 Forme et ensemble de définition

Une fonction homographique s'écrit $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$ (sinon $f$ est constante là où elle est définie). Elle est définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.

2.2 Dérivée

Par la règle du quotient, sur chaque intervalle de $D_f$ : $f'(x) = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}.$ Le dénominateur est strictement positif : $f'(x)$ a le signe de $ad - bc$, qui ne change pas.

• Si $ad - bc > 0$, $f$ est strictement croissante sur chacun des deux intervalles de $D_f$.
• Si $ad - bc < 0$, $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.

Une fonction homographique n'a donc pas d'extremum. Attention : elle est monotone sur chacun des intervalles, pas sur leur réunion.

2.3 Asymptotes et centre de symétrie

• En $\pm\infty$, $f(x)$ a la limite du quotient des termes de plus haut degré, $\dfrac{ax}{cx} = \dfrac{a}{c}$ : la droite d'équation $y = \dfrac{a}{c}$ est asymptote horizontale.
• En $-\dfrac{d}{c}$, le dénominateur tend vers $0$ et le numérateur vers un nombre non nul (car $ad - bc \neq 0$) : $f$ tend vers l'infini, et la droite d'équation $x = -\dfrac{d}{c}$ est asymptote verticale.
• Le point d'intersection des deux asymptotes, $\Omega\left(-\dfrac{d}{c}\,;\dfrac{a}{c}\right)$, est centre de symétrie de la courbe. C'est une hyperbole, image de celle de $x \mapsto \dfrac{k}{x}$ par une translation (chapitre 1, leçon 4).

Exemple 4 (étude complète). Soit $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.

1. Ensemble de définition. $x + 1 = 0$ pour $x = -1$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} = \left]-\infty\,;-1\right[ \cup \left]-1\,;+\infty\right[$.

2. Limites et asymptotes.

• En $\pm\infty$ : $\dfrac{2x}{x} = 2$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$. La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale.
• En $-1$ : le numérateur tend vers $-3$. Si $x < -1$, $x + 1$ tend vers $0$ en restant négatif, donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ ; si $x > -1$, $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$. La droite d'équation $x = -1$ est asymptote verticale.

3. Dérivée. $f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x - 1)}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;-1\right[$ et sur $\left]-1\,;+\infty\right[$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	‖	$+$
variations de $f$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$2$

4. Position par rapport à l'asymptote horizontale. $f(x) - 2 = \dfrac{2x - 1 - 2(x + 1)}{x + 1} = \dfrac{-3}{x + 1}$. Pour $x < -1$, $f(x) - 2 > 0$ : la courbe est au-dessus de la droite $y = 2$. Pour $x > -1$, elle est en dessous.

5. Centre de symétrie. Les asymptotes se coupent en $\Omega(-1\,;2)$. Vérifions : si $x \neq -1$, alors $-2 - x \neq -1$, et $f(x) = 2 - \dfrac{3}{x + 1}$ donne $f(-2 - x) = 2 - \dfrac{3}{-1 - x} = 2 + \dfrac{3}{x + 1}$. Donc $f(-2 - x) + f(x) = 4 = 2 \times 2$ : $\Omega(-1\,;2)$ est centre de symétrie.

6. Points remarquables. $f(x) = 0$ pour $x = \dfrac12$ : la courbe coupe l'axe des abscisses en $\left(\dfrac12\,;0\right)$. $f(0) = -1$ : elle coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;-1)$, où la tangente a pour coefficient directeur $f'(0) = 3$ ; son équation est $y = 3x - 1$.

7. Tracé. On trace les deux asymptotes, on place $\Omega$, les points $(0\,;-1)$ et $\left(\dfrac12\,;0\right)$, et par exemple $f(2) = 1$, $f(-2) = 5$ et $f(-4) = 3$. La branche de droite monte de $-\infty$ vers $2$ en restant sous l'asymptote $y = 2$ ; la branche de gauche, symétrique par rapport à $\Omega$, monte de $2$ vers $+\infty$ au-dessus de cette asymptote.

Leçon 3 : Asymptote oblique

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3.1 Définition

Définition. Soit $a$ et $b$ deux réels. On dit que la droite $D$ d'équation $y = ax + b$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = ax + b + r(x) \qquad \text{avec} \qquad \lim_{x \to +\infty} r(x) = 0.$ On définit de même une asymptote en $-\infty$. Si $a \neq 0$, on parle d'asymptote oblique.

C'est la formulation des deux programmes. Elle revient à dire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$.

Interprétation. Pour un réel $x$, soit $M\big(x\,;f(x)\big)$ le point de la courbe et $P(x\,;ax + b)$ le point de la droite de même abscisse. La distance verticale $MP = \lvert f(x) - (ax + b)\rvert = \lvert r(x)\rvert$ tend vers $0$ : la courbe se rapproche de la droite autant que l'on veut.

Le cas $a = 0$ redonne l'asymptote horizontale $y = b$ du chapitre 2.

3.2 Justifier qu'une droite donnée est asymptote

Méthode. On calcule $f(x) - (ax + b)$, on le simplifie, puis on montre que sa limite est $0$.

Exemple 5. Soit $g(x) = \dfrac{2x^2 + x}{x + 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$, et $D$ la droite d'équation $y = 2x - 1$. Pour $x \neq -1$ : $g(x) - (2x - 1) = \frac{2x^2 + x - (2x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \frac{2x^2 + x - (2x^2 + x - 1)}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}.$ Comme $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x + 1} = 0$, la droite $D$ est asymptote oblique à la courbe de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

3.3 Écrire $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - d}$

Pour une fonction rationnelle dont le numérateur est de degré $2$ et le dénominateur de degré $1$, l'énoncé demande souvent de trouver des réels $a$, $b$, $c$ tels que $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - d}$. On réduit au même dénominateur et on identifie les coefficients.

Exemple 6. Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Cherchons $a$, $b$, $c$ tels que $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 1}$.

On a $ax + b + \dfrac{c}{x - 1} = \dfrac{(ax + b)(x - 1) + c}{x - 1} = \dfrac{ax^2 + (b - a)x + c - b}{x - 1}$. On identifie avec $x^2 - 2x + 5$ : $a = 1$, $b - a = -2$, $c - b = 5$, d'où $a = 1$, $b = -1$, $c = 4$ : $f(x) = x - 1 + \frac{4}{x - 1}.$ Comme $\dfrac{4}{x - 1}$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, la droite d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

S1 · S3 En S1-S3, on doit aussi savoir trouver cette écriture sans qu'elle soit donnée, par la division du numérateur par le dénominateur (leçon 8).

3.4 Position de la courbe par rapport à l'asymptote

On étudie le signe de $f(x) - (ax + b)$ :

• là où il est positif, la courbe est au-dessus de l'asymptote ;
• là où il est négatif, elle est en dessous ;
• là où il est nul, elles se coupent.

Exemple 6 (suite). $f(x) - (x - 1) = \dfrac{4}{x - 1}$, du signe de $x - 1$. Sur $\left]1\,;+\infty\right[$, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; sur $\left]-\infty\,;1\right[$, elle est en dessous. Elle ne la coupe jamais.

Exemple 5 (suite). $g(x) - (2x - 1) = \dfrac{1}{x + 1}$ : la courbe de $g$ est au-dessus de $D$ pour $x > -1$, en dessous pour $x < -1$.

3.5 Les asymptotes d'une fonction rationnelle

Pour $f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$, où $p$ et $q$ sont des polynômes de degrés au plus $2$ :

• en une racine $x_0$ de $q$ qui n'annule pas $p$, $f$ tend vers l'infini : la droite $x = x_0$ est asymptote verticale ;
• si $p$ est de degré strictement plus petit que $q$, la droite $y = 0$ est asymptote horizontale ;
• si $p$ et $q$ ont le même degré, la droite $y = \dfrac{\text{coefficient dominant de } p}{\text{coefficient dominant de } q}$ est asymptote horizontale ;
• si $p$ est de degré $2$ et $q$ de degré $1$, $f(x)$ tend vers l'infini en $\pm\infty$, et la courbe a une asymptote oblique, que l'on obtient par l'écriture du paragraphe 3.3.

Leçon 4 : Étude complète d'une fonction rationnelle

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4.1 Méthode

On applique le plan de la leçon 1, avec trois points d'attention :

• les valeurs interdites : on étudie les limites à gauche et à droite, et l'on met une double barre dans le tableau ;
• le signe de $f'(x)$ : le dénominateur $q(x)^2$ est strictement positif, donc $f'(x)$ a le signe de son numérateur, que l'on factorise ;
• les asymptotes et la position de la courbe par rapport à elles, que l'on trace avant la courbe.

4.2 Un exemple complet

Exemple 7. On reprend $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{4}{x - 1}$ (exemple 6).

1. Ensemble de définition. $D_f = \left]-\infty\,;1\right[ \cup \left]1\,;+\infty\right[$.

2. Limites.

• En $\pm\infty$ : le quotient des termes de plus haut degré est $\dfrac{x^2}{x} = x$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
• En $1$ : le numérateur tend vers $1 - 2 + 5 = 4$. Si $x < 1$, $x - 1$ tend vers $0$ en restant négatif : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Si $x > 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. La droite $x = 1$ est asymptote verticale.

3. Dérivée. Par la règle du quotient, $f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)^2}.$ On retrouve ce résultat avec l'écriture de l'exemple 6 : $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 4}{(x - 1)^2}$.

4. Signe et tableau. $f'(x)$ a le signe de $(x + 1)(x - 3)$ : positif à l'extérieur de $-1$ et $3$, négatif entre eux (sauf en $1$, valeur interdite). $f(-1) = \dfrac{8}{-2} = -4$ et $f(3) = \dfrac{8}{2} = 4$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$-4$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ admet un maximum local $-4$ en $-1$ et un minimum local $4$ en $3$. Le maximum local est plus petit que le minimum local : ils sont sur deux branches différentes.

5. Asymptotes et position. Asymptote verticale $x = 1$ ; asymptote oblique $y = x - 1$ en $\pm\infty$, la courbe étant au-dessus pour $x > 1$ et en dessous pour $x < 1$ (exemple 6).

6. Centre de symétrie. Les asymptotes se coupent en $\Omega(1\,;0)$. Pour $x \neq 1$, $2 - x \neq 1$ et $f(2 - x) = (2 - x) - 1 + \frac{4}{(2 - x) - 1} = -(x - 1) - \frac{4}{x - 1} = -f(x),$ donc $f(2 - x) + f(x) = 0$ : $\Omega(1\,;0)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. On aurait pu n'étudier $f$ que sur $\left]1\,;+\infty\right[$ et compléter par symétrie.

7. Points remarquables. $f(0) = -5$. Le discriminant de $x^2 - 2x + 5$ est $-16 < 0$ : la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses. Aux points $(-1\,;-4)$ et $(3\,;4)$, les tangentes sont horizontales.

8. Tracé. On trace les asymptotes $x = 1$ et $y = x - 1$, on place $(-1\,;-4)$, $(3\,;4)$, $(0\,;-5)$, $(2\,;5)$, $(-3\,;-5)$ et $(5\,;5)$, puis on suit le tableau. Branche de gauche : la courbe monte le long de l'asymptote oblique, en dessous, jusqu'à $(-1\,;-4)$, puis plonge vers $-\infty$ le long de $x = 1$. Branche de droite : elle descend de $+\infty$ jusqu'à $(3\,;4)$, puis remonte en se rapprochant de l'asymptote oblique, au-dessus.

4.3 Numérateur et dénominateur de degré 2

Exemple 8. Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1}$.

1. Ensemble de définition et parité. $x^2 - 1 = 0$ pour $x = \pm 1$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;1\}$. Ce domaine est symétrique par rapport à $0$ et $f(-x) = f(x)$ : $f$ est paire. L'axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe.

2. Limites. En $\pm\infty$, $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$ : la droite $y = 1$ est asymptote horizontale. En $1$, le numérateur tend vers $4$ ; $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ tend vers $0$ en restant négatif si $x < 1$ (proche de $1$), positif si $x > 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. Par parité, $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$. Les droites $x = 1$ et $x = -1$ sont asymptotes verticales.

3. Dérivée. $f'(x) = \dfrac{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^2} = \dfrac{-8x}{(x^2 - 1)^2}$, du signe de $-x$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	‖	$+$	$0$	$-$	‖	$-$
variations de $f$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$-3$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$1$

4. Position. $f(x) - 1 = \dfrac{4}{x^2 - 1}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote $y = 1$ pour $\lvert x\rvert > 1$, en dessous pour $\lvert x\rvert < 1$. Elle a trois branches.

Leçon 5 : Fonctions irrationnelles

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5.1 Ce qu'il faut savoir

Une fonction irrationnelle simple contient une racine carrée $\sqrt{ax + b}$.

• Ensemble de définition : il faut $ax + b \geq 0$.
• Dérivabilité (chapitre 3) : $x \mapsto \sqrt{ax + b}$ est dérivable là où $ax + b > 0$, de dérivée $\dfrac{a}{2\sqrt{ax + b}}$. Là où $ax + b = 0$, elle n'est pas dérivable : on étudie le taux d'accroissement à droite ou à gauche. S'il tend vers l'infini, la courbe a une demi-tangente verticale en ce point.
• Limites : on utilise les théorèmes du chapitre 2, et l'expression conjuguée en cas de forme indéterminée.

5.2 Un exemple complet

Exemple 9. Soit $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$.

1. Ensemble de définition. $D_f = [0\,;+\infty[$.

2. Dérivée. La racine carrée est dérivable sur $\left]0\,;+\infty\right[$. Par la règle du produit, pour $x > 0$ : $f'(x) = 1 \times \sqrt x + (x - 3) \times \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt x} = \frac{3(x - 1)}{2\sqrt x}.$ Elle a le signe de $x - 1$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$, strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. Le minimum est $f(1) = -2$.

3. En $0$. Pour $x > 0$, le taux d'accroissement est $\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \dfrac{(x - 3)\sqrt x}{x} = \dfrac{x - 3}{\sqrt x}$. Le numérateur tend vers $-3$ et $\sqrt x$ tend vers $0$ en restant positif : le taux tend vers $-\infty$. $f$ n'est pas dérivable en $0$, et la courbe a une demi-tangente verticale à l'origine.

4. Limite en $+\infty$. $x - 3$ et $\sqrt x$ tendent vers $+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$0$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

5. Points remarquables. $f(x) = 0$ pour $x = 0$ ou $x = 3$. Au point $(3\,;0)$, la tangente a pour coefficient directeur $f'(3) = \dfrac{6}{2\sqrt3} = \sqrt3$. On place aussi $f(4) = 2$.

6. Tracé. La courbe part de l'origine verticalement vers le bas, descend jusqu'à $(1\,;-2)$ (tangente horizontale), remonte, coupe l'axe des abscisses en $(3\,;0)$ et monte vers $+\infty$.

Exemple 10. Soit $g(x) = x\sqrt{3 - x}$, définie sur $\left]-\infty\,;3\right]$ et dérivable sur $\left]-\infty\,;3\right[$. Avec la dérivée de $x \mapsto \sqrt{3 - x}$, qui est $-\dfrac{1}{2\sqrt{3 - x}}$ : $g'(x) = \sqrt{3 - x} - \frac{x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{3(2 - x)}{2\sqrt{3 - x}}.$ $g$ croît sur $\left]-\infty\,;2\right]$ et décroît sur $[2\,;3]$ ; son maximum est $g(2) = 2$. En $3$, pour $x < 3$, le taux $\dfrac{g(x) - g(3)}{x - 3} = \dfrac{x\sqrt{3 - x}}{x - 3} = -\dfrac{x}{\sqrt{3 - x}}$ tend vers $-\infty$ : demi-tangente verticale au point $(3\,;0)$. En $-\infty$, $x$ tend vers $-\infty$ et $\sqrt{3 - x}$ vers $+\infty$ : $g$ tend vers $-\infty$.

Leçon 6 : Fonctions trigonométriques

Voir la vidéo de la leçon 6

Les angles sont en radians. Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ (chapitre 3), donc continues.

6.1 Cosinus et sinus

Elles sont définies sur $\mathbb{R}$ et périodiques de période $2\pi$ ; cosinus est paire, sinus est impaire (chapitre 1). On les étudie donc sur $[0\,;\pi]$, on complète sur $[-\pi\,;\pi]$ par symétrie, puis sur $\mathbb{R}$ par des translations de vecteurs $2k\pi\,\vec i$ ($k$ entier).

Exemple 11.

• Cosinus. $\cos'(x) = -\sin x$. Sur $\left]0\,;\pi\right[$, $\sin x > 0$, donc $\cos' < 0$ : cosinus est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, de $\cos 0 = 1$ à $\cos \pi = -1$, en passant par $\cos\dfrac\pi2 = 0$.
• Sinus. $\sin'(x) = \cos x$, positif sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right[$ et négatif sur $\left]\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ : sinus croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$, puis décroît de $1$ à $0$ sur $\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$.

$x$	$0$		$\dfrac\pi2$		$\pi$
signe de $\cos'(x) = -\sin x$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$
variations de $\cos$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$
signe de $\sin'(x) = \cos x$		$+$	$0$	$-$
variations de $\sin$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$

On trace la courbe sur $[0\,;\pi]$, puis son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (cosinus) ou par rapport à l'origine (sinus), puis on la recopie tous les $2\pi$. La tangente à la courbe du sinus à l'origine est la droite $y = x$.

6.2 La fonction tangente

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ est définie là où $\cos x \neq 0$, c'est-à-dire sur $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac\pi2 + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.

• Période $\pi$. Pour $x \in D$, $x + \pi \in D$ et $\tan(x + \pi) = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$.
• Imparité. $\tan(-x) = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
• Dérivée (chapitre 3) : $\tan'(x) = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} > 0$. Tangente est strictement croissante sur chaque intervalle $\left]-\dfrac\pi2 + k\pi\,;\dfrac\pi2 + k\pi\right[$.
• Limite en $\dfrac\pi2$. Quand $x$ tend vers $\dfrac\pi2$ par la gauche, $\sin x$ tend vers $1$ et $\cos x$ tend vers $0$ en restant positif : $\displaystyle\lim_{x \to \frac\pi2^-} \tan x = +\infty$. La droite $x = \dfrac\pi2$ est asymptote verticale.

Exemple 12. On étudie tangente sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right[$ : elle croît de $\tan 0 = 0$ vers $+\infty$, en passant par $\tan\dfrac\pi4 = 1$. Sa tangente à l'origine a pour coefficient directeur $\tan'(0) = 1$ : c'est la droite $y = x$. Par imparité, on complète sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[$, où tangente croît de $-\infty$ à $+\infty$ ; puis on recopie la courbe tous les $\pi$. Les droites $x = \dfrac\pi2 + k\pi$ sont asymptotes verticales.

$x$	$-\dfrac\pi2$		$0$		$\dfrac\pi2$
signe de $\tan'(x)$	‖	$+$	$+$	$+$	‖
variations de $\tan$	‖ $-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖